2023學年云南省紅河州個舊三中高一（下）期末數學試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．點（1，1）到直線x﹣y+1=0的距離是（）A． B． C． D．2．已知直線l的方程為y=x+1，則該直線l的傾斜角為（）A．30° B．45° C．60° D．135°3．空間中，兩條直線若沒有交點，則這兩條直線的位置關系是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．平行或異面4．若直線a與平面α不垂直，那么在平面α內與直線a垂直的直線（）A．只有一條 B．無數條C．是平面α內的所有直線 D．不存在5．下列直線中與直線2x+y+1=0垂直的一條是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y+1=0 D．x+y﹣1=06．直線l在平面直角坐標系中的位置如圖，已知l∥x軸，則直線l的方程不可以用下面哪種形式寫出（）A．點斜式 B．斜截式 C．截距式 D．一般式7．如圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個幾何體的三視圖，根據三視圖可以判斷這四個幾何體依次分別為（）A．三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺B．三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺C．三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺D．三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺8．圓A：x2+y2+4x+2y+1=0與圓B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置關系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．內含9．若直線mx+2ny﹣4=0始終平分圓x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周長，則m、n的關系是（）A．m﹣n﹣2=0 B．m+n﹣2=0 C．m+n﹣4=0 D．m﹣n+4=010．P是圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上點，則點P到直線3x+4y﹣2=0的最大距離是（）A．2 B．5 C．8 D．911．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，直線l：x﹣y=0，則C關于l的對稱圓C′的方程為（）A．（x+1）2+（y+2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣1）2+（y+2）2=512．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．0二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分．）13．若直線x﹣y=0與直線2x+ay﹣1=0平行，則實數a的值為．14．已知△P1P2P3的三頂點坐標分別為P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），則這個三角形的最大邊邊長是，最小邊邊長是．15．若球O內切于棱長為2的正方體，則球O的表面積為．16．若圓C：x2+y2﹣4x+2y+m=0與y軸交于A，B兩點，且∠ACB=90°，則實數m的值為．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．如圖，在平行四邊形OABC中，點C（1，3）．（1）求OC所在直線的斜率；（2）過點C做CD⊥AB于點D，求CD所在直線的方程．18．已知圓C同時滿足下列三個條件：①與y軸相切；②半徑為4；③圓心在直線x﹣3y=0上．求圓C的方程．19．如圖，已知正四棱錐V﹣ABCD中，AC與BD交于點M，VM是棱錐的高，若AC=6cm，VC=5cm．（1）求正四棱錐V﹣ABCD的體積；（2）求直線VD與底面ABCD所成角的正弦值．20．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為AD，AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．21．已知直線l在y軸上的截距為﹣2，且垂直于直線x﹣2y﹣1=0．（1）求直線l的方程；（2）設直線l與兩坐標軸分別交于A、B兩點，△OAB內接于圓C，求圓C的一般方程．22．已知圓O：x2+y2=1和定點A（2，1），由圓O外一點P（a，b）向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實數a、b間滿足的等量關系；（2）求線段PQ長的最小值．

2023學年云南省紅河州個舊三中高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．點（1，1）到直線x﹣y+1=0的距離是（）A． B． C． D．【考點】點到直線的距離公式．【分析】利用點到直線的距離公式即可得出．【解答】解：點（1，1）到直線x﹣y+1=0的距離d==．故選：C．2．已知直線l的方程為y=x+1，則該直線l的傾斜角為（）A．30° B．45° C．60° D．135°【考點】直線的傾斜角．【分析】由直線的方程求出斜率，再由斜率的值及傾斜角的范圍求出傾斜角的值．【解答】解：∵直線l的方程為y=x+1，∴斜率為1，又傾斜角α∈[0，π），∴α=45°．故選：B．3．空間中，兩條直線若沒有交點，則這兩條直線的位置關系是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．平行或異面【考點】空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】根據空間兩條直線的位置關系矩形判斷．【解答】解：在空間，兩條直線的位置關系有：相交、平行和異面；其中兩條直線平行或者相交可以確定一個平面，所以空間中，兩條直線若沒有交點，則這兩條直線的位置關系是平行或者異面；故選：D．4．若直線a與平面α不垂直，那么在平面α內與直線a垂直的直線（）A．只有一條 B．無數條C．是平面α內的所有直線 D．不存在【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】若直線a與平面α不垂直，有三種情況：直線a∥平面α，直線a?平面α，直線a與平面α相交但不垂直，分別研究這三種況下，在平面α內與直線a垂直的直線的條數，能夠得到結果．【解答】解：若直線a與平面α不垂直，當直線a∥平面α時，在平面α內有無數條直線與直線a是異面垂直直線；當直線a?平面α時，在平面α內有無數條平行直線與直線a相交且垂直；直線a與平面α相交但不垂直，在平面α內有無數條平行直線與直線a垂直．∴若直線a與平面α不垂直，那么在平面α內與直線a垂直的直線有無數條．故選B．5．下列直線中與直線2x+y+1=0垂直的一條是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y+1=0 D．x+y﹣1=0【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【分析】將直線化成斜截式，易得已知直線的斜率k1=﹣2，因此與已知直線垂直的直線斜率k2==．由此對照各個選項，即可得到本題答案．【解答】解：∵直線2x+y+1=0的斜率為k1=﹣2∴與直線2x+y+1=0垂直的直線斜率k2==對照A、B、C、D各項，只有B項的斜率等于故選：B6．直線l在平面直角坐標系中的位置如圖，已知l∥x軸，則直線l的方程不可以用下面哪種形式寫出（）A．點斜式 B．斜截式 C．截距式 D．一般式【考點】直線的斜率．【分析】l∥x軸，可得直線l的方程為y=1．即可判斷出結論．【解答】解：∵l∥x軸，則直線l的方程為y=1．則直線l的方程不可以用下面截距式寫出．故選：C．7．如圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個幾何體的三視圖，根據三視圖可以判斷這四個幾何體依次分別為（）A．三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺B．三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺C．三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺D．三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】三視圖復原，判斷4個幾何體的形狀特征，然后確定選項．【解答】解：如圖（1）三視圖復原的幾何體是放倒的三棱柱；（2）三視圖復原的幾何體是四棱錐；（3）三視圖復原的幾何體是圓錐；（4）三視圖復原的幾何體是圓臺．所以（1）（2）（3）（4）的順序為：三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺．故選C．8．圓A：x2+y2+4x+2y+1=0與圓B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置關系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．內含【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【分析】把兩圓的方程化為標準方程，分別找出圓心坐標和半徑，利用兩點間的距離公式，求出兩圓心的距離d，然后求出R﹣r和R+r的值，判斷d與R﹣r及R+r的大小關系即可得到兩圓的位置關系．【解答】解：把圓x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2﹣2x﹣6y+1=0分別化為標準方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，故圓心坐標分別為（﹣2，﹣1）和（1，3），半徑分別為R=2和r=3，∵圓心之間的距離d==5，R+r=5，則兩圓的位置關系是相外切．故選：C．．9．若直線mx+2ny﹣4=0始終平分圓x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周長，則m、n的關系是（）A．m﹣n﹣2=0 B．m+n﹣2=0 C．m+n﹣4=0 D．m﹣n+4=0【考點】直線與圓的位置關系．【分析】直線mx+2ny﹣4=0始終平分圓x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周長，所以可知：圓心在直線上．【解答】解：直線mx+2ny﹣4=0始終平分圓x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周長，所以可知：圓心在直線上．由圓的一般方程圓x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，得知：（x﹣2）2+（y+1）2=9，圓心O（2，﹣1），半徑r=3；圓心在直線上，即：2m﹣2n﹣4=0?m﹣n﹣2=0故選：A10．P是圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上點，則點P到直線3x+4y﹣2=0的最大距離是（）A．2 B．5 C．8 D．9【考點】直線與圓的位置關系；點到直線的距離公式．【分析】求出圓的圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式求出元新到直線的距離，則原上的點P到直線l：3x﹣4y﹣5=0的距離的最大值可求．【解答】解：由（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，可知該圓的圓心為（5，3），半徑為3．則圓心到直線l：3x+4y﹣2=0的距離為．所以圓上的點P到直線l：3x+4y﹣2=0的距離的最大值是3+5=8．故選C．11．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，直線l：x﹣y=0，則C關于l的對稱圓C′的方程為（）A．（x+1）2+（y+2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣1）2+（y+2）2=5【考點】關于點、直線對稱的圓的方程．【分析】求出已知圓的圓心和半徑，設出對稱圓的圓心C′（a，b），由CC′⊥l，且CC′的中點在直線l上，可得×1=﹣1，且﹣=0，解得a、b的值，即可得到對稱圓的方程．【解答】解：∵圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，故圓心C（1，2），半徑等于．設C′（a，b），則有CC′⊥l，且CC′的中點在直線l上．故有×1=﹣1，且﹣=0，解得a=2，b=1．又對稱圓和已知的圓半徑相同，故對稱圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，故選B．12．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．0【考點】用空間向量求直線間的夾角、距離；異面直線及其所成的角．【分析】以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可得和的坐標，進而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）設異面直線A1E與GF所成角的為θ，則cosθ=|cos＜，＞|=0，故選：D二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分．）13．若直線x﹣y=0與直線2x+ay﹣1=0平行，則實數a的值為﹣2．【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系．【分析】根據兩條直線平行，斜率相等，即可得出結論．【解答】解：∵直線x﹣y=0與直線2x+ay﹣1=0平行，∴1=﹣，∴a=﹣2，顯然兩條直線不重合．故答案為﹣2．14．已知△P1P2P3的三頂點坐標分別為P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），則這個三角形的最大邊邊長是，最小邊邊長是．【考點】兩點間距離公式的應用．【分析】利用兩點間的距離公式分別求得三邊的長，判斷出最大和最小邊的長度．【解答】解：|P1P2|==，|P2P3|==，|P1P3|==，∴最大的邊長為，最短的邊為故答案為：，．15．若球O內切于棱長為2的正方體，則球O的表面積為4π．【考點】球的體積和表面積．【分析】棱長為2的正方體的內切球的半徑r=1，由此能求出其表面積．【解答】解：棱長為2的正方體的內切球的半徑r=1，表面積=4πr2=4π．故答案為4π．16．若圓C：x2+y2﹣4x+2y+m=0與y軸交于A，B兩點，且∠ACB=90°，則實數m的值為﹣3．【考點】圓方程的綜合應用．【分析】由圓C：x2+y2﹣4x+2y+m=0與y軸交于A，B兩點，且∠ACB=90°，知圓心C（2，﹣1），過點C作y軸的垂線交y軸于點D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，由此能求出實數m．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣4x+2y+m=0，∴（x﹣2）2+（y+1）2=5﹣m，圓心C（2，﹣1），因為∠ACB=90°，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，∴5﹣m=CB2=4+4，解得m=﹣3．故答案為：﹣3．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．如圖，在平行四邊形OABC中，點C（1，3）．（1）求OC所在直線的斜率；（2）過點C做CD⊥AB于點D，求CD所在直線的方程．【考點】直線的點斜式方程；斜率的計算公式；直線的一般式方程．【分析】（1）根據原點坐標和已知的C點坐標，利用直線的斜率k=，求出直線OC的斜率即可；（2）根據平行四邊形的兩條對邊平行得到AB平行于OC，又CD垂直與AB，所以CD垂直與OC，由（1）求出的直線OC的斜率，根據兩直線垂直時斜率乘積為﹣1，求出CD所在直線的斜率，然后根據求出的斜率和點C的坐標寫出直線CD的方程即可．【解答】解：（1）∵點O（0，0），點C（1，3），∴OC所在直線的斜率為．（2）在平行四邊形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直線的斜率為．∴CD所在直線方程為，即x+3y﹣10=0．18．已知圓C同時滿足下列三個條件：①與y軸相切；②半徑為4；③圓心在直線x﹣3y=0上．求圓C的方程．【考點】圓的標準方程．【分析】根據題意，設圓的圓心為（3b，b），則有|3b|=4，求得b的值，可得圓的標準方程．【解答】解：∵圓C同時滿足下列三個條件：①與y軸相切；②半徑為4；③圓心在直線x﹣3y=0上，設圓的圓心為（3b，b），則|3b|=4，∴b=±，故要求的圓的方程為（x﹣4）2+=16，或（x+4）2+=16．19．如圖，已知正四棱錐V﹣ABCD中，AC與BD交于點M，VM是棱錐的高，若AC=6cm，VC=5cm．（1）求正四棱錐V﹣ABCD的體積；（2）求直線VD與底面ABCD所成角的正弦值．【考點】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）利用勾股定理計算棱錐的高VM，代入棱錐的體積公式計算；（2）∠VDM是直線VD與底面ABCD所成角，在Rt△VDM中計算sin∠VDM．【解答】解：（1）∵正四棱錐V﹣ABCD中，ABCD是正方形，∴MC=AC=BD=3（cm）．且S正方形ABCD=AC×BD=18（cm2）．Rt△VMC中，VM==4（cm）．∴正四棱錐的體積為V==（cm3）．（2）∵VM⊥平面ABCD，∴∠VDM是直線VD與底面ABCD所成角，∵VD=VC=5，在RT△VDM中，sin∠VDM=．所以直線VD與底面ABCD所成角的正弦值為．20．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為AD，AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能證明直線EF∥平面CB1D1．（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，從而CC1⊥B1D1，由此能證明B1D1⊥平面CAA1C1，從而能證明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【解答】（1）證明：連結BD，在△ABD中，E、F分別為棱AD、AB的中點，故EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…又B1D1?平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，所以直線EF∥平面CB1D1．…（2）證明：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，則A1C1⊥B1D1…又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，則CC1⊥B1D1，…又A1C1∩CC1=C1，A1C1?平面CAA1C1，CC1?平面CAA1C1，所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1?平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…21．