常微分方程簡單應用第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日8.4微分方程的簡單應用利用微分方程求函數習例1-7

微分方程在幾何上的應用習例8-11微分方程在物理和力學上的應用習例12-13應用微分方程解決實際問題的一般步驟微分方程的簡單應用第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日一、應用微分方程解決實際問題的一般步驟1、根據問題的實際背景，利用數學和有關學科知識，建立微分方程，確定定解條件；2、根據方程的類型，用適當的方法求出方程的通解；3、對所得結果進行具體分析，解釋其實際意義。如果它與實際相差太遠，則就應該修改模型，重新求解。第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日1.建立數學模型—列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規律利用幾何關系確定定解條件(個性)初始條件邊界條件可能還有銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包含的實際意義第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日二、利用微分方程求解函數習例例3這里的“函數方程”包括變上限積分、重積分、線面積分的方程以及偏微分方程等。第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日內滿足以下條件:(1)求

所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出的表達式.例4設其中函數

在(－∞,+∞)第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日解原方程是一個帶有變上限積分的方程，在其兩端分別對x求導，得上式兩端再對x求導，得第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日這是變量可分離方程，分離變量并積分得第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日解即第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日此方程的特征方程為代入微分方程得故其特解為第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日從而方程的通解為注意到，由由此確定通解中的任意常數第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日例3設提示:對積分換元,則有解初值問題:答案:第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日解:(1)所以

滿足的一階線性非齊次微分方程:內滿足以下條件:(1)求

所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出的表達式.例4設其中函數

在(－∞,+∞)第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日(2)由一階線性微分方程解的公式得于是第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日解令這是一個一階線性方程，其通解為第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日例6解這是一個含二重積分的函數方程，顯然f(0)=1,由于第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日所以這是一個一階線性方程，其通解為第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日解這是一個偏微分方程，可通過多元函數微分法化為常微分方程來解。因為第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日代入原方程，得這是一個二階常系數齊次方程，其特征方程為第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日三、微分方程在幾何上的應用習例二階可導,且(1999考研)上任一點作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與

軸圍成的三角形面積積記為區間[0,]上,以為曲邊的曲邊梯形面積記為例9在上半平面求一條上凹的曲線，其上任一點第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日例11求經過原點的曲線族，在其上任一點M例10在連接點A(0,1)和B(1,0)的一條上凸的曲線上任取一第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日二階可導,且解于是(1999考研)上任一點作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與

軸圍成的三角形面積積記為區間[0,]上,以為曲邊的曲邊梯形面積記為在點處的切線傾角為

,第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日再利用y(0)=1得利用得兩邊對x

求導,得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日例9在上半平面求一條上凹的曲線，其上任一點QoyxP(1,1)11解根據題意得微分方程第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日從而第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日故，所求曲線方程為第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日例10在連接點A(0,1)和B(1,0)的一條上凸的曲線上任取一解B(1,0)oyxP(x,y)A(0,1)x3第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日例11求經過原點的曲線族，在其上任一點MToyxM(x,y)P解第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日四、微分方程在物理和力學上的應用習例例12.一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計釘子對鏈條所產生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時間.例13.從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函數關系.設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設儀器質量為m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數關系式y=y(v).

(1995考研)

第三十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日例12.一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計釘子對鏈條所產生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時間.解建立坐標系如圖.設在時刻

t,鏈條較長一段下垂x

m,又設鏈條線密度為常數此時鏈條受力由Newt