高考數學小題提速練(八)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．已知復數z=1．已知復數z=1—bii(bWR)的實部和虛部相等，則b=(A．—A．—1C．2B．1D．—2解析：選B.復數1-bii+bz=丁=-T=~b-i,因為復數z解析：選B.復數1-bii+bz=丁=-T=~b-i,因為復數z的實部和虛部相等，所以b=1.2.已知集合A={xlx2>1},B={xl(x2—1)(x2—4)=0},則集合AAB中的元素個數為()A．2B．1C.3D.4解析：選A.A={xlxV—1或x>1},B={-2,-1,1,2},AAB={—2,2},APB中有2個元素，故選A.143.已知角a,B滿足tanatan，若cos(a—")=5，則cos(a+〃)的值為()1A?1B.C.fD.14解析：選C.解法一：由tanatanB=3，cos(a—")=5得,sinasinB1〈cosacosB3,<解得4IcosacosB+sinasin"=5,sinasin"=|,3vcosacosB=5,2故cos(a+")=cosacos"—sinasin"=5.解法二：設cos(a+")=x,即解法二：設cos(a+")=x,即cosacos"—sinasin"=x4①，由cos(a—")=5得,cosacos"+sinasin"=②,由①②得cosacos"=2坨sinasin"=兩式相除得tanatan"22x5—22.x5+2122=3，解彳得x=5，故cos(a+")=5.fx2+2,x>0,4.已知函數f(x)=\則下列結論正確的是()2cosx,xW0,A.fx)是偶函數B.A.fx)是偶函數C.C.fx）是周期函數D.fx）的值域為2+J可知當x>0時,x)>2,當可知當x>0時,x)>2,當xWO時,f(x)W22解析:選D.由函數f(x)=\一2cosx,xWO,故fx）的值域為2+J，排除選項A、B、C,故選D.5.已知直線m,平面a，B，p：“直線m與平面aB所成的角相冋”，q：“a〃F，則p是q的（）A.充分不必要條件C.充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析：選B.充分性：若'直線m與平面a,所成的角相同”，以正方體ABCD-A1B1C1D1為例，面對角線A1D與底面ABCD及側面ABB1A1所成的角均為45。，但底面ABCD丄側面ABB#”所以充分性不成立；必要性：若“a〃“”，由線面角的定義及三角形的相似可知“直線m與平面aB所成的角相同”，所以必要性成立.故p是q的必要不充分條件，故選B.6.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A.9A.9，2C.9,1D.9，－1解析：選D.當n=1時，a=1—1=1—2=!；當n=2時，a=1—*=1—+=—1;當n2=3時，a=1—1=1—片=2;當n=4時，a=1—1=1—1=2;則a的取值是周期為3a—1a22的一組數，則由循環語句，當n=8時，a=—1，則n=9，跳出循環，執行輸出，故選D.7.圓q：x2+y2—4x+2y+1=0和圓C?：x2+y2+4\：3y=—3的位置關系是（）A.相離B.外切C.內切D.相交解析：選D.圓C1：（x—2）2+（y+1）2=4，圓C2：x2+（y+^3）2=9，則C1（2，—1），圓

C1的半徑rl為2;C2(0,—2逅),圓C2的半徑r2為3.兩圓的圓心距〃=冷22十(2靠一1)2=17—4\/3丘(廠2—r1，廠2+廠］),所以兩圓的位置關系是相交.故選D.8.已知各項均為正的等比數列｛a｝,公比為q,前n項和為S,貝V“q>l”是“S2+2S6>nn26334”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件通解：選A.因為等比數列｛an｝的各項均為正，所以a1>0.若q>1,則S2+2S6_3S4=a(1—q2).2a(1—q6)3a(1—q4)a.q2(1+2q4—3q2)ag(2q2_1)(q2_1)

ag(2q2_1)(q2_1)

q—1>0,所以S2+2S6>3S4.而當q=1時,S2+2S6>3S4也成立.所以“q>1”是“Sc+2S>3S”的充分不必要條件，故選A.264優解：因為等比數列｛an｝的各項均為正，所以q>0,S2>0.令S2+2S6—3S4=q2S2(2q2—21)>0,所以q>亍.所以“q>1”是“S2+2S6>3S4”的充分不必要條件，故選A.9.已知函數fx)=ax3+ax2+x+b(a,b^R)，則下列圖象一定不能表示fx)的圖象的是()解析：選D.結合選項，令b=0,fx)=ax3+ax2+x,則f(x)=3ax2+2ax+1,分三種情況討論：當a=0時，f(x)=1,fx)單調遞增；當aVO時，方程3ax2+2ax+1=0的判別式A=(2a)2—4x3a>0,此時fx)不可能單調遞減；當a>0時，函數f(x)=3ax2+2ax+1不可能恒小于0,即函數fx)不可能在R上單調遞減，結合各選項，知fx)的圖象不可能為D中圖象，故選D.10.網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫的是某組合體的三視圖,貝該組合體的體積是()

A普+A普+3n「4「TJTC.4+爭C.4+爭D.3+3n解析：選D.觀察題中三視圖可知組合體的上部分是三棱錐，下部分是半徑為1的半球,其直觀圖如圖1所示．在棱長為2的正方體中畫出符合三視圖的三棱錐A-BEF，頂點A，B，E，F分別是正方體棱的中點．解法一：如圖2，取EF的中點C，連接AC，BC，則EF丄AC，EF丄BC，所以EF丄平面ABC,AC=BC=“/5AB=2,所以S_=!x2x2=2,三棱錐A-BEF的體積V=gxS””xEF△ABC213△ABC414242=3.半球體積卩2=2乂3兀乂13=3兀所以該組合體的體積#=匕十卩2=3十3兀.故選d.圖2圖2解法二：如圖3，C，D分別為正方體兩棱的中點，連接CD，G為CD的中點，連接EG，FG，過CD,EF作截面EFDC，則正方體和三棱錐A-BEF都被一分為二，因為S△EFG14142=7x2x2=2,所以三棱錐A-BEF的體積V=2x^xS^”xAG=了，半球體積V=X；nx13=~13△EFG3223342n.所以該組合體的體積V=V1+V2=3+3n.故選D.

圖3圖3x2y2過F1且垂直于x11.已知雙曲線歷一常=1@>0,b>0)過F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A,B兩點，AF2,BF2分別交y軸于P,Q兩點，若NPQF2b的周長為16,則命的最大值為()TOC\o"1-5"\h\z43A.3b.4cfd.5解析：選A.如圖1,由已知條件得，\ABF2的周長為32，因為IAF2l=2a+IAF1l,IBFJb4b2b=2a+IBFI,IAFl=IBF1=，所以4a+=32,+a=8,b2+a2—8a=0,得(a—111aaab4)2+b2=16.設k=0^1，則k表示點(a,b)與點(一1,0)連線的斜率，作出圖形，如圖2,易知kmax知kmax4=3.故選A.12.已知函數fx)的定義域是R,且滿足f(x)-f(-x)=0,/(x+2)-f(-x)=0,當x￡[0,1]時，fx)=x；?g(x)=4x-2x-2是定義域為R的函數.給出以下四個命題：存在實數a使得關于x的方程lg(x)l=a有兩個不相等的實根;存在x0￡[0,1],使得g(-x0)=-g(x0)；當x￡(-?,2]時，關于x的方程f[g(x)]=0有7個實根；關于x的方程gfx)]=0有1個實根.其中正確命題的個數是()A.1B.2

C．3DC．3解析：選B.因為f(x)=f(~x),f(x+l)=f(~x)=f(x)，所以fx)是偶函數，也是周期函數,其最小正周期T=2.結合已知條件畫出函數fx)的圖象，如圖所示.-4-3-2-1012345678?10士圖1匕護，符合題意，所命題①是真命題.當a=l時，4x—2x—2=±1,所以4x—2x—3=0或4x—2x—1=0,解?c1土麗—1土込…一~,1+QT3扌,匕護，符合題意，所得2x=2或2x=2，又2x>0，所以x=log22或x=log2以命題①是真命題.命題②是假命題.解方程4-x—2—x—2=—(4x—2x—2)，整理得(2x+2—x)2—(2x+2—x)—6=0，所以(2x+2—x—3)(2x+2—x+2)=0，因為2x+2—x>0，所以2x+2—x—33±V53±V5=0，所以(2x)2—3x2x+1=0，解得2x=~.由工0丘［0，1］，得2x0^［1，2］，而~［1，2],所以原方程在[0,1]上無解?所以在[0,1]上不存在x°,使得g(—x0)=—g(x0)，命題②是假命題.命題③是真命題.設t=2x,由xW(—8,2],得tW(0,4].構造函數y(t)=t2—t—2(4三t>0)，則g(x)=y(t),函數y(t)的圖象如圖2所示.2|-r/JL/rT圖2易得(p(t)W—4,10,結合函數fx)的圖象可知，函數fx)在一9，10上有零點一2,0,2，4，6，8，10，當g(x)分別等于一2,0,2,4,6,8,10時，都只有一個實根?所以方程fg(x)]=0在(—8,2]上有7個實根，命題③是真命題.命題④是假命題.函數g(x)只有唯一零點x=1,所以fx)=1,結合fx)的圖象可知，當fx)=1時，x=2k+1,kwz，所以方程gfx)]=0有無數個實根，且x=2k+1,kwz,命題④是假命題.所以只有命題①③是真命題，故選B.二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．)13．某校共有學生2400人，高一學生有800人，現對學生活動情況進行抽樣調查，用分層抽樣的方法從所有學生中抽取120人，則從高一年級學生中應抽取人．解析：由題意得，抽取的比例為20,因為從所有學生中抽取120人，所以從高一年級學生中應抽取的人數為800x20=40.答案：40已知向量a=(l,m),lbl=l,a+bl=Q7,且向量a,b的夾角是60°,則m=.解析：由la+bl=\戸，得lal2+2a*b+lbl2=lal2+lal+1=7,解得lal=2，所以\_:m2+1=2,故m=±；'3.答案：±,'3S已知在等差數列｛a｝中，｛a｝的前n項和為S,a1=1,S=91，若^=6,則正整TOC\o"1-5"\h\znnn113ak數k=.13x(13－1)解析：解法一：設等差數列｛a”｝的公差為d,則由S]3=91，得13d]十2d=k(k+1)~Sk+191，根據a=1，得d=1，所以a=n，所以S='，所以-'=6，所以k=11.1nk2a2k解法二：在等差數列｛a｝中，S13=91，根據等差數列的性質，可得13a7=91，即a7=7,n1377k(k＋1)Sk＋1又a=1,所以可得公差d=1,即a=n,所以S=',所以~k=,=6,所以k1nk2a2k=11.答案：11如圖，AB是立于山頂上的電視塔，現借助升降機CD測量塔高，當在升降機底部C時，測得點A的仰角為45°、點B的仰角為60°；當