4.7破壞準則

破壞包絡面的形狀及其表達

在主應力空間坐標系（σ1,σ2,σ3）中，將試驗中獲得的混凝土多軸強度（f1，f2，f3）的數據，逐個地標在主應力坐標空間，相鄰各點以光滑曲面相連，可得混凝土的破壞包絡曲面。破壞包絡曲面與坐標平面的交線，即混凝土的二軸破壞包絡線。σ1-fcσ2-fcσ1σ1σ2σ2ftftfttfcc坐標軸的順序按右手螺旋法則規定αξ-σ1-σ3-σ2σ3σ1σ2+(σ1,σ2)-(σ1,σ2)第一頁，共八十七頁。

在主應力空間中，與各坐標軸保持等距的各點連結成為靜水壓力軸（即各點應力狀態均滿足：σ1=σ2=σ3）。

此軸必通過坐標原點，且與各坐標軸的夾角相等，均為

靜水壓力軸上一點與坐標原點的距離稱為靜水壓力（ξ）；其值為3個主應力在靜水壓力軸上的投影之和，故：αξ-σ1-σ3-σ2σ3σ1σ2+(σ1,σ2)-(σ1,σ2)靜水壓力軸第二頁，共八十七頁。垂直于靜水壓力軸的平面為偏平面。3個主應力軸在偏平面上的投影各成120o角。同一偏平面上的每一點的3個主應力之和為一常數：I1為應力張量σij的第一不變量偏平面與破壞包絡曲面的交線成為偏平面包絡線。不同靜水壓力下的偏平面包絡線構成一族封閉曲線。第三頁，共八十七頁。

偏平面包絡線為三折對稱，有夾角60o范圍內的曲線段，和直線段一起共同構成全包絡線。取主應力軸正方向處為θ=0o，負方向處為θ=60o

，其余各處為0o<θ<60o。在偏平面上，包絡線上一點至靜水壓力軸的距離稱為偏應力r。偏應力在θ=0o處最小(rt），隨θ角逐漸增大，至θ=60o處為最大(rc），故rt≤rc

。第四頁，共八十七頁。

一些特殊應力狀態的混凝土強度點，在破壞包絡面上占有特定的位置。從工程觀點，混凝土沿各個方向的力學性能可看作相同，即立方體試件的多軸強度只取決于應力比例σ1：σ2：σ3，而與各應力的作用方向X、Y、Z無關。例如：混凝土的單軸抗壓強度fc和抗拉強度ft不論作用在哪一個方向，都有相等的強度值。在包絡面各有3個點，分別位于3個坐標軸的負、正方向；第五頁，共八十七頁。

同理，混凝土的二軸等壓（σ1=0，f2=f3=fcc）和等拉（σ3=0，f1=f2=ftt

）強度位于坐標平面內的兩個坐標軸的等分線上，3個坐標面內各有一點；混凝土的三軸等拉強度（fl=f2=f3=fttt)只有一點且落在靜水壓力軸的正方向。對于任意應力比(fl≠f2≠f3)的三軸受壓、受拉或拉／壓應力狀態，從工程觀點考慮混凝土的各向同性，可由坐標或主應力(fl，f2，f3)值的輪換（破壞橫截面三重對稱），在應力空間中各畫出6個點，位于同一偏平面上，且夾角θ值相等。第六頁，共八十七頁。

破壞包絡曲面的三維立體圖既不便繪制，又不適于理解和應用，常改用拉壓子午面和偏平面上的平面圖形來表示。

拉壓子午面為靜水壓力軸與任一主應力軸（如圖中的σ3軸）組成的平面，同時通過另兩個主應力軸（σ1

，σ2

）的等分線。此平面與破壞包絡面的交線，分別稱為拉、壓子午線。1、拉子午線的應力條件為σ1≥σ2=σ3

，線上特征強度點有單軸受拉(ft,0,0)和二軸等壓(0,-fcc,-fcc）在偏平面上的夾角為θ=0o;2、壓子午線的應力條件則為σ1=σ2≥σ3

，線上有單軸受壓(0,0,-fc)和二軸等拉(ftt,ftt,0)，在偏平面上的夾角θ=60o。

3、拉、壓子午線與靜水壓力軸同交于一點，即三軸等拉(fttt,fttt,fttt)。拉、壓子午線至靜水壓力軸的垂直距離即為偏應力rt和rc。θ=0oθ=60o第七頁，共八十七頁。

拉壓子午線的命名，并非指應力狀態的拉或壓，而是相應于三軸試驗過程。若試件先施加靜水應力σ1=σ2=σ3

，后在一軸σ1上施加拉力，得σ1≥σ2=σ3

，稱拉子午線；若試件先施加靜水應力σ1=σ2=σ3

，后在另一軸σ3上施加壓力，得σ1=σ2≥σ3

，稱壓子午線。

另外也可以理解為以單軸拉、壓條件定義拉、壓子午線，即單軸拉狀態所在的子午線成為拉子午線，而單軸壓狀態所在的子午線成為壓子午線。試驗研究指出，混凝土的三維破壞面也可用三維主應力空間破壞曲面的圓柱坐標ξ，r，θ來描述，其本身也是應力不變量。θ=0oθ=60o第八頁，共八十七頁。σ1σ2oNξrσ3σ1=σ2=

σ3θ圓柱坐標系及主應力空間應力分解ξ，r，θ的幾何表示σ1σ2oNP(σ1,σ2,

σ3)ξrσ3eθ=60oθ=0orcrt拉子午線壓子午線偏平面-σ3+σ3-(σ1,σ2)等應力軸和一個主應力軸組成的平面通過另兩個主應力軸的等分線轉換過程歸納偏平面σ1-σ1σ2-σ2-σ3σ3θrN靜水應力偏斜應力偏斜應力平面中矢量的方向P第九頁，共八十七頁。

將以上圖形繞坐標原點逆時針方向旋轉一角度(90o－α)，得到以靜水壓力軸(ξ)為橫坐標、偏應力(r)為縱坐標的拉、壓子午線。

于是，空間的破壞包絡面改為由子午面和偏平面上的包絡曲線來表達。破壞面上任一點的直角坐標(fl

，f2，f3)改為由圓柱坐標(ξ,r,θ)來表示，換算關系為：

由上式可知，將上圖的坐標縮小可以用八面體正應力（σoct）和剪應力（τoct）坐標代替靜水壓力和偏應力坐標，得到相應的拉、壓子午線和破壞包絡線。第十頁，共八十七頁。

根據試驗結果繪制的拉、壓子午線和偏平面包絡線。

子午線按照偏平面夾角劃分，試驗點的θ=30~60o

分別列在橫坐標軸的上、下。第十一頁，共八十七頁。試驗時測試θ=0o～60o的扇形（其他的扇形是對稱的）

偏平面包絡線則以八面體應力值分段給出。圖中曲線為混凝土破壞準則的理論值。第十二頁，共八十七頁。

根據國內外混凝土多軸強度的大量試驗資料分析，破壞包絡曲面的幾何形狀具有如下特征：①曲面連續、光滑、外凸；②對靜水壓力軸三折對稱，當應力狀態為靜水應力與單向拉應力疊加時，θ=0o，故θ=0o的子午線稱為受拉子午線。如將單向拉應力換為壓應力，則相應于受壓子午線，θ=60o。③破壞曲線與等應力軸ξ有關。在ξ軸的正向，靜水壓力軸的拉端封閉，頂點為三軸等拉應力狀態；在ξ軸的負向，壓端開口，不與靜水壓力軸相交，破壞曲線的開口隨ξ軸絕對值的增大而增大；第十三頁，共八十七頁。④子午線上各點的偏應力或八面體剪應力值，隨靜水壓力或八面體正應力的代數值的減小而單調增大，但斜率漸減，有極限值；⑤偏平面上的封閉曲線三折對稱，其形狀隨靜水壓力或八面體正應力值的減小，由近似三角形(rt／rc≈0.5)逐漸外凸飽滿，過渡為一圓(rt／rc=1）。第十四頁，共八十七頁。破壞準則

將混凝土的破壞包絡曲面用數學函數加以描述，作為判定混凝土是否達到破壞狀態或極限強度的條件，稱為破壞準則或強度準則。雖然它不屬基于機理分析、具有明確物理概念的強度理論，但它是大量試驗結果的總結，具有足夠的計算準確性，對實際工程有重要的指導意義。

1、分類：①借用古典強度理論的觀點和計算式;②以混凝土多軸強度試驗資料為基礎的經驗回歸式；③以包絡曲面的幾何形狀特征為依據的純數學推導式，參數值由若干特征強度值標定。各個準則的表達方式和簡繁程度各異，適用范圍和計算精度差別大，使用時應認真選擇。第十五頁，共八十七頁。2、著名的古典強度理論包括：①最大主拉應力理論（Rankine)；②最大主拉應變理論（Mariotto）；③最大剪應力理論(Tresca)；④統計平均剪應力理論（VonMises)；⑤Mohr-Coulomb理論；⑥Drucker-Prager理論。

共同特點：針對某種特定材料而提出，對于解釋材料破壞的內在原因和規律有明確的理論（物理）觀點，有相應的試驗驗證，破壞包絡面的幾何形狀簡單，計算式簡明，只含1個或2個參數，其值易于標定。因而，它們應用于相適應的材料時，可在工程實踐中取得良好的效果。例如.VonMises準則適用于塑性材料（如軟鋼），在金屬的塑性力學中應用最廣；Mohr-Coulomb準則反映了材料抗拉和抗壓強度不等（

ft＜fc）的特點，適用于脆性的土壤、巖石類材料，在巖土力學中廣為應用。第十六頁，共八十七頁。第十七頁，共八十七頁。3、以混凝土多軸強度試驗資料為基礎的經驗回歸式隨試驗數據的積累，許多研究人員提出了若干基于試驗結果、較為準確、但數學形式復雜的混凝土破壞準則。準則中一般需要包含4～5個參數。第十八頁，共八十七頁。這些破壞準則的原始表達式中采用了不同的應力量作為變量，分5種：①主應力—fl,f2,f3;②應力不變量—Il,J2,J3;③靜水壓力和偏應力—ξ,r,θ;④八面體應力—σoct,τoct;⑤平均應力—σm,τm

θ。采用上述應力量致使準則的數學形式差別很大，不便作深入對比分析。但這些應力量借助下列基本公式可以很方便地互相變換：第十九頁，共八十七頁。

采用上述應力量致使準則的數學形式差別很大，不便作深人對比分析。但這些應力量借助下列基本公式可以很方便地互相變換：

最終可統一用相對八面體強度（σ0=σoct/fc和τ0=τoct/fc

）表達，經歸納得子午線方程的3種基本形式：第二十頁，共八十七頁。

最終可統一用相對八面體強度（σ0=σoct/fc和τ0=τoct/fc

）表達，經歸納得子午線方程的3種基本形式：

一些常用的、有代表性的混凝土破壞準則列于下表,同時給出了原始表達式和統一表達式，可看到兩者中參數的互換關系。第二十一頁，共八十七頁。第二十二頁，共八十七頁。

過鎮海、王傳志、張秀琴等搜集了國內外大量的混凝士多軸強度試驗數據，與按上述準則計算的理論值進行全面比較，根據三項標準：①計算值與試驗強度的相符程度；②適用的應力范圍寬窄；③理論破壞包絡面幾何特征的合理性等加以評定。所得結論為：較好的準則：過—王、Ottosen和Podgorski準則；一般的準則：Hsieh-Ting-Chen，Kotsovos，Willam-Warnke準則；較差準則：Bresler-Pister準則。在結構的有限元分析中，可根據結構的應力范圍和準確度要求選用合理的混凝土破壞準則。第二十三頁，共八十七頁。4、以包絡曲面的幾何形狀特征為依據的純數學推導公式模式規范CEBFIPMC90C采納了Ottosen準則。它根據偏平面包絡線由三角形過渡為圓形的特點、應用薄膜比擬法：即在等邊三角形邊框上蒙上一薄膜，承受均勻壓力后薄膜鼓起，等高線的形狀由外向內的變化恰好相同．據此建立了二階偏微分方程，求解后轉換得到以應力不變量表達的破壞準則式：第二十四頁，共八十七頁。其中：

a和b決定子午線的形狀，k1和k2分別決定偏平面包絡線的大小和形狀。標定參數值的4個特征強度值取為：單軸抗壓(-fc)、單軸抗拉(ft）、二軸等壓(fcc=1.16fc)三軸抗壓強度第二十五頁，共八十七頁。三軸抗壓強度按下式計算各特征強度的代入第二十六頁，共八十七頁。

得4階聯立方程，解得各參數值。若取ft=0.1fc，解得的4個參數為：a=1.2759,b=3.1962

k1＝11.7365，k2=0.9801Hsieh-Ting-Chen和Podgorski準則是對Ottosen準則的簡化和修正。第二十七頁，共八十七頁。

我國的《混凝土結構設計規范》附錄C.4中采納了過—王準則，其與試驗結果相符較好、以八面體應力無量綱量表達、應用幕函數擬合混凝土的破壞包絡面，一般計算式為:、規范中的破壞準則⑴破壞準則的計算公式第二十八頁，共八十七頁。式中5個參數都有明確的幾何（物理）意義：①當a=τ0,max時，σ0→－∞時τ0有極限值（高壓應力狀態），即②參數b，當τoct/fc＊=0時，b=σoct/fc＊即包絡面或子午線與靜水壓力軸交點的坐標；故b值為混凝土三軸等拉強度（f1=f2=f3=fttt）與單軸抗壓強度的比值符合破壞曲面包絡線隨σoct的增大由近似三角形趨向圓柱面過渡的特性；即，此時，拉、壓子午線與靜水壓力軸平行切等距（rc=rt），偏平面上包絡線為一半徑a的圓，破壞包絡面趨于圓柱形。第二十九頁，共八十七頁。③0<d<1.0時，④θ=0o時c=ct，θ=60o時。c=cc

，代人上式分別得拉、壓子午線，即為拉、壓子午線對應的剪切強度。當θ=0o增加到60o時，ct逐漸增加至cc，符合光滑、外凸的特性；

其導數在σoct/fc＊=b處的數值為∞，即切線垂直于橫坐標，拉、壓子午線在此處連續，破壞包絡面頂點處連續、光滑；第三十頁，共八十七頁。

另外，由于該破壞準則是根據包括整個應力空間8個象限的各種應力狀態的上千個試驗點建立起來的，所以它不僅在中、高靜水壓力區域實驗值符合較好，而且在拉區乃至三向等拉狀態也能較好地反映實際受力情況。該準則適用于平面應力、平面應變、三向受壓、三向受拉、乃至三向拉壓等多種應力狀態，且計算簡單，便于工程設計和非線性分析應用。第三十一頁，共八十七頁。⑵計算參數值的確定

混凝土破壞準則中包含的5個參數，可以用全部試驗數據進行回歸分析擬定，也可在破壞包絡面上，或拉、壓子午線上選定任意5個特征強度值加以標定。前者計算工作量大，一般取用后者。

單軸抗壓和抗拉強度是混凝土的基本強度指標，應作為首選的二個特征強度值。其余3個特征強度可以選用：包絡面頂端，即拉壓子午線交點處的三軸等拉強度；試驗數量較多的二軸等壓強度；和一個強度較高的常規三軸抗壓強度(0＞f1=f2

＞

f3，θ=60o

）。這樣使拉、壓子午線上各有3個控制點，可以較好地擬合試驗結果。第三十二頁，共八十七頁。

將這5個特征值的應力狀態分別代入式計算第三十三頁，共八十七頁。并代人破壞準則計算式，可得5個聯立方程如下：從這些方程求解5個參數值，難有顯式解，可采用迭代法進行數值計算：第三十四頁，共八十七頁。由式③直接得：其中：由其余4式消去參數a，有：第三十五頁，共八十七頁。由式得參數d的計算式：第三十六頁，共八十七頁。由式取得由式取得第三十七頁，共八十七頁。最后由式①～⑤中任意一式計算參數a，取④式得：

在設定了5個特征強度值后、即S60、T60、η、S0、T0等值已知，可應用這些方程進行迭代計算，以確定混凝土破壞準則的5個參數值。其步驟如下：計算參數b；②設定n（＜1）的初始值，如n0=0.98；③代入計算參數d；①由式第三十八頁，共八十七頁。④代入計算K1和K2；⑤由式計算參數cc和ct；⑥代入得n的第一次近似值n1，計算誤差，若不滿足精度要求（取0.0001），則按步驟③④繼續迭代計算；⑦代入計算參數a。第三十九頁，共八十七頁。

確定這5個參數采用的混凝土特征強度值為：①單軸抗壓（-fc)；②單軸抗拉(ft=0.1fc，F=0.1）；③二軸等壓(fcc=1.28fc

，S0=-0.8533，T0=0.6034）；④三軸等拉(fttt=0.9ft

，η=0.9）；⑤三軸抗壓強度（θ=60o，S60=σoct/fc=－4，

T60=τoct/fc=2.7）。分別代入上式，用迭代法計算的參數值：

a＝6.9638b=0.09d=0.9297ct＝12.2445cc＝7.3319第四十頁，共八十七頁。

按此公式可計算各種應力狀態下的混凝土多軸強度理論值，并繪制子午線和偏平面包絡線，以及二軸和三軸包絡線。按此準則計算的混凝土多軸強度值與國內外的試驗結果比較吻合。

將所得參數值代入基本方程，即得混凝土的破壞準則公式：第四十一頁，共八十七頁。

需要說明，選用的上述5個特征強度值，是分析了國內外眾多研究者的試驗結果而確定的，與此相應的混凝土破壞準則（上兩式）可適用于各種試驗條件和全部多軸應力范圍，總體計算準確度較高。如果針對某一種特定的混凝土材料，或者在有限的應力比或靜水壓力范圍（如二軸應力狀態）內，為了得到更準確的破壞準則，可以通過試驗測定，或參照已有試臉資料另行設定5個特征強度值，用上述迭代法計算參數值，得相應的破壞準則計算式。第四十二頁，共八十七頁。多軸強度驗算舉例

二維和三維結構在線彈性或非線性分析后獲得了混凝土的多軸應力狀態，可按多軸強度設計值進行驗算（如4.5所述），也可采用破壞準則進行驗算，通常將混凝土的破壞準則編成程序，附在結構分析之后，由計算機完成混凝土的應力分析和多軸強度驗算。下面列舉幾個手算例題，說明具體的計算方法和步驟，有助于對混凝土破壞準則的理解。例4-7混凝土三向受壓，應力比為σ1:σ2:σ3＝-0.15:-0.3:-1，用上述破壞準則計算相應的多軸強度值。解：設三軸抗壓強度為：另二個方向分別為：其中x

為待定值。第四十三頁，共八十七頁。

計算無量綱的八面體正、剪應力和偏平面夾角：代入第四十四頁，共八十七頁。由準則：建立為一超越方程，解此超越方程得：x=4.48混凝土的三軸抗壓強度為：試驗結果表明，上述比例下的混凝土三軸抗壓強度約為：與計算值接近。

另一方面，若按混凝土規范三軸抗壓強度設計值進行驗算，相同應力比例下的三軸抗壓強度僅為：

比按前述破壞準則的計算值低很多。其主要原因是：給定的多軸壓強度設計值有意比試驗值偏低；未考慮第2主應力σ2的有利作用。第四十五頁，共八十七頁。例4-8一鋼筋混凝土平面結構，在荷載設計值作用下，按線彈性分析得最不利位置處的主應力為（－5、－

16N/mm2），試確定混凝土的強度等級。用混凝土破壞準則進行計算。解：該處混凝土的應力狀態寫成三軸應力形式：設三軸抗壓強度為：相應有：計算破壞準則的各項指標和參數值：第四十六頁，共八十七頁。代入由準則：為一超越方程，解此超越方程得：x=1.37第四十七頁，共八十七頁。此強度值大于按下圖所給的混凝土多軸抗壓強度設計值。試選C30混凝土，其單軸抗壓強度設計值為fc=14.3N/mm2，故若該選C25混凝土，其單軸抗壓強度設計值為fc=11.9N/mm2，也可滿足承載能力要求，第四十八頁，共八十七頁。例4-9若混凝土三方向的應力比為：①（+0.1:+0.06:－1）和②（+0.04:－0.5:－1），確定相應的三軸拉-壓強度。用混凝土破壞準則進行計算。解：①三軸拉-拉-壓應力狀態的應力比為：設三軸抗壓強度為：代入相應計算公式：由準則得：解此超越方程得：x=0.571三軸拉壓強度分別為：第四十九頁，共八十七頁。解：②三軸拉-拉-壓應力狀態的應力比為：設三軸抗壓強度為：代入相應計算公式：由準則得：解此超越方程得：x=1.044三軸拉壓強度分別為：

按混凝土破壞準則計算的這些應力比例下的三軸拉-壓強度，與按二軸拉-壓強度設計值計算的結果接近，二者相差不到10%。第五十頁，共八十七頁。4.8本構關系本構關系的概念

一切結構的力學分析，例如桿系結構的內力和變形分析，二、三維結構的應力和變形分析，以及構件的截面承載力和正常使用階段性能的分析等，都必須使用和滿足三類基本方程，即：⑴力學平衡方程；⑵變形協調條件；⑶本構關系。力學平衡方程，無論是結構的整體或局部、靜力或動力荷載的作用、分析的準確解或近似解都必須滿足，這是混凝土結構進行結構分析最基本的條件。

變形協調條件，是幾何或機動方程。結構是連續體，在荷載作用下會發生變形和位移，但仍應為連續體。幾個部分的變形應該是協調的，在邊界、支座、節點等處仍能互相吻合，這就是滿足變形協調條件。但有時為對結構計算簡圖作某些簡化，第五十一頁，共八十七頁。

本構關系則是聯系前二者，即力和變形間的物理方程，例如材料的應力-應變（σ-ε、τ-γ）或構件截面的彎矩-曲率、軸力-伸長（縮短）、扭矩-轉角等，……之間的關系，統稱為本構關系。各種材料的、不同形式和體系的結構，在力學分析時所用的前二類方程原則相同、數學形式相近，而本構關系可有很大差別。例如，本構關系有彈性的、塑性的，還有與時間相關的黏彈性、黏塑性的，與溫度相關的熱彈性、熱塑性等。每一種特定的本構關系都可發展成為一個相對獨立的力學分支，如彈性力學、塑性力學、黏彈（塑）性力學，熱彈（塑）性力學等。近期發展的斷裂力學、損傷力學等，也各有相應的本構關系。由于本構關系的不同，這些力學分支各有獨特的分析思路和求解方法，并獲得相應的計算結果。分析計算作了某些假定，造成難以完全滿足各單元之間的變形協調，特別是難以滿足邊界約束條件。因此，也不一定要求從微觀上嚴格滿足變形協調，但在宏觀上，即整體上，仍能滿足變形協調條件，使結構分析的結果與實際情況不致有較大的出入。第五十二頁，共八十七頁。

鋼筋混凝土是一種特殊的組合結構材料。除了鋼筋（材）和混凝土本身的材料本構關系因所用材料的品種和強度等級而不同外，還因二者的配合和相對比例、如面積比、強度比、彈性模量比、……等的變化，而又有更復雜的組合本構關系，如平均應力-應變、截面彎矩-平均曲率、……等。將這些鋼筋混凝土的特殊本構關系引入結構的非線性分析，完全有理由稱之為鋼筋混凝土力學。事實上，這已是混凝土結構和構件分析的重要發展方向。

混凝土在簡單應力狀態下的本構關系，即單軸受壓和受拉時的應力-應變關系比較明確，可以相當準確地在相應的試驗中測定，并用合理的經驗回歸式加以描述。即使如此，仍然因為混凝土材性的離散、變形成分的多樣和影響因素的眾多等而在一定范圍內變動。第五十三頁，共八十七頁。

混凝土在多軸應力狀態下的本構關系，當然更要復雜得多。3個方向主應力的共同作用，使各方向的正應變和橫向變形效應相互約束和牽制，影響內部微裂縫的出現和發展程度。而且，混凝土多軸抗壓強度的成倍增長和多軸拉／壓強度的降低，擴大了混凝土的應力值范圍，改變了各部分變形成分的比例，出現了不同的破壞過程和形態。這些都使得混凝土多軸變形的變化范圍大，形式復雜。另一方面，混凝土多軸試驗方法的不統一和應變量測技術的困難，又加大了應變量測數據的離散度，給研究本構關系造成更大困難。第五十四頁，共八十七頁。

有限元方法和計算機技術的發展為混凝土結構和構件的非線性分析創建了便利條件。任何類型、體系和受力狀況的結構或其局部都可依靠非線性分析方法求解。但是，計算結果的可靠性和準確度主要取決于所采用的鋼筋混凝土各項非線性本構關系是否準確、合理。因此，建立或選擇本構關系是結構非線性分析的關鍵問題，成為近20年混凝土結構的一個重要研究方向。確定了合適的本構關系、進行非線性的全過程分析，有可能改變目前的鋼筋混凝土結構的內力彈性分析和截面承載力經驗性計算等不盡理想的景況，走向更完善、準確的理論解方向。第五十五頁，共八十七頁。非線性分析中的各種本構關系

結構分析時，無論采用解析法和有限元法都要將整體結構離散化、分解成各種計算單元。例如二、三維結構的解析法取為二維或三維應力狀態的點（微體），有限元法取為形狀和尺寸不同的塊體；桿系結構可取為各桿件的截面、或其一段、或全長；結構整體分析可取其局部，如高層建筑的一層作為基本計算單元。因此，本構關系可建立在結構的不同層次和分析尺度上．當然最基本的是材料一點的應力-應變關系，由此決定或推導其他各種本構關系。

各種計算單元的本構關系一般是以標準條件下，即常溫下短時一次加載試驗的測定值為基礎確定的。當結構的環境和受力條件有變化時，如反復加卸載、動載、荷載長期作用或高速沖擊作用、高溫或低溫狀況、……等，混凝土的性能和本構關系隨之有不同程度的變化、必須進行相應修正，甚至重新建立專門的本構關系。第五十六頁，共八十七頁。

所以，鋼筋混凝土非線性本構關系的內容非常豐富，試驗和理論研究也有一定難度。經過各國研究人員的多年努力，本構關系的研究已在寬廣的領域內取得了大量成果，其中比較重要和常用的本構關系有：

◆混凝土的單軸受壓和受拉應力-應變關系；

◆混凝土的多軸強度（破壞準則）和應力-應變關系；

◆多種環境和受力條件下的混凝土應力-應變關系，包括受壓卸載和再加載，壓拉反復加卸載，多次重復荷載（疲勞），快速（毫秒或微秒級）加載和變形，高溫（＞l00oC）和低溫＜0oC）狀況下的加卸載，……；◆與時間有關的混凝土受力性能，如定應力或變應力作用下的徐變（松弛）、收縮、……；◆鋼材（筋）的應力-應變關系，和反復應力作用的Bauschinger效應；第五十七頁，共八十七頁。◆鋼筋和混凝土界面的粘結應力-相對滑移（τ-s）關系，包括單調和反復荷載作用；◆混凝土受拉開裂后，沿裂縫面有骨料咬合作用；與裂縫相交的鋼筋，縱向有受拉剛化效應，橫向有銷栓作用；◆橫向約束混凝土，包括螺旋箍筋、矩形箍筋和鋼管混凝土等的應力-應變關系；◆構件（截面）在單調荷載作用下的彎矩-曲率關系，在（地震）反復荷載作用下的彎矩-曲率恢復力模型；◆二維和三維鋼筋混凝土有限單元的各種本構關系，如分離式、組合式或整體式模型，以及鋼筋和混凝土界面的聯結單元模型，……；……。第五十八頁，共八十七頁。確定本構關系（模型）的方法

結構分析中所需的某種計算單元的本構關系，研究人員可通過試驗的、理論的、或半經驗半理論的方法，建立多種具體的本構模型。例如，混凝土的多軸本構（應力-應變）關系可分作線彈性、非線（性）彈性、塑性理論或其他力學理論為及其礎的多種模型。其中較實用的非線（性）彈性模型，又細分為各向同性、正交異性和各向異性類，同一類中又有數種不同的具體數學模型。同一種本構關系出現多種不同的具體模型，且形式有繁有簡，或精或粗，相差懸殊，其計算結果也不盡相同。這種情況既因為混凝土材性的復雜多變和離散性較大，也反映了研究者學術觀點和研究方法的不同。許多模型各有利弊和適用范圍，難以求得統一。因此，在設計和分析結構時應選擇合理和適用的本構模型。第五十九頁，共八十七頁。

確定本構模型有三種方法：⑴用與工程結構相同的混凝土材料，專門制作足量的試件、通過試驗測定和分析后確定；⑵選定適合該結構的合理本構模型形式，其數學表達式中所需的參數值由少量試驗加以標定；⑶采用經過試驗驗證或工程經驗證明可行的具體本構（數學）模型。為了保證本構關系的可靠性，上述方法按優選次序排列。由于混凝土大量地采用地方性材料，施工制作工藝和質量控制水平出入較大，使混凝土的實際力學性能有較大的變異性和離散度。結構分析所需的各項本構關系應根據建筑物的重要性、結構體系的類型、要求的計算精度、實際施工水平，和具備的試驗條件等慎重地加以選擇。第六十頁，共八十七頁。

在結構設計計算和有限元分析中須引入混凝土的多軸本構關系，許多學者進行了大量的試驗和理論研究，提出了多種多樣的混凝土本構模型。根據這些模型對混凝土材料力學性能特征的概括，分成4大類：①線彈性模型；(彈性模型)②非線（性）彈性模型；(彈性模型)③塑性理論模型；(非彈性模型)④其它力學理論類模型。(非彈性模型)

各類本構模型的理論基礎、觀點和方法迥異，表達形式多樣，簡繁相差懸殊，適用范圍和計算結果的差別大。很難確認一個通用的混凝土本構模型，只能根據結構的特點、應力范圍和精度要求等加以適當選擇。至今，實際工程中應用最廣泛的還是源自試驗、計算精度有保證、形式簡明和使用方便的非線彈性類本構模型。本構關系（模型）的分類第六十一頁，共八十七頁。線彈性本構關系

這是最簡單、最基本的材料本構關系。它假設材料的各方向應力與相應應變符合線性比例關系，加載和卸載沿同一直線往返變化，完全卸載后無殘余應變如圖。

因而應力和應變有確定的唯一關系，其比值稱彈性常數，或彈性模量。考慮材料各方向性能的異同，可分別建立各向異性的、正交異性的或各向同性的線彈性本構模型。第六十二頁，共八十七頁。1、各向同性本構模型

結構中的任何一點，共有6個獨立的應力分量：即正應力σ11、σ22

、σ33

剪應力τ12=τ21、τ23=τ32

、τ31=τ13

。相應地也有6個應變分量：為正應變ε11、ε22

、ε33剪應變γ12=γ21、γ23=γ32

、γ31=γ13

假設材料的各方向同性、有相等的彈性常數，即可建立正應力-正應變和剪應力-剪應變之間的關系如下：第六十三頁，共八十七頁。這就是眾所熟知的廣義虎克定律。其中包含了3個彈性常數：

E—彈性模量（N/mm2）；

ν—橫向變形系數、即泊松比；

G—剪切模量（N/mm2）。且由于獨立的彈性常數只有2個，一般以E和ν表示。第六十四頁，共八十七頁。將式（1）合并第六十五頁，共八十七頁。將式（1）合并后求逆，即得剛度矩陣表示的應力-應變關系式：

這就是各向同性材料的線彈性本構模型。對于任一種材料，只需測定或給定其彈性模量E和泊松比ν，即可確定其全部本構關系。第六十六頁，共八十七頁。

各向同性的線彈性本構模型，是迄今發展最成熟，應用最廣泛的材料本構模型。經典的彈性力學就是以此模型作為物理基礎，對許多二維、三維結構，包括扳、殼結構等的分析給出了準確的解析解。現今，分析二維和三維結構最常用的有限元方法，也以此本構模型為基礎推導基本公式，并編制成多種通用的或專用的結構分析程序，例如ANSYS、SAP、ADINA等，已在實際工程中廣為應用，卓有成效。2、各向異性和正交異性本構模型

如果考慮一點的6個應力分量和6個應變分量之間的彈性常數都不相同，即可建立最一般性材料的各向異性本構關系：第六十七頁，共八十七頁。第六十八頁，共八十七頁。式中Kii,ii—正應力σii和正應變εii間的剛度系數，即彈性模量；

Gij,ij—剪應力τij和剪應變γij間的剛度系數，即剪切模量；

Yii,ij—正應力σii和剪應變εii間的剛度系數；

Hij,ii—剪應力τij和正應變εii間的剛度系數。

Y和H合稱為耦合剛度系數（模量）

上式中可見，各向異性材料的本構模型中共包含了6×6=36個彈性常數（模量），數值可能各不相同，需要通過相應的材料試驗分別地加以測定。上面以剛度矩陣表達的各向異性本構關系（4）式，求逆后可用柔度矩陣表達。柔度矩陣中同樣有36個材料的彈性常致，每一個元素都是正（剪）應變和正（剪）應力對應的柔度系數。第六十九頁，共八十七頁。

實際工程中的結構材料都沒有如此復雜的力學性能，因而本構關系可作簡化。最典型的是正交異性材料，其力學性能的主要特點為：三個方向各有不同的彈性常數（彈性模量和泊松比），但正應力的作用不產生剪應變（Y=∞），剪應力的作用也不產生正應變（H=∞），且不對其他平面產生剪應變。例如，處于三軸應力狀態的混凝土，各方向的正應力值不等，又有拉壓之分，應有不等的彈性常數值。

依據正交異性材料的特點，可將各向異性材料的6階本構方程組（4）解耦，降為二個3階方程組，分別建立正應力-正應變的本構關系如下：第七十頁，共八十七頁。

式（5）中的剛度矩陣對稱，獨立的彈性常數只有6個，加上式（6）中的3個常數，故正交異性材料的獨立彈性常數共為9個。

若將彈性常數用工程界熟悉的E、ν和G表示，正交異性材料的本構關系可改寫成簡明的柔度矩陣形式：剪應力-剪應變的本構關系如下：第七十一頁，共八十七頁。式中

E1、E2、E3

—

3個相互垂直方向的彈性模量；

G12、G23、G31

—

3個相互垂直方向的剪切模量；

ν12、……—應力σ22對方向1的橫向變形系數（泊松比），

其余類推。由于式（7）中柔度矩陣的對稱性，可得3個附加方程：

故本構關系中同樣是9個獨立的彈性常數。式（7）和式（8）分別求逆后，即可得式（5）和式（6）中的剛度矩陣和相應的元素。第七十二頁，共八十七頁。非線彈性本構關系

混凝土當然不是線彈性材料，上述線彈性本構關系用于分析混凝土結構時，其適用范圍和計算精度顯然都受限制，因而建立和發展了非線（性）彈性類本構關系。這類本構關系的主要特點是反映了材料（混凝土）應變隨著應力的增大而非線性地增長的基本規律。同時，為了簡化計算又假設卸載時應變沿加載線返回，全部卸載后不留殘余應變，如圖，應力與應變有惟一對應關系，因而材料又是彈性的。

應力-應變曲線的具體形狀和計算式，一般都根據混凝土的單軸和多軸應力狀態的試驗結果加以標定，或者采用經驗公式進行回歸擬合。第七十三頁，共八十七頁。

非線（性）彈性本構關系的顯而易見的優點是：⑴突出了混凝土非線性變形的主要特點，計算式直接由試驗數據確定，因而在一次單調比例加載情況下有較高的計算精度。⑵簡化了卸載途徑，便于分析和減少計算量；⑶可利用線彈性本構關系的已有分析和計算程序；⑷與其他（非彈性）類本構關系相比，其概念、形式和應用都更簡單；數學表達式簡明、直觀，易被工程師們接受和應用，因而在至今的工程實踐中應用最廣。第七十四頁，共八十七頁。其主要缺點是不能反映混凝土更復雜的性能，如卸載和加載曲線不重合，存在滯回環，卸載后留有殘余應變，多次重復加卸載時的剛度退化，以及三方向應力的不同施加途徑有不等的應變值等。因此，非線彈性本構關系不能適用于分析混凝土結構的卸載、加卸載循環和非比例加載等復雜的受力過程。已有的混凝土多軸試驗和理論研究的文獻中，提出了許多種非線彈性類本構模型，按照對材料各方向性能異同的考慮，也可分作各向同性的、正交異性的和各向異性的本構模型。第七十五頁，共八十七頁。

各種本構模型的理論概念、建立方法、數學表達形式和計算參數值等都有較大差別，給出的計算結果也不盡相同、甚至有較大出入。而且，各模型的適用范圍也有不同，有些模型可應用于三軸應力的任意拉壓組合，且可給出應力-應變曲線的上升段和下降段，另一些模型只限用于二軸應力狀態，或受壓應力狀態，或應力-應變曲線的上升段。在結構分析時，應慎重地選擇合理的混凝土本構模型，必要時進行理論的或試驗的驗證。至今國內外在混凝土結構的非線性有限元分析中常用的非線彈性本構模型有Ottosen模型和DarwinPecknold模型等，有些國際規范也明確建議采用這兩種模型。此二模型的主要計算原則簡要介紹如下，詳細的計算公式、推導過程和參數值等請見有關文獻。第七十六頁，共八十七頁。1、Ottosen模型

此本構模型屬三軸的、各向同性的非線彈性類模型。它以混凝土的單軸受壓應力-應變曲線方程為基礎，推導得多軸應力狀態下混凝土割線彈性模量如圖。計算公式如下：第七十七頁，共八十七頁。E0

—

混凝土單軸受壓的初始切線彈性模量；

Ef

—

混凝土達多軸強度時相應的峰值割線模量（fc3

/εc3），由單軸受壓峰值割線模量（f3

/ε3），和三軸應力狀態（σ1、σ2、fc3)進行計算；

β—

非線性指數，取為混凝土當前應力（σ1、σ2、σ3）和按破壞準則計算強度（fc1=σ1

、fc2=σ2

、fc3

）的比值：

顯然，當混凝土開始受力直至破壞，β值由0增大至1，其割線彈性模量由E0單調地減小、直至Ef

。第七十八頁，共八十七頁。

混凝土的割線泊松比按圖取值。式中ν0—

混凝土的初始泊松比，可取為0.16～0.20。可見泊松比值隨應力（或β）的增大而單調地增長。計算公式如下：Ottosen本構模型給出的割線彈性模量Es和泊松比νs

，適用于全量式的非線性（有限元）分析。當按照荷載步長逐步地進行計算時，由當前的混凝土主應力（σ1、σ2、σ3）值確定非線性指數β，再由式（10）和式（12）計算Es和νs代入各向同性的線彈性本構關系式(1)或式(3)，即可行結構的有限元分析運算。由于各荷載步的應力水平（或β值）不等，Es和νs隨之變化，完成全部荷載步的分析后，可得結構受力的非線性全過程。……（