第五章線性系統的頻域分析法5.1引言5.2頻率特性5.3典型環節和開環頻率特性曲線的繪制5.4頻率域穩定判據5.5穩定裕度5.6閉環系統的頻域性能指標5.1引言時域法是分析和設計控制系統的直接方法，它的主要優點是：1）直觀、容易理解。借助于MATLAB仿真，可以直接得到系統的時域響應曲線，以及各種時域指標。2）典型二階系統的參數與系統性能指標的關系明確。當系統的閉環零、極點滿足二階近似條件時，可用主導極點對應的典型二階系統的指標來近似估計高階系統的技術指標。1.時域分析法的優缺點

但是時域法存在著一些不足之處。

1）時域分析是在典型信號的激勵下進行的，而實際信號不可能是理想的典型信號，往往包含著一些不希望的成分，比如高頻干擾信號。時域分析沒有描述系統對高頻干擾信號的抑制能力。

2）系統的時域設計是通過增加開環零、極點來重新配置系統的閉環主導極點，這對于串聯校正是方便的，但對于其他校正方法就不那么方便，比如反饋校正（第六章將會看到）。

3）時域分析和設計需要精確的根軌跡圖，在沒有MATLAB之前，精確的根軌跡繪制并不是一件容易的事，而概略圖只能用于定性分析，而不能用于定量分析。因此，精確根軌跡的繪制困難大大影響了系統的設計效率。4）時域法中穩定裕量用距虛軸最近的閉環極點離虛軸的距離來表示，這種表示只能說明穩定性，不包含系統動態特性的任何信息。5）延遲系統的開環傳遞函數包含延遲環節，其閉環特征方程是超越方程，不能用勞斯判據判斷穩定性，也不能用MATLAB繪制根軌跡，系統分析很困難。6）對于高階系統，如果不能用二階近似分析，則沒有任何參數可以反映系統的動態性能，在這種情況下，設計高階系統沒有依據，只能反復試探、調整。

頻域法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統的間接方法。頻域分析法是一種圖解分析法。它依據系統的又一種數學模型——頻率特性，對系統的性能，如穩定性、快速性和準確性進行分析。

頻域法很好地彌補了時域法的不足，并且因其使用方便、適用范圍廣且數學模型容易獲得而得到了廣泛的應用。

頻域分析法是二十世紀三十年代發展起來的研究自動控制系統的一種經典工程實用方法。是一種利用頻率特性進行控制系統分析的圖解方法，可方便地用于控制工程中的系統分析與設計。2.頻域分析法研究的意義

頻域性能指標與時域性能指標之間有著內在的聯系，通過這種內在聯系，可以由系統的頻域性能指標求出時域性能指標或反之。因此，頻域分析法與時域分析法和根軌跡法是統一的。頻域分析法的優點(1)不必求解系統的特征根，采用較為簡單的圖解法就可研究系統的穩定性。由于頻率響應法主要通過開環頻率特性的圖形對系統進行分析，因而形象直觀且計算量少。(2)系統的頻率特性可用實驗方法測出。頻率特性有明確的物理意義，它可以用實驗方法來測定，這對于難以列寫微分方程式的元件或系統來說，具有重要的實際意義。(3)頻域分析法不僅適用于線性定常系統的分析研究，還可以推廣應用于某些非線性控制系統。(4)便于系統分析和校正。根據系統的頻率性能間接地揭示系統的動態特性和穩態特性，可以簡單迅速地判斷某些環節或參數對系統性能的影響，便于分析和校正。5.2頻率特性一、頻率特性的基本概念RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)其中：T=RC設1.頻率特性的定義經拉氏反變換，可得瞬態分量穩態分量穩態輸出：Uo--穩態輸出幅值j--穩態輸出相位正弦輸入與穩態輸出之間：頻率相同；幅值不同；相位不同。---幅頻特性幅頻特性曲線幅頻特性：穩態輸出與輸入的振幅之比。1.00A(w)w線性系統G(s)輸出仍為正弦信號，頻率與輸入信號相同，幅值較輸入信號有一定衰減，相位存在一定延遲。---相頻特性相頻特性曲線相頻特性：穩態輸出與輸入正弦信號的相位差。j(w)w系統傳函：頻率特性(幅相特性)：將G(jw)寫成復數形式：---實頻特性---虛頻特性幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間的關系：2.頻率特性與傳遞函數的關系一般線性定常系統：若：則：則：若系統穩定，則極點都在s左半平面。當t→∞，即穩態時：其中kc、k-c分別為：頻率特性與傳遞函數的關系為：頻率特性的求取一般用這兩種方法1.已知系統的系統方程，輸入正弦函數求其穩態解，取輸出穩態分量和輸入正弦的復數比；2.根椐傳遞函數來求?。?.通過實驗測得。頻率特性與其它數學模型的關系微分方程頻率特性傳遞函數脈沖函數頻率響應法與時域法的不同點：1）輸入是正弦函數；2）只研究系統穩態分量(而非過渡過程)中，幅值、相角隨

w變化的規律。例1:設單位反饋控制系統的開環函數為，若輸入信號為：，試求(1)穩態輸出css(t)(2)穩態誤差ess(t)?解:(1)穩態輸出：(2)穩態誤差：1.極坐標圖當w：0→∞時，向量G(jw)的幅值|G(jw)|和相角j(w)隨之作相應的變化，其端點在復平面上移動的軌跡稱為極坐標圖或Nyqusit圖。

G(jw2

)G(jw1

)w0ReIm--幅相頻率特性曲線、Nyqusit曲線P(w)、A(w)是w的偶函數，Q(w)、j(w)是w的奇函數，因此，w：0→-∞時，G(-jw)與G(jw)關于實軸對稱。二、頻率特性的幾何表示法共軛對稱共軛對稱一般作圖方法(1)手工繪制取w=0和w=∞兩點，必要時還應在0<w<∞之間選取一些特殊點，算出這些點處的幅值和相角，然后在幅相平面上作出這些點，并用光滑的曲線將它們連接起來。(2)用計算機繪制2.伯德圖--對數頻率特性曲線、Bode曲線

伯德圖由對數幅頻特性和對數相頻特性兩條曲線組成，都以頻率為橫軸變量。(1)伯德圖的坐標橫坐標分度：橫坐標采用不均勻的對數刻度縱坐標采用線性刻度半對數坐標

以頻率w的對數值lgw進行線性分度，但為了便于觀察仍標以w的值，因此對w而言是非線性刻度。Dec(十倍頻程)：w

每變化十倍，橫坐標變化一個單位長度。lgw0132w１2345678910100lgw00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954121101000100w

縱坐標分度：

對數幅頻特性曲線L(w)--對數幅值L(w)=20lgA(w)相頻特性曲線單位：分貝(dB)單位：度(o)或弧度(2)使用對數坐標圖的優點①由于橫坐標采用對數刻度，展寬了低頻段，壓縮了高頻段（可以在較大的頻段范圍內表示系統頻率特性）；②可以將乘法運算轉化為加法運算；③所有的典型環節的頻率特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示；④對實驗所得的頻率特性用對數坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。(3)關于Bode圖的幾點說明①由于橫坐標采用w的對數刻度，所以w

=0不可能在橫坐標上表示出來；②橫坐標上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。3.對數幅相曲線--尼科爾斯圖、尼科爾斯曲線

以角頻率為參變量，橫坐標是相位，單位采用角度；縱坐標為幅值，單位采用分貝。5.3典型環節和開環頻率特性曲線的繪制一、典型環節的頻率特性1.比例環節ReImK極坐標圖cleark=10;num=[k];den=[1];sys=tf(num,den)nyquist(sys)Matlab繪制Nyquist圖注意：是一個點，不是一條線L(w)=20lgK=常數伯德圖K不同時：幅頻曲線上下平移，相頻曲線不變。freq_k_bode.mcleark=10;num=[k];den=[1];sys=tf(num,den)bode(sys)gridMatlab繪制Bode圖2.慣性環節(1)極坐標圖整理得：證明的幅相特性是半圓。(2)伯德圖①對數幅頻特性--轉折頻率(交接頻率)

②相頻特性wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4高頻漸近線斜率為-20dB/Dec低頻漸近線為0dB的水平線伯德圖高頻漸近線斜率：幅頻特性漸近線誤差(3)一階微分①極坐標圖ReIm1--轉折頻率②伯德圖高頻漸近線斜率為20dB/Dec對數幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線伯德圖注意：一階微分環節的對數頻率特性是慣性環節對數頻率特性的負值，即一階微分環節的對數幅頻特性和對數相頻特性分別與慣性環節的對數幅頻特性及對數相頻特性對稱于橫軸。傳遞函數互為倒數的典型環節最小相位典型環節中，積分環節和微分環節、慣性環節和一階微分環節、振蕩環節和二階微分環節的傳遞函數互為倒數，即

設，則可知，傳遞函數互為倒數的典型環節，對數幅頻曲線關于0dB線對稱，對數相頻曲線關于線對稱。對于傳遞函數互為倒數非最小相位典型環節，其對數頻率特性曲線的對稱性同樣成立。3.積分環節(1)極坐標圖ReIm(2)伯德圖一條斜率為-20dB/Dec的直線4.微分環節(1)純微分環節ReIm①極坐標圖②伯德圖一條斜率為20dB/Dec的直線5.振蕩環節(0<z<1,wn>0)顯然，相頻特性曲線從單調至。當時，，此時，表明振蕩環節與虛軸的交點為。

取，得諧振頻率與諧振峰值

因為時，。不同阻尼比情況下，振蕩環節的幅相曲線和對數頻率特性曲線分別如圖所示，其中。

無論是欠阻尼還是過阻尼系統，其圖形的基本形狀是相同的，當過阻尼時，阻尼系數越大其圖形越接近圓。(1)極坐標圖(2)伯德圖w=1/T--轉折頻率低頻漸近線為0dB的水平線高頻漸近線斜率為-40dB/Dec對數幅頻特性：相頻特性：伯德圖漸近線誤差可見：在0.4<<0.7時，工程上可直接使用漸近對數幅頻特性；在此范圍之外，應使用準確的對數幅頻特性。(2)二階微分①極坐標圖--轉折頻率②伯德圖高頻漸近線斜率為40dB/Dec對數幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線伯德圖慣性環節一階微分環節傳遞函數互為倒數的典型環節對數幅頻特性曲線關于0dB線對稱；相頻特性曲線關于0o線對稱。純微分環節積分環節振蕩環節二階微分6.非最小相位環節(1)比例環節：(2)慣性環節：(3)一階微分環節：(4)振蕩環節：(5)二階微分環節：

除了比例環節外，非最小相位環節和與之相對應的最小相位環節的區別在于開環零極點的位置。非最小相位的慣性環節幅頻特性相同；相頻特性符號相反；

幅相頻率特性曲線關于實軸對稱。最小相位的慣性環節非最小相位的慣性環節對數幅頻特性曲線相同；相頻特性曲線關于0o線對稱。

1.開環系統極坐標圖的繪制(繪制奈氏圖)手工畫法將開環系統的頻率特性寫成A(w)ejj(w)或P(w)+jQ(w)的形式，根據不同的w算出A(w)、j(w)或P(w)、Q(w)，可在復平面上得到不同的點并連之，則可繪出系統的開環幅相頻率特性曲線。需注意一些特殊點，如起點、終點，與實、虛軸的交點等。使用MATLAB工具繪制二、開環系統頻率特性的繪制開環幅相曲線的繪制方法開環幅相曲線可以通過取點、計算和作圖繪制系統開環幅相曲線。這里著重介紹結合工程需要，繪制概略開環幅相曲線的方法。反映開環頻率特性的三個重要因素：（1）確定開環幅相曲線的起點和終點；（2）確定開環幅相曲線與實軸的交點或為穿越頻率，開環幅相曲線曲線與實軸交點為

（3）開環幅相曲線的變化范圍（象限和單調性）。例5-1:設0型系統的開環傳遞函數為：，試繪制系統的開環幅相頻率特性(奈氏圖)。解：用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖：ReIm系統頻率特性數據0-5.77Q(w)0P(w)wj(w)10.0000。-56.3。0.200.40.343.85-4.14-85.2。0.8-0.79-1.72-114.6。-180。∞例5-1（176頁）某0型單位負反饋系統開環傳遞函數為

試概略繪制系統開環幅相曲線。解：由于慣性環節的角度變化為～-900，故該系統開環幅相曲線中起點為：終點為：系統開環頻率特性令，得，即系統開環幅相曲線除在處外與實軸無交點。由于、可正可負，故系統幅相曲線在第Ⅳ和第Ⅲ象限內變化，系統概略開環幅相曲線如左圖所示。例5-2:設某Ⅰ型系統的開環傳函為：(K,T1,T2>0)，試繪制其開環極坐標圖。解：分析：1.w=0時

當w→0時，G(jw)漸近線是一條通過實軸-K(T1+T2)，且平行于虛軸的直線。2.當w→∞時3.與實軸的交點令：Q(w)

=0解得：交點為：ImRe極坐標圖：具有積分環節的系統的頻率特性的特點頻率特性：式中：顯然，低頻段的幅值和相角均與系統型數有關。(Ⅰ型)(Ⅱ型)0型(n

=0)：Ⅰ型(n

=1)：Ⅱ型(n

=2)：n型(n

=4r+i)：(0型)低頻段頻率特性ImRe則k>0時為i×(-90°)的無窮遠處，k<0時為i×(-90°)-180°

的無窮遠處.高頻段的幅相特性曲線與n-m有關n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性極坐標特性曲線的終點都回到原點至于中頻段，可計算一些特殊點的來確定，如與坐標的交點等。ReIm3）若開環系統存在等幅振蕩環節，重數為正整數，即開環傳遞函具有下述形式不含的極點，則當趨于時，趨于無窮，而即在附近，相角突變。例5-3（P178,例5-5）設系統開環傳遞函數為試繪制系統開環概略幅相曲線。解:

開環幅相曲線的起點：終點：由開環頻率特性表達式知的虛部不為零，故與實軸無交點。注意到開環系統含有等幅振蕩環節，當趨于時，趨于無窮大，而相頻特性取在的附近，相角突變，幅相曲線在處呈現不連續現象。作系統開環概略幅相曲線如圖所示。例5-4已知系統開環傳遞函數為試概略繪制系統開環幅相曲線。解系統開環頻率特性為起點：終點：與實軸的交點：因為從單調減至，故幅相曲線在第IV象限、第Ⅲ象限與第Ⅱ象限間變化。開環概略幅相曲線如圖所示。2.系統開環對數頻率特性的繪制(繪制伯德圖)將開環傳遞函數表示成若干典型環節的串聯形式：結論：對數幅頻特性=組成系統的各典型環節的對數幅頻特性之代數和。相頻特性=組成系統的各典型環節的相頻特性之代數和。繪制開環系統Bode圖的步驟(1)將開環傳遞函數表示為典型環節的串聯（把開環系統傳遞函數寫成含有零、極點因子相乘積的形式）；(2)確定各環節的轉折頻率并由小到大標在對數頻率軸上；(3)計算20lgK，過點(1,20lgK)作斜率等于-20ndB/dec的直線，得到最低頻段的漸近線或其延長線(最低頻段的斜率由積分環節個數決定)；重點補充：低頻段的漸近特性曲線（可由斜率和一點0決定）開環系統幅頻特性的斜率取決于K/（即斜率為-20dB/dec）低頻段漸近特性曲線上的某點0

，用如下三方法求取，a)

在<min

范圍內任選一點0，c)

取L(0)為特殊值0，b)

取頻率為0=1，0>min，則(0,L(0))點在低頻漸近曲線的延長線上(4)從低頻漸近線開始，沿w增大的方向，每遇到一個轉折頻率改變一次漸近線斜率，直到繪出轉折頻率最高的環節為止；慣性環節：-20dB/dec振蕩環節：-40dB/dec一階微分環節：+20dB/dec二階微分環節：+40dB/dec(5)若有必要，可對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性；(6)相頻特性曲線由各環節的相頻特性相加獲得。注意：對數幅頻特性曲線上要標明斜率！[例5]開環系統傳函為：，試畫出該系統的伯德圖。解：1.該系統是1型系統2.低頻漸近線過點(1,20lgK)斜率為：-20n=-20dB/dec3.伯德圖如下：L(w)w[例6]系統開環傳函為：，試繪制系統的開環對數頻率特性。解：1.該系統是0型系統2.低頻漸近線過點(1,20)斜率為：-20n=0dB/dec3.開環對數幅頻特性如下：-40-60124100wL(w)20紅線為漸近線，蘭線為實際曲線。[例5-7]系統開環傳函為：，試繪制系統的開環對數幅率漸進特性曲線。解：1.該系統是2型系統2.低頻漸近線過點(1,20)斜率為：-20n=-40dB/dec3.開環對數幅頻特性：w

110220100一階微分振蕩慣性轉折頻率環節三、傳遞函數的頻域實驗確定1.頻率響應實驗信號源對象記錄儀

Asinwt2.傳遞函數確定(1)確定幅頻特性的漸近線；用斜率為20dB/dec整數倍的直線段來逼近實驗曲線。(2)確定系統積分或微分環節的個數；低頻段斜率為-20dB/dec，則系統開環傳遞有個積分環節，系統為型系統。(3)確定系統傳遞函數表達式；當某w處系統對數幅頻特性漸近線的斜率發生變化時，此w即為某個環節的轉折頻率。(4)根據低頻段漸近線或其延長線在w=1的分貝值，確定開環增益K。k為直線斜率(單位：dB/dec)L(w)(dB)w1w2wL(w1)0L(w2)kdB/decw

0.1120例1.已知某最小相位系統由頻率響應實驗獲得的對數幅頻曲線如圖所示，試確定其傳遞函數。(1)確定系統積分環節的個數n=1解：(2)確定系統傳遞函數低頻段的漸近線為-20dB/dec(0.1,20)和(1,20lgK)都位于-20dB/dec的直線上K=1w

0.1120(3)確定開環增益K例2[例5-7]已知某最小相位系統由頻率響應實驗獲得的對數幅頻曲線和對數幅頻漸進特性曲線如圖所示，試確定其傳遞函數。(1)確定積分環節(或微分環節)的個數n=-1解：(2)確定系統傳遞函數低頻段的漸近線為+20dB/dec一個微分環節(1,0)和(w1,12)位于+20dB/dec的直線上w1

=3.98(w2,12)和(100,0)都位于-40dB/dec的直線上w2

=50.1求w1,w2

,

zK=1(3)確定開環增益K20lgK=0求w1,w2

,

z5.4頻率域穩定判據

奈奎斯特穩定判據是奈奎斯特于1932年提出的，是用開環頻率特性判別閉環系統的穩定性，它是頻率分析法的重要內容。奈氏判據能夠：判斷系統是否穩定(絕對穩定性)；確定系統的穩定程度(相對穩定性)；分析系統的瞬態性能，指出改善系統性能的途徑。1.輔助方程開環傳遞函數：閉環傳遞函數：輔助方程：一、奈氏判據的數學基礎（輔助方程實際是特征方程）(1)F(s)的極點為開環傳遞函數的極點，F(s)的零點為閉環傳遞函數的極點；(2)分子、分母的階次相等，零、極點個數相同；(3)F(s)與GK(s)相差為1。F(s)=1+GK(s)的幾何意義：F(s)三個特點：F平面的坐標原點為GH平面的(-1,j0)點。

F(s)是復變量s的單值有理函數?？梢宰C明：

①如果函數F(s)在s平面上指定的區域內是解析的，則對于此區域內的任何一點d都可以在F(s)平面上找到一個相應的點d／，d／稱為d在F(s)平面上的映射。2.幅角定理(映射定理)(1)預備知識②對于s平面上任意給定的一條不通過F(s)任何奇異點（即F(s)的零點和極點）的連續封閉曲線G

，也可以在F(s)平面上找到一條與之對應的封閉曲線G／。s平面與F平面的映射關系N<0G／順時針運動，包圍原點；N>0G／逆時針運動，包圍原點；N=0G／逆時針運動，不包圍原點。(2)幅角定理s平面上不通過F(s)任何奇點的封閉曲線G，它包圍F(s)在s平面上的Z個零點和P個極點，當s以順時針方向沿封閉曲線G移動一周時，在F平面上相對應于封閉曲線G／將以逆時針方向繞原點旋轉N圈。N、Z、P的關系為：N=P-Z二、奈奎斯特穩定判據1.零型系統(不含s=0極點)(1)奈奎斯特路徑ⅰ--正虛軸s=jw：ⅱ--半徑為無窮大的右半圓s=Rejq

：ⅲ--負虛軸s=jw：F(s)在虛軸上沒有極點，按順時針方向設計一條曲線G包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑(奈氏路徑)。G(jw)特性曲線F平面上的封閉曲線G

在F平面上的映射G／ⅰ和正虛軸對應的是輔助函數的頻率特性F(jw)，相當于把G(jw)向右移1；ⅱ和半徑為無窮大的右半圓相對應的輔助函數F(s)→1；ⅲ和負虛軸相對應的是輔助函數頻率特性F(jw)對稱于實軸的鏡像。①F(jw)可由GK(jw)求得，而GK(jw)是開環頻率特性，對應于映射曲線第i部分；

②F(s)對原點的包圍，相當于GK(s)對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點的包圍次數N與GK(s)對(-1,j0)點的包圍的次數一樣；③F(s)的極點就是GK(s)的極點，因此F(s)在右半平面的極點數就是GK(s)在右半平面的極點數。輔助方程與開環頻率特性的關系(2)奈奎斯特穩定判據

若系統的開環傳遞函數在右半平面上有P個極點，且開環頻率特性曲線對(-1,j0)點包圍的次數為N(N<0順時針，N>0逆時針)，則閉環系統在右半平面的極點數為：Z=P-N

。若Z=0，則閉環系統穩定，否則不穩定。Z:在右半平面的閉環極點個數；

P:在右半平面的開環極點個數；

N:開環頻率特性曲線包圍(-1,j0)點的圈數。

開環幅相頻率特性圖在（-1，j0）點左側穿越負實軸的情況反映了它對（-1，j0）點的環繞情況。設開環幅相頻率特性圖由上而下穿越（-1，j0）點左側負實軸的次數為N+，稱為正穿越；由下而上穿越（-1，j0）點左側負實軸的次數為N-，稱為負穿越；則開環幅相頻率特性圖逆時針環繞（-1，j0）點的次數為：

[例1]開環傳遞函數為：(T1、T2、K>0)，試用奈氏判據判斷閉環系統的穩定性。在s右半平面的極點數P=0繞(-1,j0)點的圈數N=0閉環系統在右半平面的極點數

Z=P-N=0閉環系統穩定[例2]設開環系統傳遞函數為：，試用奈氏判據判斷閉環系統的穩定性。開環極點為-1，-1±j2P=0繞(-1,j0)點的圈數N=-2閉環系統不穩定[例3]已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試用奈氏判據確定使該閉環系統穩定的K值范圍。開環極點為1/TP=1若K>1

則繞(-1,j0)點的圈數N=1Z=P-N=0表示閉環系統穩定因此，系統穩定時T>0且K>1。奈氏圖如下圖所示：2.Ⅰ型以上系統(含s=0極點)s=0GK(s)→∞F(s)不解析重構奈氏路徑：iiiiiiⅳs平面ⅰ--正虛軸s=jw：ⅱ--半徑為無窮大的右半圓s=Rejq

：ⅲ--負虛軸s=jw：ⅳ--半徑為無窮小的右半圓s=R／ejq／：無窮小的右半圓在GH平面上的鏡像Ⅰ型系統:半徑：∞角度：Ⅱ型系統:半徑：∞角度：[例4]設Ⅰ型系統的開環頻率特性如下圖所示。開環系統在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據判斷閉環系統穩定性。解：先根據奈氏路徑畫出完整的映射曲線(Ⅰ型系統)映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以：N=1-1=0。P=0Z=P-N=0閉環系統穩定[例5]某Ⅱ型系統的開環頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據判斷閉環系統穩定性。解：先根據奈氏路徑畫出完整的映射曲線(Ⅱ型系統)映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈，所以：N=-2。P=0Z=P-N=2閉環系統不穩定通常，只畫出w=0→+∞的開環奈氏圖，這時閉環系統在s右半平面上的極點數為：Z=P-2N／。式中，N／為w=0→+∞變化時，開環奈氏圖逆時針包圍(-1,j0)點的圈數。不包圍(-1,j0)點，N／=00型系統包圍(-1,j0)點，N／=-1Ⅰ型系統和Ⅱ型系統三、對數頻率穩定判據(-1,j0)點奈氏圖和伯德圖的對應關系：(1)奈氏圖上單位圓對應于對數坐標圖上的零分貝線；(2)奈氏圖上的負實軸對應于對數坐標圖上的(2k+1)p相位線。正穿越負穿越GK(jw)對(-1,j0)點的包圍情況可用正、負穿越情況來表示。正穿越--逆時針包圍(-1,j0)負穿越--順時針包圍(-1,j0)正穿越負穿越正穿越負穿越伯德圖上的正、負穿越正穿越--在L(w)>0范圍內從下向上穿越-180。線(相角增加)負穿越--在L(w)>0范圍內從上向下穿越-180。線(相角減小)

對于復平面的負實軸和開環對數相頻特性，當取頻率為穿越頻率wx

時設半對數坐標下GGH的對數幅頻曲線和對數相頻曲線分別為GL和Gf，由于GL等于曲線G(w)，則GGH在A(w)>1

時，穿越負實軸的點等于GGH在半對數坐標下，對數幅頻特性L(w)>0時對數相頻特性曲線Gf與，平行線的交點。（2）確定

1）開環系統無虛軸上極點時，等于曲線。

設w=wc

時稱wc為截止頻率。2）開環系統存在積分環節時，復數平面的曲線，需從的開環幅相曲線的對應點起，逆時針補作半徑為無窮大的虛圓弧。對應地，需從對數相頻特性曲線較小且的點處向上補作的虛直線，曲線和補作的虛直線構成。3）開環系統存在等幅振蕩環節時，復數平面的曲線，需從的開環幅相曲線的對應點起，逆時針補作半徑為無窮大的虛圓弧至的對應點處。對數頻率穩定判據：

設開環頻率特性GK(s)在s右半平面的極點數為P，則閉環系統穩定的充要條件是：w=0→+∞時，開環對數幅頻特性L(w)>0的所有頻段內，相頻特性對(2k+1)p線的正負穿越次數差N／=N+-N-=P/2。閉環系統右半s極點數為：Z=-2N／+P

，式中N／為正負穿越次數差。若Z=0，閉環系統穩定；若Z>0，閉環系統不穩定。例5-11已知開環系統型次，開環對數相頻特性曲線如圖所示，圖中時，，試確定閉環不穩定極點的個數。解因為，需在低頻處由曲線向上補作的虛直線于，如圖所示。知，按對數穩定判據故閉環不穩定極點的個數為3。例題：例利用對數頻率特性判別系統的穩定性，系統的開環傳遞函數為解：作出其開環對數頻率特性，如下一頁圖所示。由于開環系統穩定，即P＝0，因而該閉環系統穩定的充要條件是：在dB的頻域內，相頻特性不穿越線，或正、負穿越數之差為零。由圖可見在的頻域內總大于，故閉環系統是穩定的。例利用對數頻率特性判別系統的穩定性，系統開環傳遞函數為解：作出其開環對數頻率特性，如下一頁圖所示。該系統開環傳遞函數含有2個積分環節,且時,，用虛線繪出相頻特性的增補部分。由圖知dB的頻段上,＝0，＝1，

R＝－2，而P＝0，則Z＝2，閉環系統不穩定。系統伯德圖

四、條件穩定系統

若開環傳遞函數在開右半s平面的極點數P＝0，當開環傳遞函數的某些系數(如開環增益)改變時，閉環系統的穩定性將發生變化。這種閉環穩定有條件的系統，稱為條件穩定系統。若無論開環傳遞函數的系數怎樣變化，系統總是不穩定的，這樣的系統稱為結構不穩定系統。5.5穩定裕度一、相角裕度(相角裕量)截止頻率(剪切頻率)c

：GK(j)與單位圓交點處的頻率。

A(c)=1相角裕度：A(c)=1時與負實軸的夾角。=180°+(c)-1ReImGH平面物理意義：若系統剪切頻率c處的相角再滯后，系統將處于臨界穩定。即：系統在相角方面的穩定儲備量。二、幅值裕度-1ReImGH平面穿越頻率x

：

GK(j)與負實軸相交點的頻率。A(x)幅值裕度h

：(-1,j0)點幅值1與A(x)之