江蘇版物理第20講圓周運動中的臨界問題1.離心運動(1)定義:做勻速圓周運動的物體,在所受合力突然消失或者不足以提供

圓周運動所需向心力的情況下,就做①逐漸遠離圓心

的運動,這種

運動叫做離心運動。知識梳理與自測(2)本質:離心現象是物體②慣性

的表現。(3)力與運動的關系a.向心力的作用效果是改變物體的運動方向,如果物體受到的合外力恰

好等于物體所需的向心力,物體就做③勻速圓周

運動,此時F=mrω2。b.如果向心力突然消失,則物體的速度方向不再變化,由于慣性,物體將

沿此時的速度方向(即切線方向),按此時的速度大小飛出,這時F=④

0

。c.如果提供的外力小于物體做勻速圓周運動所需的向心力,雖然物體的

速度方向還要變化,但速度方向變化較慢,因此物體偏離原來的圓周做離心運動,其軌跡為圓周和切線間的某條線,這時F⑤<

mrω2。2.練一練:(1)物體做離心運動時,運動的軌跡

(C)A.一定是直線

B.一定是曲線C.可能是直線也可能是曲線

D.可能是一個小圓(2)如圖所示,用長為l的細繩拴著質量為m的小球在豎直平面內做圓周運

動,則下列說法中正確的是

(CD)

A.小球在圓周最高點時所受的向心力一定為重力B.小球在最高點時繩子的拉力不可能為零C.若小球剛好能在豎直平面內做圓周運動,則其在最高點的速率為

D.小球過最低點時繩子的拉力一定大于小球重力(3)一輕桿一端固定一質量為m的小球,以另一端為軸在豎直平面內做圓

周運動。小球運動到最高點時,關于小球受力,下列說法中正確的是

(C)A.輕桿對小球的作用力不可能向下B.輕桿對小球的作用力不可能為零C.輕桿對小球的作用力和小球重力的合力提供向心力D.小球所受的向心力不可能為零

對離心運動條件的分析關于離心運動的條件,如圖所示。

(1)做圓周運動的物體,當合外力消失時,它就以這一時刻的線速度沿切

線方向飛出去;要點突破(2)當合外力突然減小為某一個值時,物體將會在切線方向與圓周之間

做離心運動。

注意

①做離心運動的物體不存在所謂的“離心力”作用,因為沒有任何物體提供這種力(不管是以什么方式命名的力,只要是真實存在的,

一定有施力物體);②離心運動的運動學特征是物體逐漸遠離圓心,動力學特征是物體所受

合外力消失或不足以提供其所需的向心力;③若提供的向心力大于物體所需的向心力,表現為向心的趨勢(離圓心

越來越近)。例1

如圖所示,在勻速轉動的圓盤上,沿半徑方向放置以細線相連的質量均為m的A、B兩個小物塊(可看做質點)。A離軸心r1=20cm,B離軸心r2

=30cm,A、B與盤面間相互作用的最大靜摩擦力為其重力的0.4倍。求:

(1)若細線上沒有張力,圓盤轉動的角速度ω應滿足什么條件?(2)欲使A、B與盤面不發生相對滑動,則圓盤轉動的最大角速度多大?(g

取10m/s2)

解析

(1)當圓盤轉動較慢時,A、B之間的細線上沒有張力,能夠提供的最大向心力均為最大靜摩擦力。由Fn=mω2r可知,B比A需要的向心力

大,故對B有:kmg=m

·r2,ω1=

=

rad/s=

rad/s,即當圓盤轉動的角速度滿足ω≤

rad/s時,細線上沒有張力。(2)由上述分析可知,當ω>

rad/s時,細線上有張力,設其大小為FT,提供A、B做勻速圓周運動的向心力分別為:FnA=Ff-FT,FnB=FT+Ff,顯然,當A

受到的摩擦力Ff達到最大靜摩擦力時,A、B將要相對圓盤發生滑動,故

對A有:kmg-FT=m

r1,對B有:FT+kmg=m

r2,解得:ω2=4rad/s。

答案

(1)ω≤

rad/s

(2)4rad/s針對訓練1如圖是摩托車比賽轉彎時的情形,轉彎處路面常是外高內

低,摩托車轉彎有一個最大安全速度,若超過此速度,摩托車將發生滑

動。對于摩托車滑動的問題,下列論述正確的是

(

)

A.摩托車一直受到沿半徑方向向外的離心力作用B.摩托車所受外力的合力小于所需的向心力C.摩托車將沿其線速度的方向沿直線滑去D.摩托車將沿其半徑方向沿直線滑去

答案

B

解析摩托車只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,不存在離心力,A項錯誤。當摩托車所受外力的合力小于所需的向心力時,摩托車

將在切線方向與圓周之間做離心曲線運動,故B項正確,C、D項錯誤。

圓周運動中的臨界問題的分析與求解(不只是豎直平面內的圓周運動中

存在臨界問題,其他許多情況也有臨界問題),一般都是先假設出某量達

到最大或最小的臨界情況,進而建立方程求解。1.水平面內圓周運動的臨界問題例2

(2014課標Ⅰ,20,6分)如圖,兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為

質點)放在水平圓盤上,a與轉軸OO'的距離為l,b與轉軸的距離為2l。木

塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g。

若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動,用ω表示圓盤轉動的角速度,

下列說法正確的是

(

)臨界問題的常見類型及其解法A.b一定比a先開始滑動B.a、b所受的摩擦力始終相等C.ω=

是b開始滑動的臨界角速度D.當ω=

時,a所受摩擦力的大小為kmg

解析設木塊滑動的臨界角速度為ω,kmg=mω2r,所以ω=

,ra=l,rb=2l,所以ωa>ωb,A、C項正確;摩擦力充當向心力,在角速度相等時,b受的摩擦

力大,B項錯誤;ω=

時,a受的摩擦力fa=mω2r=m

l=

kmg,D項錯誤。

答案

AC針對訓練2如圖所示,用細繩一端系著的質量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉盤上,細繩另一端通過轉盤中心的光滑小孔O吊著質量為m=0.

3kg的小球B,A的重心到O點的距離為0.2m。若A與轉盤間的最大靜摩

擦力為Ff=2N,為使小球B保持靜止,求轉盤繞中心O旋轉的角速度ω的取

值范圍。(取g=10m/s2)

答案

2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s

解析要使B靜止,A必須相對于轉盤靜止——具有與轉盤相同的角速度。A需要的向心力由繩的拉力和靜摩擦力的合力提供。角速度取最

大值時,A有離心趨勢,靜摩擦力指向圓心O;角速度取最小值時,A有向心

趨勢,靜摩擦力背離圓心O。設角速度ω的最大值為ω1,最小值為ω2對于B:FT=mg對于A:角速度為ω1時,FT'+Ff=Mr

;角速度為ω2時,FT'-Ff=Mr

FT=FT'代入數據解得ω1=6.5rad/s,ω2=2.9rad/s所以2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。2.圓錐面上的臨界問題如圖所示,一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上,其軸線沿豎直方向,母

線與軸線的夾角θ=30°,一條長為l的繩,一端固定在圓錐體的頂點O,另一

端系一個質量為m的小球(視為質點),小球以速率v繞圓錐體的軸線做水

平勻速圓周運動。

(1)臨界條件:設小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為v0,小球所受重力和繩子的拉力的合力提供向心力,則有F向=mgtan30°=m

,解得v0=

。(2)當v<v0時,小球除受到重力和繩子的拉力外,還受到圓錐面的支持力,

如圖所示,則有

F向=FTsin30°-FNcos30°=m

FTcos30°+FNsin30°=mg速度越大,支持力越小。(3)當v>v0時,小球離開錐面飄起來,設繩與軸線夾角為φ,則FTcosφ=mg,

FTsinφ=m

。速度越大,繩與軸線的夾角φ越大。3.豎直平面內圓周運動的臨界問題豎直平面內的圓周運動是典型的變速圓周運動,對于物體在豎直平面內

做變速圓周運動的問題,中學物理中只研究物體通過最高點和最低點的情況,并且經常出現臨界狀態。(1)如圖所示,沒有物體支撐的小球在豎直平面內做圓周運動過最高點

有下面幾種情況。①臨界條件:小球到達最高點時繩子的拉力(或軌道的彈力)剛好等于零,

小球的重力提供其做圓周運動的向心力。即mg=m

。上式中的v臨界是小球通過最高點的最小速度,通常叫臨界速度,v臨界=

。②能過最高點的條件:v≥v臨界(此時繩或軌道對球產生拉力F或壓力

FN)。③不能過最高點的條件:v<v臨界(實際上球還沒有到最高點就脫離了軌

道)。(2)有物體支撐的小球在豎直平面內做圓周運動過最高點有下面幾種情

況。①臨界條件:由于硬桿和管壁的支撐作用,小球恰能到達最高點的臨界

速度v臨界=0。②圖甲所示的小球過最高點時,輕桿對小球的彈力的情況:

當v=0時,輕桿對小球有豎直向上的支持力FN,其大小等于小球的重力,即FN=mg。當0<v<

時,桿對小球的支持力的方向豎直向上,大小隨速度的增大而減小,其取值范圍是mg>FN>0。當v=

時,FN=0。當v>

時,桿對小球有指向圓心的拉力,其大小隨速度的增大而增大。③圖乙所示的小球過最高點時,光滑硬管對小球的彈力的情況:當v=0時,管的內壁下側對小球有豎直向上的支持力FN,其大小等于小球

重力,即FN=mg。當0<v<

時,管的內壁下側對小球有豎直向上的支持力FN,大小隨速度的增大而減小,其取值范圍是mg>FN>0。當v=

時,FN=0。當v>

時,管的內壁上側對小球有豎直向下指向圓心的壓力,其大小隨速度的增大而增大。例3

長度為L=0.50m的輕質細桿OA,A端有一質量為m=3.0kg的小球,

如圖所示,小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動,通過最高點時小球的速率是2.0m/s,g取10m/s2,則此時細桿OA受到

(

)A.6.0N的拉力

B.6.0N的壓力C.24N的拉力

D.24N的壓力

解析

解法一

設小球以速率v0通過最高點時,球對桿的作用力恰好為零,即mg=m

,得v0=

=

m/s=

m/s。由于v=2.0m/s<

m/s,可知過最高點時,球對細桿產生壓力,如圖甲所示,為小球的受力情況圖。FN=mg-m

=3.0×

N=6.0N。即細桿OA受到6.0N的壓力。解法二

設桿對小球的作用力為FN(由于方向未知,可以設為向下),如圖乙所示,由向心力公式得:FN+mg=m

,則FN=m

-mg=(3.0×

-3.0×10)N=-6.0N。負號說明FN的方向與假設方向相反,即向上。由牛頓第三定律可知細桿

受到6.0N的壓力。

答案

B由牛頓第二定律得:mg-FN=m

,則針對訓練3如圖,豎直環A半徑為r,固定在木板B上,木板B放在水平地

面上,B的左右兩側各有一擋板固定在地上,B不能左右運動,在環的最低

點處放有一光滑小球C,A、B、C的質量均為m。給小球一水平向右的

瞬時速度v,小球會在環內側做圓周運動,為保證小球能通過環的最高點,

且不會使環在豎直方向上跳起,瞬時速度必須滿足

(

)

A.最小值為

B.最小值為

C.最大值為

D.最大值為

答案

BC

解析保證小球通過最高點,則其在最高點速度最小為vmin=

,則根據機械能守恒,-mg·2r=

m

-

m

,解得v0=

;保證環不跳起來,則在最高點F+mg=m

,F=2mg,所以vmax=

,則根據機械能守恒,-mg·2r=

m

-

m

,解得v0=

。

圓周運動中多解問題的分析方法大多數物理問題具有單一的確定解,然而有些物理問題的解并不唯一,

即有多個解,甚至有無窮多個解。對于這類物理問題,倘若物理過程不清,就可能只得出特解,而導致漏解。例4

[2014天津理綜,9(1)]半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速

轉動,A為圓盤邊緣上一點。在O的正上方有一個可視為質點的小球以

初速度v水平拋出時,半徑OA方向恰好與v的方向相同,如圖所示。若小

球與圓盤只碰一次,且落在A點,重力加速度為g,則小球拋出時距O的高

度h=

,圓盤轉動的角速度大小ω=

。

解析小球做平拋運動:h=

gt2、R=vt,解得h=

。由題意知ωt=2π×n(n∈N*),故聯立R=vt可得ω=

(n∈N*)。

答案

(n∈N*)針對訓練4

如圖所示沿順時針方向在豎直平面內做勻速率轉動的輪

子邊緣上有一質點A,當A通過與圓心等高的a點時,另一質點B從圓心O

開始做自由落體運動,已知圓的半徑為R,試回答以下問題。(1)質點A的角速度ω滿足什么條件,才能與B相遇?(2)質點A的角速度ω滿足什么條件,才能與B速度相同?

答案見解析

解析

(1)A只能在O點正下方的圓周上的d點與B相遇,由于B自由下落到d點的時間是一個定值,則A轉動的角速度ω有多個可能的值。

由自由落體規律可得質點B自由下落的時間t=

若A與B在d處相遇,則A可能轉過的角度θ=2πn+

(式中n=0,1,2,3,…)所以A轉動的角速度ω=

=

=

π

(式中n=0,1,2,3,…)(2)A只有通過c點時,才可能與下落中的質點B速度相同,令A運動到c處

所用時間為t'。A到達c處可能轉過的角度φ=2πm+π(式中m=0,1,2,3,…)則A運動到c處所用時間t'=

=

(式中m=0,1,2,3,…)此時B下落的速度vB=gt'=

g(式中m=0,1,2,3,…)而A的線速度vA=ωR由vA=vB可得ωR=

g(式中m=0,1,2,3,…)解得ω=

(式中m=0,1,2,3,…)專題四解決曲線運動問題的思想方法及其應用一、分解法利用運動的合成與分解的原理,把曲線運動分解成兩個直線運動,先分

別研究兩個直線運動,再將兩個分運動的研究結果合成,從而獲得質點

的實際運動情況。1.把曲線運動分解在合外力方向和垂直于合外力的方向上,則垂直于合

外力方向上的分運動為勻速直線運動,合外力(設為恒力)方向上的分運

動為勻變速直線運動。如平拋運動的處理方法就是典型的實例。2.做曲線運動的質點受到兩個相互垂直的恒力作用,此時,我們常常把曲

線運動分解在兩個恒力的方向上,則每個分運動均為勻變速直線運動。專題指導例1

以速度v0豎直向上拋出一個質量為m的小球,小球在空中運動的過

程中,始終受到水平向右、大小恒為F的風力作用,其運動軌跡如圖所示,

M點為小球到達的最高點,N點與拋出點O在同一水平線上。不計空氣

阻力,試求出M、N兩點在圖中所建坐標系中的坐標值。

解析小球受重力和水平風力的作用,把小球的運動分解在兩個力的方向上,則在豎直方向上,小球做豎直上拋運動,設到達最高點的時間為t

1,則由v0=gt1得t1=

,yM=

g

=

。在水平方向上,小球做初速度為零的勻加速直線運動,加速度a=

,xM=

a

=

。由豎直上拋運動的對稱性可知,小球落回到N點的時間等于t1,所以xN=

a·(2t1)2=

。

答案

M

N

二、微元法一般的曲線運動中,可以把曲線分割成許多