第四章

時間數列分析

第一節時間數列及分析方法概述第二節時間數列的水平指標分析第三節時間數列的速度指標分析第四節時間數列分析時間數列指標小結

第一節時間數列及分析方法概述

一、時間數列的概念二、時間數列的分類三、編制時間數列應注意的問題四、時間數列分析方法及作用

第一節時間數列及分析方法概述

一、時間數列的概念1.同一現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數列。2.形式上由現象所屬的時間和現象在不同時間上的觀察值兩部分組成。3.排列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式。

時間數列又稱時間序列，其數據用于研究其發展變化的水平和速度，并以此來預測未來。時間數列分析是常用的一種統計方法。例：例指標2012年2011年2010年2009年國民總收入(億元)516810.05468562.38399759.54340319.95國內生產總值(億元)519470.1473104.05401512.8340902.81第一產業增加值(億元)52373.6347486.2140533.635226第二產業增加值(億元)235161.99220412.81187383.21157638.78工業增加值(億元)199670.66188470.15160722.23135239.95建筑業增加值(億元)35491.3431942.6626660.9822398.83第三產業增加值(億元)231934.48205205.02173595.98148038.04人均國內生產總值(元)38459.4735197.7930015.0525607.53二、時間數列的分類時間數列按照所列入指標數值的不同可分為：絕對數動態數列相對數動態數列平均數動態數列時期數列時點數列例：？？人均糧食消費量（公斤）？關于時期數列與時點數列↓時期數列特點：數列中各個指標值是可加的；數列中每個指標值的大小隨著時期的長短而變動；數列中每個指標值通常是通過連續不斷

的登記而取得。時點數列特點：數列中各個指標值是不能相加的；數列中每個指標值的大小與時間間隔的長短沒有直接關系；數列中每個指標值通常是按期登記一次取得的。三、編制時間數列應注意的問題

基本原則是遵守其可比性。

具體說有以下幾點：

注意時間的長短應統一；總體范圍應該一致；指標的經濟內容應該相同；指標的計算方法和計量單位應該一致。四、時間數列分析方法及作用

時間數列分析常用方法有：指標分析法和成分分析法時間數列對于現象發展動態分析具有十分重要的意義，其主要作用可概括為以下幾個方面：第一，時間數列可以反映現象發展變化過程和歷史情況；第二，利用時間數列計算動態分析指標，可以反映現象發展變化的方向、速度、趨勢和規律。第四，將多個時間數列納入同一模型中研究，可以揭示現象之間相互聯系的程度及動態演變關系。第三，利用時間數列對現象發展變化趨勢與規律的分析，可以進行動態預測。

第二節時間數列的水平分析指標

屬于現象發展的水平分析指標有：

一、發展水平

二、平均發展水平

三、增長量

四、平均增長量。

一、發展水平

發展水平

指時間數列中每一項指標數值設時間數列中各期發展水平為：最初水平中間水平最末水平（N項數據）（n+1項數據）或：它表示現象在某一時間上所達到的一種數量狀態。它是計算其他時間數列分析指標的基礎?；谒綀蟾嫫谒蕉⑵骄l展水平

→平均發展水平是對不同時期的發展水平求平均數，統計上又叫序時平均數。（一）一般平均數與序時平均數的區別（二）序時平均數的計算方法⒈計算絕對數時間數列的序時平均數⑴由時期數列計算，采用簡單算術平均法⑵由時點數列計算

①由連續時點數列計算

②由間斷時點數列計算⒉計算相對數時間數列的序時平均數

3.平均發展水平計算總結平均發展水平計算總結序時平均方法總量指標時期數列簡單算術平均時點數列連續時點間隔相等簡單算術平均間隔不等加權算術平均間斷時點間隔相等兩次簡單平均間隔不等先簡單后加權相對指標、平均指標視情況選用：先平均再相除、先加總再相除、加權算術平均、加權調和平均等一般平均數與序時平均數的區別：計算的依據不同：前者是根據變量數列計算的，后者則是根據時間數列計算的；

說明的內容不同：前者表明總體內部各單位的一般水平，后者則表明整個總體在不同時期內的一般水平。⑴由時期數列計算，采用簡單算術平均法【例】年份能源生產總量（萬噸標準煤）199419951996199719981187291290341326161324101240001994-1998年中國能源生產總量【例】問：1994-1998年間，中國年平均能源生產總量是多少？①由連續時點數列計算對于逐日記錄的時點數列可視其為連續

※間隔相等時，采用簡單算術平均法日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盤價16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解某股票連續5個交易日價格資料如下：【例】問：該股票5日平均收盤價是多少？①由連續時點數列計算

※間隔不相等時，采用加權算術平均法對于逐日記錄的時點數列,每變動一次才登記一次某企業5月份每日實有人數資料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日實有人數

780784786783解【例】問：該企業5月平均實有人數是多少？②由間斷時點數列計算每隔一段時間登記一次，表現為期初或期末值

※間隔相等

時，采用簡單序時平均法一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初時間3月末4月末5月末6月末庫存量(百件)66726468解：第二季度的月平均庫存額為：某商業企業1999年第二季度某商品庫存資料如下，求第二季度的月平均庫存額【例】

※間隔不相等

時，采用加權序時平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初時間1月1日5月31日8月31日12月31日社會勞動者人數362390416420單位：萬人某地區1999年社會勞動者人數資料如下【例】解：則該地區該年的月平均勞動者人數為：⒉計算相對數時間數列的序時平均數基本公式⑴a、b均為時期數列時月份一二三計劃利潤（萬元）200300400利潤計劃完成程度（﹪）125120150某化工廠某年一季度利潤計劃完成情況如下因為所以，該廠一季度的計劃平均完成程度為：【例】求該廠一季度的計劃平均完成程度。⑵a、b均為時點數列時⑶a為時期數列、b為時點數列時月份三四五六七工業增加值（萬元）11.012.614.616.318.0月末全員人數（人）20002000220022002300【例】已知某企業的下列資料：要求計算：①該企業第二季度各月的勞動生產率；②該企業第二季度的月平均勞動生產率；③該企業第二季度的勞動生產率。

C:勞動生產率基本公式四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的勞動生產率：③該企業第二季度的勞動生產率：②該企業第二季度的月平均勞動生產率：三、增長量

又稱增長水平，它是報告期水平與基期水平之差，反映報告期比基期增長的水平。說明社會經濟現象在一定時期內所增長的絕對數量。其計算公式為：增長水平=報告期水平-基期水平兩個概念設時間數列中各期發展水平為：逐期增長量累計增長量二者的關系⒈⒉按所選基期的不同，分為：各逐期增長量之和等于相應時期的累計增長量。兩相鄰累計增長量之差等于相應時期的逐期增長量。四、平均增長量（逐期增長量的序時平均數）說明社會現象在一段時期內平均每期增加的絕對數量。第三節時間數列的速度指標分析動態數列的速度指標有：

發展速度

增長速度

平均發展速度和平均增長速度

發展速度指報告期水平與基期水平的比值，說明現象的變動程度，也叫動態相對數。設時間數列中各期發展水平為：環比發展速度定基發展速度（年速度）（總速度）按選擇的基期不同分為：環比發展速度與定基發展速度的關系：觀察期內各個環比發展速度的連乘積等于相應時期的定基發展速度。兩個相鄰的定基發展速度，用后者除以前者，等于相應時期的環比發展速度。增長速度指增長量與基期水平的比值，說明報告期水平較基期水平增長的程度按采用的基期不同分為：環比增長速度定基增長速度說明發展速度與增長速度性質不同。前者是動態相對數，后者是強度相對數；定基增長速度與環比增長速度之間沒有直接的換算關系。是不同時間、同一空間的同一現象的數值對比，可以反映現象發展變化的相對程度（即發展速度）。

強度相對指標是兩個性質不同而有聯系的總量指標之間的對比，以反映現象之間的強度、密度和普遍程度。增長1%的絕對值指現象每增長1﹪所代表的實際數量定基增長速度增長1%的絕對值環比增長速度增長1%的絕對值各環比發展速度的平均數，說明現象每期變動的平均程度平均發展速度平均增長速度說明現象逐期增長的平均程度計算方法：水平法、累計法幾何平均法（水平法）1.基本設定2.計算公式3.有關指標的推算幾何平均法（水平法）即有從最初水平a0出發，每期按一定的平均發展速度發展，經過n個時期后，達到最末水平an，有基本設定計算公式幾何平均法（水平法）總速度環比速度有關指標的推算:幾何平均法（水平法）⒈推算最末水平an

：⒉預測達到一定水平所需要的時間n：⒊計算翻番速度：翻番數有關指標的推算:幾何平均法（水平法）解：【例】已知某化肥廠2000年的產量為20萬噸，如果2010年產量翻1.5番，將會達到多少？平均增長速度為：解：【例】1980年我國生產水泥7986萬噸，1994年達到40500萬噸，計算1980年至1994年我國水泥產量翻了幾番？每年平均增長速度為多少？

方程法（累計法）1.基本設定2.計算公式的推導3.求解方法4.水平法與累計法的比較方程法（累計法）從最初水平a0出發，每期按一定的平均發展速度發展，經過n個時期后，達到各期實際水平之和等于各期推算水平之和基本設定計算公式的推導由基本設定有，各期推算水平分別為各期定基發展速度之和（該一元n次方程的正根即為平均發展速度）

①逐漸逼近法②查“累計法查對表”法【例】某公司2000年實現利潤15萬元，計劃今后三年共實現利潤60萬元，求該公司利潤應按多大速度增長才能達到目的。解：求解方法（關于的一元n次方程）累計法查對表遞增速度間隔期1～5年平均每年增長﹪各年發展水平總和為基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………先計算各年發展水平總和與基期水平之比兩種方法的比較:幾何平均法研究的側重點是最末水平；方程法研究的側重點是各年發展水平的累計總和。平均發展速度的計算幾何平均法：方程法：時間數列的速度分析指標時間數列的水平分析指標發展水平增長量平均發展水平平均增長量增長速度發展速度平均增長速度平均發展速度動態平均指標動態比較指標應用平均發展速度應注意的問題平均發展速度要和各環比發展速度結合分析；總平均發展速度要和分段平均發展速度結合分析；總平均發展速度要聯系基期水平進行分析。

第四節時間數列分析一、時間數列的模型二、長期趨勢測定三、季度變動測定一、時間數列的模型時間數列的構成因素時間數列的組合模型

影響時間數列變動的因素可分解為：（1）長期趨勢（T）（2）季節變動（S）（3）循環變動（C）（4）不規則變動（I）可解釋的變動—不可解釋的變動時間數列的構成因素長期趨勢長期趨勢變動是時間數列中最基本的規律性變動。長期趨勢，是指現象在一個相當長的時期內持續發展變化的總態勢，如持續上升、下降和基本持平。長期趨勢變動是由于現象受到各個時期普遍的、持續的、決定性的基本因素影響的結果。例如，一般情況下，由于人口增長、資源開發、科技進步等因素影響，社會生產的總量呈增長變動的趨勢。季節變動現象在一年內隨著季節的變化而發生的有規律的周期性變動循環變動循環變動，是指社會經濟發展中的一種近乎規律性的盛衰交替變動。其成因比較復雜，周期一般在一年以上，長短不一。循環變動按引起的原因和周期長短不同又可分為四種類型。即長期循環變動，主要是受重大技術革命影響的結果，周期可長達50—60年；中長期循環變動，周期在20年左右，造成這種循環變動的物質基礎是由于建筑業的周期性波動；中期循環變動，周期約為8—10年，其變動的物質基礎是周期性的固定資產的大規模更新；短期循環變動，周期約為2—4年，其形成原因可能是固定資產更新和周期性的技術變革。不規則變動不規則變動，是指除了上述各種變動以外，現象因臨時的、偶然的因素而引起的隨機變動，這種變動無規則可循，例如地震、水災、戰爭等所引起的變動。從長期來看，有些偶然因素的個別影響是可以互相抵消一部分的。循環變動C（Cyclical）不規則變動I（Irregular）季節變動S（Seasonal）長期趨勢T（Trend）經濟周期:循環性變動繁榮拐點繁榮拐點衰退拐點蕭條拐點復蘇拐點時間數列的組合模型（1）加法模型：Y=T+S+C+I計量單位相同的總量指標對長期趨勢產生的或正或負的偏差（2）乘法模型：Y=T·S·C·I計量單位相同的總量指標對原數列指標增加或減少的百分比常用模型如何確定該使用加法模型還是乘法模型？觀察數列圖形，如果數值偏離長期趨勢部分的大小不隨時間的改變而改變，那么，使用加法模型。觀察數列圖形，如果數值偏離長期趨勢部分的大小隨時間的改變而增加，那么，使用乘法模型。把握現象隨時間演變的趨勢和規律；對事物的未來發展趨勢作出預測；便于更好地分解研究其他因素。測定長期趨勢的基本方法：①觀察散點圖⑤趨勢線擬合法測定長期趨勢的意義：二、長期趨勢測定④移動平均法②時距擴大法③半數平均法②時距擴大法時距擴大法是測定長期趨勢最簡便的一種方法。它是將原來時距較短的時間數列，加工整理成時距較長的時間數列，以便消除現象因時距較短而受偶然因素影響所引起的不均勻波動。通過擴大時距，可以整理出能呈現事物變動總趨勢的新的時間數列。

③半數平均法將時間數列平均分為兩部分，各求其平均數，然后在散點圖上標出這兩個平均數的點，聯接兩點成一直線即為長期趨勢線。這種方法是利用平均數的代表性來削弱一些偶然因素的影響。它比移動平均法簡單，但準確度不如后者。

移動平均法移動平均法的含義移動平均法的步驟移動平均法的特點對時間數列的各項數值，按照一定的時間間隔進行逐期移動，計算出一系列序時平均數，形成一個新的時間數列。以此削弱不規則變動的影響，顯示出原數列的長期趨勢。移動平均法的含義⒉計算各移動平均值，并將其編制成時間數列一般應選擇奇數項進行移動平均；

奇數項移動平均偶數項移動平均若原數列呈周期變動，應選擇現象的變動周期作為移動的時距長度。例子根據需要選擇簡單移動平均法、加權移動平均法、指數平滑法移動平均法的步驟：⒈確定移動時距加權移動平均法

如何選擇權數？一般原則：近期數據的權數大，遠期數據的權數小。通?？捎胟為最近一期的權數，依次減去1為前各期的權數。指數平滑法指數平滑法的基本理論指數平滑法的用法一次指數平滑法指數平滑法的基本理論指數平滑法是移動平均法中的一種，其特點在于給過去的觀測值不一樣的權重，即較近期觀測值的權數比較遠期觀測值的權數要大。根據平滑次數不同，指數平滑法分為一次指數平滑法、二次指數平滑法和三次指數平滑法等。但它們的基本思想都是：預測值是以前觀測值的加權和，且對不同的數據給予不同的權數，新數據給予較大的權數，舊數據給予較小的權數。觀察值時間越遠，其權數也跟著呈現指數的下降，因而稱為指數平滑。指數平滑法的用法指數平滑法是生產預測中常用的一種方法。也用于中短期經濟發展趨勢預測，所有預測方法中，指數平滑是用得最多的一種。當時間數列無明顯的趨勢變化，可用一次指數平滑預測。當時間序列的變動出現直線趨勢時，用一次指數平滑法來進行預測仍將存在著明顯的滯后偏差。因此，也需要進行修正。修正的方法也是在一次指數平滑的基礎上再進行二次指數平滑，利用滯后偏差的規律找出曲線的發展方向和發展趨勢，然后建立直線趨勢預測模型，故稱為二次指數平滑法。若時間序列的變動呈現出二次曲線趨勢，則需要采用三次指數平滑法進行預測。三次指數平滑是在二次指數平滑的基礎上再進行一次平滑。一次指數平滑法基本公式St--時間t的平滑值；yt--時間t的實際值；St-1--時間t-1的平滑值；α--平滑常數，其取值范圍為[0,1]預測公式時間t+1的趨勢值時間t的實際值時間t的趨勢值一次指數平滑法最適宜用于較平穩的時間序列，作短期的預測，即可令第t時點的值作為第t+1時點的預測值，即：由此可得預測公式：（4）選擇誤差小的值。應取大些（3）當時間數列波動很大時，呈現明顯且迅速的上升或下降趨勢時，宜選擇居中的值（2）當時間數列波動較大時應取小一些（1）當時間數列呈較穩定的水平趨勢時平滑常數選擇的一般原則：移動平均法奇數項移動平均:原數列移動平均新數列移動平均移正平均新數列原數列移動平均法偶數項移動平均:原數列三項移動平均五項移動平均四項移動平均移動平均對數列具有平滑修勻作用，移動項數越多，平滑修勻作用越強；由移動平均數組成的趨勢值數列，較原數列的項數少，N為偶數時，趨勢值數列首尾各少項；N為奇數時，首尾各少項；局限：不能完整地反映原數列的長期趨勢，不便于直接根據修勻后的數列進行預測。移動平均法的特點趨勢線配合法趨勢線配合法基本含義趨勢線擬合法的基本程序判斷趨勢類型直線趨勢的測定趨勢線配合法是通過數學方法對時間數列配合一條理想的趨勢方程

，使其與原數列曲線達到最優擬合直線趨勢方程曲線趨勢方程……趨勢線擬合法的基本程序判斷趨勢類型計算待定參數利用方程預測定性分析判斷趨勢類型繪制散點圖分析數據特征當數據的一階差分趨近于一常數時，可以配合直線方程當數據的二階差分趨近于一常數時，可以配合二次曲線方程當數據的環比發展速度趨近于一常數時，可配合指數曲線方程tyi一階差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nb—bbbb直線趨勢方程趨勢線的選擇tyi一階差分二階差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2c—b+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c——2c2c2c拋物線趨勢方程趨勢線的選擇tyiyi/yi-11234nabab2ab3ab4abn—bbbb指數曲線趨勢方程趨勢線的選擇用最小平方法求解參數

a、b

，有直線趨勢的測定直線趨勢方程：經濟意義：

數列水平的平均增長量年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合計91182505.81516487.3819【例】已知我國GDP資料（單位：億元）如下，擬合直線趨勢方程，并預測1999年的水平。預測0

1234567求解a、b的簡捷方法0123-1-2-3取時間數列中間項為原點當t=0時，有N為奇數時，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N為偶數時，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合計910182505.8238946.7182預測三、季節變動測定（一）季節變動因素的含義（二）季節變動測定的意義（三）季節變動測定的方法（一）季節變動因素的含義季節變動是指某些社會經濟現象由于受自然條件或社會因素的影響，在一年或更短的時間內，隨著時序的變化而引起的有規律的變動，表現為時間數列的波動，一般是純季節原因造成的，也包括與季節無關的類似的變動。通常指現象年復一年重復出現的，在一年內依季節更替而呈現的具有規律性的周期變化。飲料的生產量及銷售量在一年內的變化用電量在一年之內的增減蔬菜價格在一年內的波動鮮花銷售每年的幾個旺季每年旅客運輸的高峰期……例如（二）季節變動測定的意義分析季節變動，掌握季節變動的規律，有利于指導當前的社會生產和各種經濟活動。分析季節變動，可以根據季節變動的規律來配合適當的季節模型，結合長期趨勢進行經濟預測，規劃未來。分析季節變動，有利于消除季節變動對時間序列的影響，更好的研究長期趨勢和循環變動，提高長期趨勢預測質量。（三）季節變動測定的方法季節變動測定的一般方法：根據某現象的發展水平或發展速度計算反映季節變動的指標，構成相應時間序列來說明季節變動，揭示季節變動規律，并可在此基礎上做出季節變動預測。對于時間序列，有兩種假設模型：Y=T·S·C·IY=T+S+C+I在乘法模型中反映季節變動的指標稱季節指數,各季節指數的平均應為1。在加法模型中稱季節變差，各季節變差之和應為0。根據是否考慮長期趨勢因素的