第五章樁基礎的計算與分析5.1概述（略）5.2豎直荷載下樁基礎的受力分析5.2.1豎向荷載下單樁受力的性狀在實際工程中，樁基通常是由一群樁所組成。而群樁分析的理論很大程度取決于單樁的受力分析。因而許多學者對單樁工作機理進行了研究，并提出許多預估的方法。目前，大體上可歸納為四種方法，即：荷載傳遞法；彈性理論法；剪切位移法；有限單元法。1.荷載傳遞法荷載傳遞法首先是由Seed和Reese在1995年提出。此后，Kezdl(1957)、佐藤悟（1965），Coyle和Reese（1966）、Holloway(1975)以及Vijayvergiya(1977)等相繼在此基礎上有所發展。這些方法的基本概念是把樁視作由許多彈性單位組成，每一單元與土體之間（包括樁尖）都用非線性彈簧聯系，如圖11.1所示。這些非線性彈簧表示樁側摩阻力（或樁尖阻力）與剪切位移（或樁尖位移）之間的關系，通常統稱為荷載傳遞函數或t-s曲線。在樁上取一單元體，由單元體的靜力平衡條件可得：單元n荷載傳遞法的計算圖式式中--樁截面周長，--樁側壁摩阻力?？紤]到單元的彈性應變量隨深度z值得增加而減小，于是有對式（11.2）求導，并與式（11.1）聯合，則有式（11.3）式傳遞函數法的基本微分方程，樁身的豎向位移s的求解取決于樁土之間的傳遞函數曲線（即曲線）。Vijayvergiya(1977)對樁測、樁底分別提出相應的傳遞函數表達式：其中（粘土）（砂土）式中—樁單元的位移—位移為z時，樁側的摩阻力；—樁側摩阻力達到時的樁單元的臨界位移值；在粘土或砂土中，=0.51~0.97cm；—樁身范圍內土的不排水抗剪強度平均值；—地表至樁尖范圍內土的豎向有效應力的平均值；—樁身范圍內土的不排水抗剪強度平均值；—土的側壓力系數；—土的豎向有效應力；—樁間土的摩擦角

樁尖傳遞函數，如圖11.2（c）所示。式中—樁尖位移值；—位移為s時，樁尖的阻力；—樁尖阻力達到時的臨界位移值，B為樁徑或寬度—樁尖最大阻力，可按下式計算：（粘土）（砂土）式中—分別為承載力系數；—樁尖粘土的不排水抗剪強度；—樁尖處土的豎向有效應力。一旦樁土間的傳遞函數確定后，就可求得在豎向荷載下樁側摩阻力，樁身軸力分布以及樁身各截面處的位移。求解方法通常采用變形協調法和矩陣位移法。（1）變形協調法該法是在離散成許多單元的樁的底部，假設有某一位移值，然后根據樁身的軸向變形與樁側土變形相協調的關系，可逐段地向上遞推而求出樁段各點（包括樁頂）處的相應軸力、樁側壓力。若樁底假設不同的位移值，于是就可獲得一組相應的軸力、位移以及樁側和樁底的阻力。2）矩陣位移法矩陣位移法實質上是桿件系統的有限單元法。對已經離散了的每個樁單元（圖5.3），可建立軸力之間的關系。若樁頂上作用一個豎向力Q，樁段劃分的長度不一，分別以示之，則對整根樁可寫出分段點的力和位移方程組：式中—土作用在樁段結點上的集中摩阻力（kg或t）列向量，其值為(參見圖5.4)也可寫成—樁的總剛度矩陣；—分別為樁身、樁底直徑；—樁身各結點位移列向量,其值為—外荷載列向量上式也可寫成：式中—土的剛度矩陣，即由和組成的對角矩陣。圖5.3單樁矩陣位移法的計算圖式位移位移位移位移位移圖5.4樁側摩阻力、樁尖阻力與位移的關系曲線由于傳遞函數呈非線性特性，可用迭代法計算式（5.7），其步驟如下：1）根據已知的傳遞函數曲線，假設各結點的初始剛度和（即假定各結點初始位移）2)按式（11.7）算出相應的位移；3)若與的差值超過容許值，則根據和;從圖5.4求出和，并代入式（5.7）算出第二次迭代計算所得的位移；4)重復上述計算過程，直到前后兩次計算所得位移的差值小于容許誤差為止；5)將最后求得的位移值，代入式（5.6）后，可求出各結點處的軸力和摩阻力.從上述計算可見，荷載傳遞法分析單樁的性狀，其關鍵在于正確確定荷載的傳遞曲線。眾所周知，樁的靜再試驗既費工又昂貴，因而近年來有人通過樁、土間傳遞函數的研究來分析和估算樁的承載力，以減少樁的靜載試驗工作量。文獻[11]介紹華南地區在試樁時，通過預埋在樁內的電測元件，測定樁身各量測截面的應變，從而算出樁側摩阻力、樁尖阻力隨位移變化的關系。實測到的荷載傳遞曲線可近似地用雙曲線方程來描述，但為實用起見，可將曲線簡化為彈性-全塑模型，樁尖曲線則簡化為彈性-硬化模型（如圖5.6），并用五個參數來表示。按該模型計算求得的樁頂處的P—s曲線與實測的試樁結果較好吻合。文獻[5]根據上海和我國沿海軟土地區大量試樁與精力觸探的對比資料，發現觸探探頭阻力與軟土地區各類土的（最大樁側摩阻力）、（最大樁尖阻力）有較好的關系；（淤泥質粘土、亞粘土）（淤泥質粘土、亞粘土）（輕亞粘土、粉砂）（軟塑、硬塑的粘土、亞粘土）圖5.6荷載傳遞的雙折線表示P(kN)計算值實測值圖5.7樁的實測與計算的P-s曲線（a）樁軸向力實測值分布圖（b）

式中—觸探探頭阻力，以表示；—樁尖以上（3.75~8.0）d范圍內探頭阻力的平均值；—樁尖以下（1.0~2.75）d范圍內探頭阻力的平均值。而傳遞系數建議用拋物線方程表示，即；式中其它符號與式（5.4）、（5.5）說明相同。通過與軟土地區16根（樁長18~27m）實測試樁資料進行對比，結果說明用建議的傳遞函數計算所得的樁頂P-s曲線與實測值較為接近。2.彈性理論法彈性理論法的基本假定是，樁被插入在一個理想均質的各項同性的彈性半空間體內，其彈性模量和泊松比，不是因樁的存在而變化；樁的周圍粗糙而樁底平滑。由于樁與土之間保持彈性接觸，因此具有樁身位移等于毗鄰土位移的相容條件。在計算中，認為樁與土的徑向變形甚小，可不計，只考慮樁在豎向荷載下的豎向變形。把受荷的樁以及樁周圍的土分成若干小段，現分布取樁周圍的土體（圖5.8b）、樁身（圖5.8c）作為分離體進行分析。單元n單元n圖5.8彈性理論法的計算圖式（1）土的位移方程（按圖5.8b建立）由單元處的摩阻力對樁端點所引起的豎向位移為：式中—單元j處單位摩阻力對樁段點所產生的豎向位移量，或稱為豎向位移影響系數，于是所有n個單元的樁側、樁底阻力對i點所產生的位移：同理，可寫出所有單元對樁底所產生的位移量為：式中—分別為豎向位移影響系數。這樣，土的位移方程可方便地寫出：式中—土的位移矢量，—樁周阻力（包括樁側和樁底）的列向量，

—土的豎向位移柔度矩陣，即（2）樁身位移方程（按圖5.8c建立）把樁身的微分方程式（5.3）改寫成為：并用有限差分法形式，寫出點2到n-1的表達式，即對于樁段點1，寫出差分表達式時，會引入虛結點位移，為此，要利用樁頂處應變的邊界條件，于是的表達式把上式代入式（5.17），消去，則點1的差分表達式為同理，利用非等間距的差分公式以及使用高階級數的差分展開式，于是點n和樁底（b點）的差分表達式：于是，整根樁的位移方程為：式中—樁身位移列向量—樁身系數矩陣，其值為其中（3）單樁的差分方程把樁土交界面處毗連點的位移相容條件代入式（5.21）,便可獲得單樁的差分方程：式中—單位陣;其它符號說明同前。解方程組（式5.22），求出，即獲得樁側摩阻力和樁底阻力；再利用式（5.15）和式（5.2）分別求出樁段的位移和軸力。均質土中不同比值情況下的樁側摩阻力的分布情況；對于K值大的不可壓縮樁，沿樁身的分布比較均勻，且與土的泊松比值關系不大。（4）彈性理論法的若干改進計算方法改進用方程式（5.22）求解時，樁的分段長度必需相同，因為建立式（5.7）時，為了簡便，采用了等間距的差分形式，若采用矩陣位移法，可求解非均質土中分段長度不等情況下的樁。先按圖5.3和式（5.6）建立樁身位移方程，得改寫土的位移方程式（5.15），得式中—系數矩陣，其值為：根據變形相容條件，把上式代入式（5.23）后得：解上式求得樁段各點的集中摩阻力后，就不難獲得值以及位移。應當指出，樁頂荷載Q并不是作用在樁段結點1處（圖5.3），為了使式（5.25）符合實際情況，在分段時，應盡量使長度縮小。樁-土間的滑移眾所周知，樁土之間的摩阻力是有限的，當樁上荷載足夠大時，樁土間摩阻力得到充分地發揮，以至于樁土間產生滑移喪失支撐能力。對此，方便的做法是先按式（5.25）計算，然后檢查所求出的各結點的摩阻力，是否超過某一指定的極限值；若，則在式（5.25）等式左邊的矩陣中第i行的主對角元素充以一個大數（如），而在相應的右端項中第i行充以的數，再作一輪計算，直到計算得的摩阻力均小于為止。非均質土的考慮為了把均質土中已有的分析公式應用到非均質土的情況，Poulos近似地假定土體內的應力與原均質體中的分布情況相同，而計算土位移時所用到土的模量與該點所在的位置有關。于是i點土的位移計算式變成樁身范圍內土的位移方程：式中符號見式（5.15）說明。由于樁的位移方程式（5.23）保持不變，則按照位移相容條件，聯合式（5.27），（5.23）后便可求得樁身各結點的軸力，位移和摩阻力，Poulos曾經對支撐在較硬土層中的樁進行分析，結果表明：樁尖土層模量愈大，則軸力的傳遞作用就愈不明顯。對于樁尖以上若干土層的情況，Poulos建議也可取加權平均模量來代替，即式中—分別是土層i的模量和厚度—樁身長度L范圍內的土層個數。非均質土處理的另一途徑是，先用Mindlin應力公式積分后求得計算點i處的豎向應力，然后運用熟知的分層總和法公式計算該點的位移量（不考慮土的側脹）。該方法基于下述假設：1）地基土非線性性質只對土體的位移有較大的影響，而對土中應力，特別是對豎向應力影響不大；2）考慮到樁基分析中，計算點離地面較深，而且前勘察部門一般只提供壓縮模量，很少提供土的彈性模量；3）分層總和法計算變形公式有較長的使用歷史，并積累著與實測變形對比的資料。采用這一途徑進行單樁分析，只需對前述土的位移方程式（5.24）中的豎向位移影響系數作適當的修改，而式（5.23）和式（5.25）依舊不變。有限深度的近似處理前面土的位移柔度矩中的元素（見式5.15）僅適用于無限深的土體。對于有限厚度H的土層，層內任一點的豎向位移影響系數，可近似地按下式計算：式中—在無限土體介質中，單元j上的單位摩阻力引起i點處的豎向位移影響系數；—在無限土體介質中，單元j上單位摩阻力對地表下H深度處點的豎向位移影響系數（在點的正下方）。綜上可見，彈性理論法的優點是考慮了實際土體的連續性。就這點而言，它可以考慮樁與樁之間相互影響的群樁分析，比傳遞函數法要合理些。但用彈性理論法時，計算土的豎向位移柔度矩陣較為費時，另外，如何正確選擇土的兩個重要指標值還有待進一步解決。3.剪切位移法本方法是把樁身和樁尖變形分別計算。對于樁身的部分，由于樁上荷載的作用使周圍土體發生剪切變形，而剪應力又通過樁側周圍連續環形土單位向四周傳播，如圖5.13所示。其結果在樁尖水平面處產生如形狀那樣的變形(見圖5.12).而柱底部分，則按一般彈性理論方法計算其變形，如形狀。然后考慮兩個變形相容條件，求解樁的軸力、位移和摩阻力等。樁上層土下層土圖5.12上層和下層土各自的變形形狀圖5.13樁身的變形模型（a）及土單元的應力（b）(1)樁側土的位移方程受荷樁身周圍土的變形可理想地視作為同心圓柱體（圖5.13a）。這一假定的正確性已被Cooke（1974）樁的實驗結果所證實。此后Frank（1974,1975）和Baguelin等人（1975）用有限單元分析也證實這一假定的合理性。從圓柱體內取一微分體（圖5.13a），根據彈性理論可寫出豎向平衡微分方程式：由于樁受荷后，樁身附近處的剪應力的增加遠大于豎向應力因而略去項后，方程近似的變為：用分離變量法可求得該方程的解為：式中—分別表示樁側土表面處的剪應力和樁的半徑。由彈性理論幾何方程，剪切變形表達式為略去軸向應變和徑向應變。再根據軸對稱課題的物理方程，則有：把式（5.32），（5.34）代入式（5.33），略去項，則得：兩邊積分后求得地表下任一深度z處的水平面上的位移：式中—分別為土的徑向和豎向位移；—樁身范圍內的土的剪切模量；—離樁軸線的水平距離；—剪切變形可忽略的范圍（離樁軸線的水平距離），Randolph(1978)建議可取,L為樁長。圖5.14某一深度處，樁側外豎向位移隨水平徑向距離的變化圖5.15計算圖式圖5.14中：或（2）樁底土的位移方程由于樁尖猶如一個剛性壓塊，Randolph(1979)建議Boussi-Nesq公式求解，即對于剛性壓塊，ω取0.79，于是式中—分別指樁底標高以下土的泊松比和剪切模量。（3）可壓縮性樁的解析表達式由于樁身位移s和土的位移w相等，故樁身位移方程式（5.3）又可寫成式中上式為常系數齊次線性微分方程，其通解為：式中—待定常數；而樁身軸力方程式（5.12）可寫成：合并式（5.40），（5.41）得：或簡寫成若討論長度為l的樁段，如圖5.15所示。可分別寫出該段頂部和底部處的位移和軸力方程：頂部：底部：消去：式中—變換矩陣，其值為：（均質土情況）由式（5.43）可見，在均質土（剪切模量不隨深度變化）情況，如果已知樁段底部（或樁段頂部）的位移和軸力，就可通過變換矩陣求得該樁段頂部（或底部）的位移和軸力。這樣，就不需要或減少對樁身的離散程度，以節省計算時間。5.2.2豎向荷載下群樁受力的性狀1.彈性理論法群樁基礎的計算是基于單根樁分析的基礎上，以彈性理論的應力疊加原理，把在彈性介質中二根樁的分析結果，通過引入一個“共同作用系數”，而擴展到一組群樁中去。（1）二根樁的共同作用分析——共同作用系數現考慮彈性介質中二根截面和所受荷載都相同的樁。同單根樁一樣，把樁分成若干小段，如圖5.18。按照單根樁的分析公式（5.22）或（5.25），求得單根樁上各樁段上的軸力和位移后，把單根樁樁頂位移和樁頂荷載取式中—影響系數，它與等因素有關（H為土層的厚度，其它符號同前）；—單根樁在樁頂單位荷載作用下的樁頂位移。出；或用下式表示它們之間的關系：圖.5.18兩根樁情況下彈性理論法的分析這樣，對于二根樁的情況，不難寫出：式中，—位移影響矩陣，其中元素分別表示第一根和第二根樁上第j單元上的剪應力對第一根（或第二根）樁上第i單元的位移影響系數。上述分析結果，可方便地用一個“共同作用系數”來表示：式中s—表示兩樁的中心距離。這樣，當由四根樁所構成的一個方形樁群時，樁群的位移量為：式中—在每根樁上的荷載；—與間距有關的共同作用系數?！c間距

有關的共同作用系數對于由n根相同的樁的樁群，則其中任一跟樁k的沉降量為：式中—與樁k和樁j間距有關的共同作用系數，并且是對樁j的幾何尺寸而言的。對群樁中所有的樁，寫出式（5.46），便得到n個位移方程式。另有豎向荷載平衡條件，可得：式中—作用在樁群上的總荷載于是，根據樁頂上承臺板的特性（剛性的或有限剛度的），寫出樁頂平面處的變形協調條件，就可解出作用在各根樁頂上的荷載和位移。應當指出，對于有限可壓縮土層的情況、大直徑樁尖以及土的不同泊松比等情況，需要對值進行修正，考慮如下:從上可見，群樁受力分析的要點是，先建立在樁頂處（包括土）的樁頂荷載與其位移之間的關系式；然后，根據豎向靜力平衡條件以及樁頂標高處樁頂（包括土）位移與基礎板位移的協調條件，求解實際作用在樁頂上的荷載和位移值。（2）樁、筏基礎的共同作用分析與前面一樣，先考察帶有圓形帽板的二根樁，如圖5.28所示。帽板的直徑，并分成個圓環，圓環下的豎向壓力認為是均勻分布。于是按圖5.28右圖和式（5.13）、（5.14），可寫出樁1上樁段處的位移計算式，即樁1樁2圖5.28樁、筏基礎的計算圖式式中—分別是樁1、樁2上第j單元處的剪應力對i點所引起的位移；—分別是樁1、樁2底面壓力對i點所產生的位移；—分別是樁帽第k環板下壓力對i點所產生的豎向位移可用Boussinesq公式求解。為了把上述兩根樁的結果推廣到一組m根樁的情況中，這里也引用一個“共同作用系數”，其含義是：于是，利用疊加原理，可寫出第i根樁頂產生的沉降量：式中—分別是作用在由帽板i、j樁上的荷載；—帽板樁i、j之間的共同作用系數；—單位荷載下單根有帽板樁的變形，—單位荷載下單根無帽板樁的變形；—考慮樁帽的影響系數。式（5.52）給出樁頂荷載與位移的m個方程；對于矩形筏板，可以寫出式中—作用板面結點上的已知荷載；—筏板的剛度矩陣，—筏板與樁、土接觸面之間的接觸壓力;—筏板的結點位移整個接觸面積上n個結點中，有m個結點為樁。那么。由m個結點的樁、個結點面積上的接觸力對結點所產生變形表達式為：有樁節點處的m個變形表達式：無樁結點處的個變形表達式：式中—第j結點處單位均布荷載對結點i所產生變形量，用Boussinesq公式計算；—單位荷載作用下，第j根單樁對i結點所產生的變形量；其它符號同前說明。于是，按照板底接觸面上的變形條件，即把由式（5.54）和（5.55）聯合而成的n個表達式代入式（5.53）中，解出未知的接觸壓力{R}(包括樁頂作用力和土反力)。再代入式（5.53）求出板面結點上的位移{S}。（3）上部結構與樁、筏基礎的共同作用分析設有如圖5.32所示的上部結構，則上部結構的位移{U}和荷載{P}的平衡方程為圖5.32在柱底處的凝聚荷載和凝聚剛度

式中—上部結構的剛度矩陣。用分塊形式把上式寫成：式中—指上部結構與筏基接觸點的位移列向量。展開式（5.57）后為：展開式（5.58）移項后，得上式代入式（5.59），得或簡寫成式中—上部結構通過凝聚后為等效的邊界荷載列向量；—上部結構通過凝聚后的等效的邊界剛度，即圖5.32中的。把和疊加到樁、筏基礎上，于是即得到上部結構與樁筏基礎共同作用的方程式，即修改式（5.53）后為：把式（5.54）、（5.55）代入上式，先后求出{R}、{S}。把上部結構與筏板面相接觸點的位移從中取出,代入式（5.60）就可求得整個上部結構的結點位移。2.剪切位移法（1）兩根樁的共同作用分析—剛度系數值圖5.33兩根樁情況，剪切位移法的分析考慮如圖5.33所示的兩根樁情況，在某一深度z處1,2兩點的位移，根據圖5.14可寫成式中—在單根樁情況下，由點1的剪應力而引起在該處的位移；—在兩根樁的情況下，由于點2處的剪應力引起鄰近樁第1點處的位移量。上式可用矩陣形式表示：或由于兩根樁的尺寸、所受荷載都相同，則有如下關系：于是上式寫成：或式中s為兩樁中心距；應當指出，物理意義是指在兩根相同尺寸樁的情況下，樁側土的剛度；而是單根樁時樁側土的剛度。（2）群樁樁頂柔度矩陣的建立對圖5.34所示的四根樁群，由于樁側土具有剪切剛度G，樁土之間的共同作用可理想地作為一組連接樁身且與固定點相連的水平彈簧，而樁側土的阻力僅僅與該土阻力所作用水平標高處的樁身位移有關。群樁樁頂柔度矩陣可按下述步驟計算：（a）按單樁的情況考慮設柱底處的軸力，則按式（5.38）可求得樁底處位移為：土層Ⅰ土層Ⅱ樁圖5.34群樁的剪切位移法的分析利用式（5.43）求出第Ⅰ樁段頂部（點2）的柔度。同理，再算出樁頂處的柔度。式中字母“F”記作樁頂處的柔度；圖5.34四根樁截面尺寸相同，則。（b）按兩根樁（如考慮A、B樁）的情況，則由于B樁的存在，在A樁底部所產生的位移為：式中s—A、B兩樁的中心距。（c）再考慮A、C樁情況，同上述步驟便可得到：樁頂的柔度矩陣[F]：式中—樁頂位移的列向量;—樁頂荷載的列向量。5.3側向荷載作用下單樁受力分析5.3.1側向荷載下單樁受力分析單樁受力性狀主要取決于水平方向地基土作用力與其位移之間的關系。關系表達式不同，就得到不同的計算方法。1.國內常用計算方法簡介—“m”法、“c”值法樁的計算方法都基于地基梁的基本方程。地基梁的微分方程可寫成：式中—水平向地基反力系數，通過各種試驗方法求得；—樁的直徑或寬度。目前，我國采用的地基系數的幾種不同分布形式如圖5.40所示。地基系數與深度z的一般表達式為：式中、—分別為深度z和第一位移零點處(z=t)的地基系數；—隨土的類別而變的一個指數。圖5.40水平向地基系數隨深度的變化假定，則由此假定而進行樁的內力計算方法，通常稱作為“m”法；若假定隨深度呈拋物線型增加，即，則由此而得的為“C”值法。應該指出，圖5.40中的幾種地基系數雖雖深度z變化，但與水平向x的位移大小無關，因此它們仍屬于線性計算范疇。微分方程式（5.72)只有在分布形式簡單的情況下才有解析表達式。把一根樁分成n段（每段長度不一），并在各分段結點上施加一個剛度為的水平彈簧，以反映周圍土的影響?，F以矩陣位移法（n=3）為例說明求解過程(5.42)。由于每個結點有二個自由度（水平位移u和轉角θ），它的矩陣方程為：式中—結點位移列向量—作用在節點上的荷載列向量—樁的總剛度矩陣（2n+2)(2n+2),是由各樁段剛度矩陣（見式（10.1）集合而成；—彈簧反力列向量，它與彈簧的水平位移有如下關系：；；；。其中（表示按“m”法計算），或（表示按“C”值法計算）。把~的關系式代入法（5.74），解出或，再利用靜力平衡條件，解得樁身內各點彎矩值。圖5.42矩陣位移法的分析圖式2.p—y曲線法現場原形觀測和室內試驗表明，水平荷載作用下土的水平位移Matlook和Ingram（1970）通過在湖泊和海洋軟粘土所做兩根足尺樁的靜載試驗，提出如圖5.43所示的p—y曲線，并已被美國石油協會準則（API-RP2A)所采納。圖5.43軟粘土的p-y曲線土的極限阻力為：式中—侵水容重—土的不排水抗剪強度；—樁的直徑；—經驗系數，J=0.5（軟粘土）。而式中—土的側向阻力（單位：力/長度）；—在三軸不排水剪切試驗中，在最大偏差應力一半時所對應的軸向應變。對循環荷載，土的極限阻力取計。近年來，有些學者根據足尺樁試驗實測到的數據反算地基土的p—y曲線；也有的把軟粘土與硬粘土的p—y曲線合并成一條能考慮樁剛度效應的新的p—y曲線。一旦p—y曲線確定后，則用割線剛度迭代法解式（5.74）（此刻，地基系數），具體方法與式（5.6）類同。3.彈性理論法圖5.42表示一根插在彈性介質中的樁。它被看作是寬為d、長為L的一根矩形豎直狹條，表示樁的抗彎剛度。在半無限彈性體內部，由一個水平力集中力P所引起的水平位移u已被Mindlln所解得；于是，j點處