主講教師：陳建新、朱莉莉、陳榮福建師范大學物理與光電信息科技學院激光原理與技術LasersPrinciplesandTechnologies四能級激光系統的速率方程的進一步簡化第五章激光放大與振蕩原理穩態激光泵浦與集居數反轉穩態泵浦時微分方程組變成代數方程組穩態激光泵浦與集居數反轉解方程得到：激光系統的總量子效率激光躍遷上、下能級間的純自發輻射躍遷壽命2233nggnn-=D實現激光躍遷能級間的集居數密度反轉分布必須滿足：即說明激光下能級的壽命應短于上能級，最佳的情況為：即理想的四能級激光系統的原子集居數密度反轉在低泵浦下，隨泵浦幾率增大近似呈線性關系增大達到飽和極限值，在高泵浦下討論簡化的三能級系統速率方程穩態泵浦時的解1122nggnn-=D???????????íì++-=D++=++=)1(1)1(1)1(121122121212211bththbththbthPPPPPWggWnnWWnnWnn穩態激光泵浦與集居數反轉當即同時才會實現激光躍遷能級間的集居數密度反轉分布最佳的情況為：即即：泵浦能級E3至激光能級E2躍遷幾率S32很大的情況討論在的激光器泵浦階段，四能級系統原子集居數密度反轉的速率方程如果泵浦幾率為矩形脈沖泵浦瞬態激光泵浦特性－－－四能級激光系統分析當t=0時的初始條件為：微分方程的解為得到：當(低水平泵浦)時Rp表示單位體積介質中原子由基態泵浦達到激光上能級的速率可表示成：討論激光器的泵浦效率僅依賴于泵浦脈寬與激光上能級平均壽命之比要使泵浦效率達到90％，要求即必須在約為1/5激光上能級壽命的時間內將泵浦能量全部釋放出來。定義激光器單位體積介質中的泵浦效率為，泵浦使激光上能級所能達到的原子集居數最大值與在泵浦脈沖持續期間從基態所抽運的原子數之比。當(高水平泵浦)時，在泵浦持續期間有：原子集居數密度反轉將隨泵浦強度WP及時間t指數增大。當泵浦結束時達到最大值為討論在的激光器泵浦階段，三能級系統原子集居數密度反轉的速率方程如果泵浦幾率為矩形脈沖泵浦當t=0時的初始條件為得到瞬態解：瞬態激光泵浦特性－－－三能級激光系統分析記為激光上能級的平均壽命。從泵浦開始到形成集居數反轉所需的時間為激光振蕩的時間延遲當時，原子集居數密度反轉的最大值近似為WPTP決定泵浦脈沖的總能量，只要泵浦能量足夠大，脈沖泵浦幾乎能將所有的原子泵浦到激光上能級。討論I為入射光強，P為入射光的總功率，A為總受光面積，粒子所吸收的凈光功率為：激活介質的穩態增益放大受激發射截面和受激吸收截面吸收截面：處于下能級的每個原子對入射光波吸收功率所具有的有效俘獲截面積發射截面：處于上能級的每個原子由于“負吸收”或受激發射所具有的有效截面積處于下能級的原子所產生的總吸收面積為處于上能級的原子所產生的總有效發射面積為原子從總功率為P的入射光波中吸收的凈功率為：根據速率方程理論：與式

比較，得到：以上二式給出了介質原子給定躍遷的受激發射截面與吸收截面間的關系，受激發射截面與受激發射幾率和光強間的關系。光與共振介質的作用激活介質對入射光場的衰減特性：激活介質對入射光場的放大特性：介質處于正常狀態：介質處于粒子數反轉狀態：-------吸收介質-------增益介質如果工作物質對于躍遷頻率為ν的能級間形成了布局數反轉，則若有頻率為ν，光強為I0的準單色光入射，則由于受激輻射，在傳播過程中光強將不斷增加。介質在z處的增益系數定義為：增益系數描述光強經過單位距離后的增長率。()()dzzIzdIdzzIzIzdIzIdzzIzIdzzIG=-+=-+=)()()()()()()(增益系數介質的增益系數與發射截面間的關系:介質的吸收系數與吸收截面間的關系:()()dzzIzdIdzzIzIzdIzIdzzIzIdzzIG=-+=-+=)()()()()()()(可以證明，對均勻加寬的四能級系統，受激躍遷的發射截面與介質給定躍遷的譜線線型函數有關，對應躍遷中心頻率具有最大值。均勻加寬介質的穩態增益均勻加寬激活介質的增益系數與原子激光躍遷上、下能級間的集居數密度反轉及受激躍遷的發射截面間的關系為增益系數的微觀描述四能級激活介質的穩態增益在小信號光場情況，集居數密度反轉為：Is為飽和光強，即激活介質給定躍遷的飽和參量。對均勻加寬的四能級系統，受激躍遷的發射截面與介質給定躍遷的譜線線型函數有關，對應躍遷中心頻率具有最大值，相應的飽和光強取最小值。隨著介質中光強的增大，原子集居數密度減小，即所謂的原子集居數反轉飽和效應。討論均勻加寬介質的躍遷譜線具有洛侖茲線型時，飽和參量為:對應中心頻率時的飽和參量：均勻加寬介質的躍遷譜線具有洛侖茲線型時，穩態集居數密度反轉:均勻加寬的四能級系統的穩態增益系數均勻加寬介質的小信號增益系數為：其中對應中心頻率的最大小信號增益系數均勻加寬介質的大信號增益系數為：穩態增益系數正比于集居數密度反轉和受激發射截面。激活介質的增益系數與入射光場的光強和頻率有關系。2.激活介質小信號增益曲線的形狀完全取決于相應躍遷譜線的線型函數討論3.增益飽和程度與入射光的頻率有關。用增益系數在強光信號下減少的相對值來度量增益飽和的強弱。產生顯著的飽和作用，該頻率范圍的寬度（介質大信號增益曲線的飽和加寬線寬）：討論4.工作物質在強光(飽和信號)的照射下，同時還有一頻率為的小信號光(探測信號)入射時，工作物質對這一小信號光的增益情況。將的表達式代入得到：討論原因：在均勻加寬譜線的情況下，由于每個粒子對譜線不同的頻率處都有貢獻，所以當某一頻率的受激輻射消耗了激發態的粒子時，也就減少了對其它頻率信號的增益起作用的粒子數，其結果是增益曲線在整個譜線上均勻的下降。討論均勻加寬介質增益曲線的均勻飽和特性：P294圖5-2-2與原來的小信號增益曲線相比均勻地減小了一個由飽和信號的頻率和光強所決定的因子，該因子與探測信號的頻率無關：5.均勻加寬介質大信號增益曲線的飽和加寬由飽和效應所引起的大信號增益線寬加寬稱為飽和加寬，也為功率加寬用介質大信號增益曲線的飽和加寬線寬表示均勻加寬介質的大信號增益系數為：討論小信號情況下的反轉粒子密度為，則表觀中心頻率在的范圍的反轉粒子密度為：這部分粒子具有帶寬為的均勻加寬形式的輻射，對于頻率，光強為的入射光，這部分粒子的增益貢獻為：綜合加寬及非均勻加寬激活介質的穩態增益特性非均勻加寬因素使特定的原子對入射光場提供增益，均勻加寬使各類不同的原子都對入射場有貢獻?？偟脑鲆嫦禂禐榫哂懈鞣N表觀中心頻率的全部粒子數對增益貢獻的總和。因此增益系數為對具有佛克脫型綜合加寬的介質：1.當時，為小信號增益系數（未飽和增益系數）：討論2.強非均勻加寬激活介質的穩態增益3.綜合加寬介質的穩態飽和增益在頻率為，光強為的入射光作用下，反轉粒子數密度曲線在附近將明顯下降而在其它地方幾乎不發生改變，從而在附近形成“燒孔”，稱為燒孔效應。1.增益曲線的局部飽和或增益曲線的“燒孔”燒孔的寬度：燒孔深度為：增益曲線燒孔的孔寬和孔深隨飽和信號光強的增大而變寬、變深強非均勻加寬介質增益飽和特性的討論2.增益飽和程度與入射光的頻率關系增益飽和程度僅決定入射光強，與入射光的頻率無關3.非均勻加寬介質的增益飽和速度較慢對于非均勻加寬，大信號增益系數與小信號增益系數之間的關系為：對于均勻加寬，大信號增益系數與小信號增益系數之間的關系為：均勻加寬介質增益系數隨光強的增大以更快的速度飽和。激光器振蕩原理激光器速率方程在激活介質的速率方程中考慮下面兩點得到激光器速率方程A光腔損耗對腔振蕩模光子數的影響B腔模體積一般并不總是等于腔內的振蕩模與激活介質相互作用的有效模體積單模均勻加寬躍遷激光器速率方程－－－四能級激光器速率方程單模振蕩理想四能級均勻加寬激光器速率方程：

腔損耗作用下，光子密度增長率光子壽命激光器振蕩原理不計自發輻射對單模光場光子數的貢獻，單模振蕩理想四能級均勻加寬激光器介質內的原子集居數密度差和光子總數的速率方程：單模振蕩理想三能級均勻加寬激光器速率方程：

腔損耗作用下，光子密度增長率不計自發輻射對單模光場光子數的貢獻，單模振蕩理想三能級均勻加寬激光器介質內的原子集居數密度差和光子總數的速率方程：由光子總數的速率方程可得到實現激光振蕩滿足的條件小信號原子集居數密度反轉滿足的條件：激光器振蕩的閾值條件用閾值增益系數表示激光器振蕩的閾值條件和閾值特性實現激光振蕩所必需的閾值泵浦幾率：四能級激光器的振蕩閾值：介質中的閾值泵浦功率密度：實現激光振蕩介質中所必需的最小的閾值泵浦功率密度：穩態激光器的閾值泵浦功率密度實現激光振蕩所必需的閾值泵浦幾率：三能級激光器的振蕩閾值：介質中的閾值泵浦功率密度：實現激光振蕩介質中所必需的最小的閾值泵浦功率密度：1.實現激光振蕩所必需的閾值泵浦幾率：四能級激光器較三能級激光器有低得多的閾值2.四能級激光器閾值泵浦功率密度正比于腔損耗因子，而三能級激光器與腔損耗因子無關：4.實現激光振蕩介質中所必需的最小的閾值泵浦功率密度：四能級激光器的振蕩閾值隨振蕩波長的變短而迅速提高，三能級激光器的閾值對波長的變換并不敏感。5.為降低激光器的振蕩閾值，盡量設法提高泵浦功率的利用效率，并選取具有高的量子效率的激光介質和躍遷。3.四能級激光器閾值泵浦功率密度與發射截面成反比，而三能級激光器與發射截面無關：腔內振蕩模的穩態光子總數為，激光器由輸出耦合率所決定的光子壽命為，振蕩頻率為，激光器的穩態輸出功率為：通過求解激光器穩態速率方程得到腔內振蕩模的穩態光子總數激光器的輸出功率特性均勻加寬單模激光器的輸出功率根據四能級激光器速率方程組，得到激光器穩態原子集居數密度反轉和腔內光子總數為定義表示激光器的泵浦超閾度，可得激光器的輸出功率：均勻加寬單模四能級激光器的輸出功率根據三能級激光器速率方程組，得到激光器穩態原子集居數密度反轉和腔內光子總數為定義表示激光器的泵浦超閾度，可得激光器的輸出功率：均勻加寬單模三能級激光器的輸出功率1.激光器穩態原子集居數密度反轉和腔內光子總數隨泵浦躍遷幾率的變化三能級激光器四能級激光器均勻加寬單模激光器的輸出功率特性原子集居數密度反轉與泵浦躍遷幾率無關，腔內光子總數隨泵浦躍遷幾率的增大線性增大2.激光器的輸出功率隨泵浦輸入功率的變化四能級激光器:激光器的輸出功率對泵浦輸入功率的增大而線性增大三能級激光器:3.在駐波型激光器中，穩定工作時，腔內存在沿腔軸線方向傳播的兩束光：若T《1，有：腔內的平均光強為：若單模頻率為，則由：代入各表達式：得到腔內穩定的光強：若激光器的有效截面面積為A，則激光器輸出功率:當T<<1時，總的單程損耗可以表示為:

則：

4.當泵浦一定時，激光器存在最佳輸出耦合率對應著最大的輸出功率，輸出光強達到極大值最佳輸出耦合率就是計算與輸出功率最大值所對應的輸出耦合率輸出功率最大值此時：最佳輸出耦合率隨著往返小訊號功率增益增大，對應由更大的最佳輸出透過率和輸出功率當，光束與將在增益曲線上分別產生兩個燒孔，每個光強只對其中一個燒孔起飽和作用;由：非均勻加寬單模激光器的輸出功率可以寫出：因此輸出功率為：當，光束與將在增益曲線中心處產生一個燒孔，此時：增益系數為：此時，光強與輸出功率分別為：當輸出光的頻率與中心頻率

相同時，兩個燒孔完全重合，

燒孔面積減小，即對激光做

貢獻的反轉粒子數減少，輸

出功率下降，在輸出功率對

頻率的關系曲線上出現一個

凹陷，稱為蘭姆凹陷。

svHII+D=1ndn蘭姆凹陷的寬度：激光器起振縱模模式數的估計振蕩帶寬：激光器小信號增益曲線上大于閾值增益系數的曲線所對應的頻率范圍。激光器可能起振的縱模模式數：1+úú?ùêê?éDD=qosNnn激光器的振蕩頻率和頻率牽引具有洛侖茲線型函數的均勻加寬介質：具有高斯線型函數的非均勻加寬介質：結論：泵浦越強、諧振腔損耗越小、腔長越長，起振的縱模個數越多可以求得：2lnln202,1mDrnnnD±=即：2lnlnmDosrnnD=D如果均勻加寬工作物質中存在某一頻率的一定強度的光，則對另一頻率的光的小信號增益系數就會減小，也就是說一種光的存在會影響另一種光的增益系數。如果在材料中同時存在多種頻率的光，由于每一種光都會使材料中的反轉集居數密度降低，因而每一種光都會使得其他光的增益系數下降。也就是說這些光存在著對增益系數的競爭作用?？疾烊绻鄠€模式的諧振頻率落在均勻加寬增益曲線范圍內，且他們的小信號增益系數都大于振蕩閾值增益情況均勻加寬激光器中的模競爭和單模振蕩開始時，存在三個模式、、：故：均增大()()()tvqtvqtvqGIIIGGIIIGGIIIGqqqqqqqqq>>>+-+-+--+111111,,,,,,,,,11nnnnnnnnn不再增加

下降至零，即模熄滅繼續增加繼續增加繼續增加增益曲線降低到曲線1時：增益曲線繼續下降：不再增加下降至零繼續增加達到穩定值繼續增加均勻加寬激光器具有自選模作用增益曲線降低到曲線3時：增益曲線繼續下降：增益曲線降低到曲線2時：空間燒孔燒孔效應：由于波沿軸向各點分布不均勻，造成增益系數（反轉粒子數密度）的不均勻分布，在波腹處的增益系數（反轉粒子數密度）最小，而在波節處的增益系數（反轉粒子數密度）最大。這一現象稱為增益的空間燒孔效應縱模的空間競爭：由于軸向空間燒孔效應，不同縱?？赡苁褂貌煌臻g的激活粒子而同時產生振蕩。空間燒孔引起的多模振蕩在非均勻加寬激光器中，如果有多個縱模滿足振蕩條件，