通信原理PrinciplesofCommunications課件整理：王懷興QQ：76944908Email：

76944908@TEL3章隨機過程通信過程中的信號與噪聲都有一定的隨機性，需要用隨機過程(rondomprocess)來描述。本章主要學習隨機過程的分布及數字特征，隨機過程的統計特性，隨機過程通過線性系統。本章內容隨機過程的分布與數字特征平穩、高斯、窄帶隨機過程的統計特性隨機過程通過線性系統正弦波加窄帶高斯噪聲的統計特性高斯白噪聲和帶限白噪聲3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程1隨機過程的定義(Definition)例：n臺示波器同時觀測并記錄噪聲源的輸出噪聲波形，每一臺輸出記為i(t)。(t)={1(t),2(t),…,n(t)}稱為隨機過程。1

(t)

2

(t)

3

(t)

4

(t)

5

(t)

6

(t)

隨機過程是所有樣本函數i(t)的集合；i(t)是隨機過程的一次實現，是確定的時間函數;隨機過程任意時刻的值是一個是隨機變量；是時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程2隨機過程的分布函數(Distributionfunction)一維分布函數：一維概率密度函數：二維分布函數：二維概率密度函數：n維分布函數：n維概率密度函數：3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數字特征(Numeralcharacteristic)※均值(Average)或者數學期望(Mathematicexpectation)

(t)的均值是時間的確定函數，常記作a(t)，它表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心。上式中，由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x。a(t)3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數字特征(Numeralcharacteristic)※方差(Variance)常記為2(t)，此處把任意時刻t1直接寫成了t。

所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數字特征(Numeralcharacteristic)※相關函數(correlationfunction)

(t1)和

(t2)分別是t1和t2時刻觀測到的隨機變量?？梢姡琑(t1,t2)是兩個變量t1和t2的確定函數?！鶇f方差函數(covariancefunction)a(t1)和a(t2)分別是在t1和t2時刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)為

(t)的二維概率密度函數。3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數字特征(Numeralcharacteristic)※相關函數與協方差函數的關系※互相關函數(t)和(t)為兩個隨機過程，R(t1,t2)也稱自相關函數。3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程1平穩隨機過程的定義若隨機過程(t)的統計特性與時間起點無關，則稱該隨機過程是嚴平穩隨機過程。若(t)平穩則有：一維分布函數與時間t無關二維分布函數只與時間間隔=t2–t1有關(1)其均值與t無關，為常數a(2)自相關函數只與有關滿足(1)和(2)為廣義平穩在通信系統中所遇到的信號及噪聲，大多數可視為平穩的隨機過程。因此，研究平穩隨機過程有著很大的實際意義。3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程2各態歷經性(Ergodicity)隨機過程(t)的數字特征(均值與相關函數)是對(t)所有樣本函數的統計平均，但實際很難獲得。各態歷經含義：各態歷經性隨機過程任一實現都經歷了隨機過程所有可能狀態，其數字特征完全可由隨機過程中的任一實現的時間平均值來代替。各態歷經隨機過程一定是平穩過程，反之不一定。平穩過程的統計平均等于它任一次實現的時間平均，則為隨機過程具有各態歷經性。通信系統中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態歷經條件。3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程2各態歷經性(Ergodicity)【例3-1】隨機相位正弦波，A和c為常數，在(0,2π)均勻分布，(t)具有各態歷經性？解：(1)先求(t)的統計平均值：※數學期望※自相關函數3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程2各態歷經性(Ergodicity)【例3-1】隨機相位正弦波，A和c為常數，在(0,2π)均勻分布，(t)具有各態歷經性？可見，(t)的數學期望為常數，自相關函數只與時間差有關，所以為廣義平穩隨機過程。(2)求(t)的時間平均值因此，隨機相位余弦波是各態歷經的。3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩過程的自相關函數(self-correlationfunction)平穩過程自相關函數的性質—(t)的平均功率—的偶函數—R()的上界是R(0)—(t)的直流功率2是方差，表示平穩過程(t)的交流功率。--當均值為0時，有R(0)=2

3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩過程的功率譜密度(

power

spectral

density)對任意確定功率信號f(t)的功率譜密度定義為FT(f)是f(t)的截短函數fT

(t)的頻譜函數，如圖：把f(t)當作是(t)的一個樣本，過程的功率譜密度應看作是對所有樣本的功率譜的統計平均，即：3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩過程的功率譜密度(

power

spectral

density)※功率譜密度的計算平穩隨機過程自相關函數與其功率譜密度是一對傅里葉變換，稱為維納-辛欽關系(Wiener-Khinchine)。(1)過程平均功率(2)各態歷經過程的任一樣本函數的功率譜密度等于過程的功率譜密度。(3)功率譜密度P(f)具有非負性和實偶性，即3.2平穩隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩過程的功率譜密度(

power

spectral

density)※功率譜密度的計算[例3-2]

求隨機相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關函數和功率譜密度。解：[例3-1]已求出(t)為平穩過程，相關函數為相關函數與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程1定義如果隨機過程(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態分布，則稱它為正態過程或高斯過程。n維正態概率密度函數表示式為：|B|jk

：行列式|B|中元素bjk的代數余因子

bjk：為歸一化協方差函數3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程2重要性質(

crucialproperties)高斯過程n維分布只依賴各隨機變量的均值、方差和歸一化協方差，只需研究它的數字特征；廣義平穩高斯過程的均值與時間無關，協方差只與時間間隔有關，其n維分布與時間起點無關，故它也是嚴平穩的。如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，那么它們也是統計獨立的。若線性系統的輸入為高斯過程，則系統輸出也是高斯過程。3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程3高斯隨機變量(Gaussianrandomvariable)高斯過程在任一時刻的取值是一個正態分布的隨機變量(高斯隨機變量)，其一維概率密度函數為a－均值，2－方差f(x+a)=f(x-a)關于直線x=a對稱a:分布中心，:標準偏差，隨減小而變高和變窄。當a=0和

=1時為標準化正態分布

3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程3高斯隨機變量(Gaussianrandomvariable)正態分布函數此積分無法用閉合形式計算，通常用查表法求式中稱為誤差函數，可查表求3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程3高斯隨機變量(Gaussianrandomvariable)用Q函數表示正態分布函數：Q函數和erfc函數的關系Q函數和分布函數F(x)的關系3.4平穩隨機過程通過線性系統(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程設線性時不變系統單位沖激響應為h(t)，輸入為vi(t)，輸出為vo(t)，則設輸入i(t)是平穩的隨機過程，a為均值，Ri()為自相關函數，Pi()為功率譜密度。1輸出o(t)的均值H(0)是線性系統在f=0處的頻率響應。3.4平穩隨機過程通過線性系統(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程2輸出o(t)的自相關函數輸出的自相關函數僅是時間間隔的函數。若線性系統的輸入平穩，則輸出也平穩。3.4平穩隨機過程通過線性系統(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程3輸出o(t)的功率譜密度令

=+-，代入上式，得到※結論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統頻率響應模值的平方。3.4平穩隨機過程通過線性系統(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程4輸出o(t)的概率分布如果線性系統的輸入過程是高斯型的，則系統的輸出過程也是高斯型的。設i(t)是高斯型，上式右端每一項都是一個高斯隨機變量，則輸出o(t)在任一時刻上得到的隨機變量是無限個高斯變量之和，則輸出為高斯過程。與輸入過程相比，輸出的數字特征已經改變。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程若隨機過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f內，即滿足f<<fc的條件，且fc遠離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機過程。窄帶隨機過程的譜密度窄帶隨機過程的樣本函數可以看作是包絡線緩慢變化的正弦波3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程窄帶隨機過程的表示式a(t)－隨機包絡，

(t)－隨機相位，c－中心頻率a(t)和

(t)相對于載波cosct的變化要緩慢得多。(t)的統計特性由a(t)和

(t)或c(t)和s(t)確定。若(t)統計特性已知，則a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的統計特性也隨之確定。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統計特性通常設(t)平穩且均值為零，故E[(t)]=0

，所以※(t)的數學期望※(t)的自相關函數3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統計特性因為(t)是平穩的，故有Rξ(t,t+τ)=Rξ(τ)，這就要求上式的右端與時間t無關，而僅與有關。因此，若令t=0，上式仍應成立，它變為因與時間t無關，以下二式自然成立3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統計特性即令t=0時同理再令t=π/2c時※

E[c(t)]=E[s(t)]=0，Rc(τ)與Rs(τ)只和τ有關。即若窄帶過程(t)平穩，則c(t)和s(t)也必然平穩。根據互相關函數的性質，應有與上式相比較有即(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統計特性根據平穩性，過程的特性與變量t無關，故由式因為(t)是高斯過程，則c(t1)，s(t2)一定是高斯隨機變量，從而c(t)

、s(t)也是高斯過程。即一個均值為零的窄帶平穩高斯過程(t)，其c(t)、s(t)也是高斯過程，且均值為零，方差相同；同一個時刻上得到的c(t)和s(t)是統計獨立的。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程2a(t)和(t)的統計特性※聯合概率密度函數f(a,)3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程2a(t)和(t)的統計特性※聯合概率密度函數f(a,)式中：a0,=(0~2π)※a的一維概率密度函數可見，a服從瑞利(Rayleigh)分布?？梢姡木鶆蚍植肌

與統計獨立。3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程1正弦波加窄帶高斯噪聲的表示n(t)－窄帶高斯噪聲；－正弦波的隨機相位，均勻分布在0～2間；A和c－確知振幅和角頻率3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統計特性利用上一節的結果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨立的高斯隨機變量，且有※zc和zs的聯合概率密度函數(相位一定)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統計特性※包絡的概率密度函數f(z)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統計特性可見，f(,z)與無關稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯(Rice)分布。式中I0(x)－第一類零階修正貝塞爾函數。x≥0時，I0(x)是單調上升函數，且I0(0)=03.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統計特性當信號很小(A0)時，Az/n2→0，I0(Az/n2)1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。當(Az/n2)很大時，有上式近似為高斯分布包絡的概率密度函數曲線f(z)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統計特性3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統計特性相位的概率密度函數曲線f()3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章隨機過程1白噪聲n(t)(whitenoise)噪聲功率譜密度在所有頻率上均為一常數，即雙邊功率譜密度單邊功率譜密度※白噪聲的自相關函數：對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關函數：τ=0時才相關3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章隨機過程由于白噪聲帶寬無限，其平均功率為無窮大，即因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構造的一種理想化的噪聲形式。實際中，只要噪聲功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統的工作頻帶，就可視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，