彈

塑性力學崔杰（李亞東）土木工程學院/工程抗震中心

彈性力學

吳家龍等

36學時（8次課）

塑性力學引論

王仁等

北京大學出版社

8學時（2次課）

總復習（4學時、1次課）

考試（4學時、1次課）緒論第一章應力狀態理論第二章應變狀態理論第三章應力和應變關系第四章彈性力學問題的建立第五章平面問題的直角坐標解答第六章平面問題的極坐標解答第七章平面問題的復變函數解答第八章柱形桿的扭轉和彎曲第九章彈性力學方程的通解及其應用第十章熱應力第十一章彈性波的傳播第十二章彈性薄板的彎曲第十二章彈性力學的變分解法彈性力學的主要章節內容塑性力學要點和說明

目的：了解塑性力學基本概念和要點

評價：很重要的一門學科

特點：強調數學力學知識

內容：

1）基本概念：塑性（比例極限、彈性極限、屈服應力、硬化、軟化、包氏效應、加卸載）、粘性、脆性；

2）簡化模型：（骨架曲線）理想彈塑性模型、線性強化塑性模型、剛塑性模型；（加卸載模型）等向強化模型、隨動強化模型

3）π平面、屈服條件、屈服曲面、屈服曲面與π平面的關系及在π平面上的特點

4）屈服條件：Tresca屈服條件、Mises屈服條件、最大偏應力屈服條件（表達式、圖示、與簡單實驗的關系）

5）加載條件：加載條件、加載曲面（后繼屈服面）、等向強化模型、隨動強化模型；加載、卸載、中性變載（適用條件）

6）幾個假設：穩定材料假設、Drucker公設、伊留辛公設、三個公設的相互關系

7）公設的推論：加載面的外凸性、正交流動法則、增量（流動）理論、全量理論

程度要求：理解概念，會圖示。教材與主要參考書教材：《彈性力學》（上冊，第三版）吳家龍編同濟大學出版社參考書：《彈性理論》鐵木辛柯（Timoshenko）編科學出版社《彈性力學》徐芝綸編高等教育出版社《彈性力學學習方法及解題指導》王俊民編同濟大學出版社《彈性與塑性力學》（例題與習題）徐秉業編機械工業出版社《彈性理論基礎》陸明萬等編清華大學出版社力學學科分類·彈塑性力學81、學科分類

按運動與否分：靜力學：研究力系或物體的平衡問題，不涉及物體運動狀態的改變；如飛機停在地面或巡航。運動學：研究物體如何運動，不討論運動與受力的關系；如飛行軌跡、速度、加速度。動力學：研究力與運動的關系。如何提供加速度？9●按研究對象分：

◆一般力學：

研究對象是剛體。研究力及其與運動的關系。分支學科有理論力學等。◆固體力學：研究對象是可變形固體。研究材料變形、流動和斷裂時的力學響應。其分支學科有：

材料力學、結構力學、彈性力學、

塑性力學、彈塑性力學、斷裂力學、流變學、疲勞等。◆流體力學：研究對象是氣體或液體。涉及到：

水力學、空氣動力學等學科。10

按研究手段分：（理論分析、實驗和數值計算）

有實驗力學、計算力學二個方面的分支。

按應用領域分：有飛行力學、船舶結構力學、巖土力學、量子力學等。11

2、彈塑性力學

彈塑性力學是固體力學的一個重要分支學科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度變化等因素的影響而發生的應力、應變和位移及其分布規律的一門科學，是研究固體在受載過程中產生的彈性變形和塑性變形階段這兩個緊密相連的變形階段力學響應的一門科學。

應力、應力狀態12①、應力的概念:

受力物體內某點某截面上內力的分布集度13應力正應力切應力必須指明兩點：1.是哪一點的應力；2.是該點哪個微截面的應力。14應力狀態的概念：受力物體內某點處所取無限多截面上的應力情況的總和，就顯示和表明了該點的應力狀態◆應力的表示及符號規則正應力：切應力：第一個字母表明該應力作用截面的外法線方向同哪一個坐標軸相平行，第二個字母表明該應力的指向同哪個坐標軸相平行。彈性變形、塑性變形、本構方程15◆表明固體材料產生彈性變形或塑性變形時應力與應變，以及應力率與應變率之間關系的物性方程，稱為本構方程（關系）。◆大量實驗證實，固體受力變形時，應力與應變間的關系是相輔相成的。◆

固體材料在一定條件下，應力與應變之間各自有著確定的關系，這一關系反映著固體材料的客觀力學特性。16◆固體材料彈性變形具以下特點：①彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所做的功以能量（應變能）的形式貯存在物體內，當卸載時，彈性應變能將全部釋放出來，物體的變形得以完全恢復；②無論材料是處于單向應力狀態，還是復雜應力狀態，在線彈性變形階段，應力和應變成線性比例關系；③對材料加載或卸載，其應力應變曲線路徑相同。因此，應力與應變是一一對應的關系。17◆固體材料塑性變形具以下特點：①塑性變形不可恢復，所以外力功不可逆，塑性變形的產生必定要耗散能量（稱耗散能或形變功）。②在塑性變形階段，其應力應變關系是非線性的。由于本構方程的非線性，所以不能使用疊加原理。又因為加載與卸載的規律不同，應力與應變之間不再存在一一對應的關系，即應力與相應的應變不能唯一地確定，而應當考慮到加載路徑（或加載歷史）。③在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態稱彈性區，有的部分已進入了塑性狀態稱塑性區。在彈性區，加載與卸載都服從廣義虎克定律。但在塑性區，加載過程服從塑性規律，而在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，兩區域的分界面也會產生變化。④依據屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態。

緒論

研究對象和任務基本假設發展與工程應用§1.1

彈性力學的任務彈性力學

——也稱彈性理論是固體力學學科的一個分支（材料力學、結構力學、流體力學、塑性力學、粘性力學、連續介質力學等）

什么是彈性？（研究對象）1）基本屬性；2）“完全彈性”是對彈性體變形的抽象（理想模型）。完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應力和應變之間一一對應的關系。這種關系與時間無關，也與變形歷史無關。材料的應力和應變關系通常稱為本構關系；——物理關系或者物理方程線性彈性體和非線性彈性體基本任務——研究由于載荷或者溫度改變，彈性體內部所產生的位移、變形和應力分布等。——為解決工程結構的強度，剛度和穩定性問題作準備。研究對象——彈性體研究內容和基本任務與材料力學基本相同研究對象近似基本任務研究方法卻有比較大的差別本學科的（學習）目的——建立理論體系（描述、嚴謹性）、探討解決方法本學科的目的——熟知基本理論、學會解決的方法材料力學的研究對象是桿件，平面假設確定橫截面變形。——一維數學問題，求解的基本方程是常微分方程。彈性力學的研究對象是完全彈性體。只能從微分單元體入手，三維數學問題，綜合分析的結果是偏微分方程邊值問題。受力分析彈性力學的基本思路與研究方法241、彈性力學分析問題的基本思路

彈性力學與材料力學同屬固體力學的分支學科，它們在分析問題解決問題的基本思路上都是一致的，但在研究問題的基本方法上各不相同。其基本思路如下：25(1)受力分析及靜力平衡條件(力的分析)

對一點單元體的受力進行分析。若物體受力作用，處于平衡狀態，則應當滿足的條件是什么？（靜力平衡條件）(3)力與變形間的本構關系(物理分析)固體材料受力作用必然產生相應的變形。不同的材料，不同的變形，就有相應不同的物理關系。則對一點單元體的受力與變形間的關系進行分析，應滿足的條件是什么？（物理條件，也即本構方程。）(2)變形分析及幾何相容條件(幾何分析)材料是連續的，物體在受力變形后仍應是連續的。固體內既不產生“裂隙”，也不產生“重疊”。則材料變形時，對一點單元體的變形進行分析，應滿足的條件是什么？（幾何相容條件）262、彈性力學研究問題的基本方法◆材料力學研究問題的基本方法：選一維構件整體為研究對象變形前，在某表面繪制標志線；變形后，觀察總結構件表面變形的規律。做出平截面假設，經三方面分析，解決問題。a、研究方法較簡單粗糙；b、涉及數學理論較簡單；c、材料力學的工程解答一般為近似解。◆彈性力學研究問題的基本方法27以受力物體內某一點（單元體）為研究對象

單元體的受力——應力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關系——本構理論；

建立起普遍適用的理論與解法。1、涉及數學理論較復雜，并以其理論與解法的嚴密性和普遍適用性為特點；2、彈性力學的工程解答一般認為是精確的；3、可對初等力學理論解答的精確度和可靠進行度量。28提出問題，選擇有關的研究系統。對系統進行抽象與簡化，建立力學模型。利用力學原理進行分析、推理，得出結論與已知結論相比較，或由實驗進行驗證。確認或進一步改善模型，深化認識

3、工程力學一般研究方法

工程力學解決問題的一般研究方法類似于一般科學研究的普遍方法，可歸納為：常微分方程，數學求解沒有困難。偏微分方程邊值問題，在數學上求解困難重重，除了少數特殊問題，一般彈性體問題很難得到解析解。這里并不是說彈性力學分析不再需要假設，事實上對于任何學科，如果不對研究對象作必要的抽象和簡化，研究工作都是寸步難行的。研究方法的差別造成彈性力學與材料力學問題的最大不同。簡單性需要——工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數學推導的困難，將使得問題無法求解。可行性需要——根據問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設。使問題的研究限定在一個可行的范圍。嚴謹性需要——基本假設是學科的研究基礎。注意：超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研究。§1.2

彈性力學基本假設工程材料通常可以分為晶體和非晶體兩種。金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規則排列起來的空間格子構成，其中間經常會有缺陷存在。高分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內部的缺陷、夾雜和孔洞等構成了固體材料微觀結構的復雜性。§1.2基本假設21.連續性假設

——假設所研究的整個彈性體內部完全由組成物體的介質所充滿，各個質點之間不存在任何空隙。——變形后仍然保持連續性。根據這一假設，物體所有物理量，例如位移、應變和應力等均為物體空間的連續函數。微觀上這個假設不可能成立——宏觀假設。§1.2基本假設32.均勻性假設——假設彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變。——物體的彈性性質處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環氧樹脂基碳纖維復合材料，不能處理為均勻材料。§1.2基本假設43.各向同性假設——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質，這就是說物體的彈性常數將不隨坐標方向的改變而變化。

——宏觀假設，材料性能是顯示各向同性。當然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。——這些材料的研究屬于復合材料力學研究的對象。§1.2基本假設54.完全彈性假設——對應一定的溫度，如果應力和應變之間存在一一對應關系，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史無關，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學研究限于線性的應力與應變關系。研究對象的材料彈性常數不隨應力或應變的變化而改變。§1.2基本假設65.小變形假設——假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。——在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。——忽略位移、應變和應力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。§1.2基本假設7——假設物體處于自然狀態，即在外界因素作用之前，物體內部沒有應力。彈性力學求解的應力僅僅是外力或溫度改變而產生的。6.無初始應力假設§1.2基本假設8彈性力學的基本假設，主要包括彈性體的連續性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設等。這些假設都是關于材料變形的宏觀假設。彈性力學問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設。這些基本假設被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。§1.2基本假設9§1.3彈性力學的發展和研究方法彈性力學是一門有悠久歷史的學科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發現胡克定律。這一時期的研究工作主要是通過實驗方法探索物體的受力與變形之間的關系。

彈性力學的發展史近代彈性力學的研究是從19世紀開始的。柯西1828年提出應力、應變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律。柯西的工作是近代彈性力學的一個起點，使得彈性力學成為一門獨立的固體力學分支學科。§1.3發展與研究方法2柯西（A.L.Cauchy）而后，世界各國的一批學者相繼進入彈性力學研究領域，使彈性力學進入發展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉和彎曲的基本理論；§1.3發展與研究方法3圣維南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾瑞（G.B.Airy）發表了關于彈性力學的平面理論；1881年，赫茲建立了接觸應力理論；§1.3發展與研究方法4赫茲（H.Hertz）1898年，基爾霍夫建立了平板理論;1824年生於德國，1887年逝世。曾在海登堡大學和柏林大學任物理學教授，他發現了電學中的“基爾霍夫定理”，同時也對彈性力學，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻。§1.3發展與研究方法5基爾霍夫(G.R.Kirchoff)1930年，Гадёркин發展了應用復變函數理論求解彈性力學問題的方法等。另一個重要理論成果是建立種能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計算方法。許多科學家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻。中國科學家錢偉長，錢學森，徐芝倫，胡海昌,等在彈性力學的發展，特別是在中國的推廣應用做出了重要貢獻。§1.3發展與研究方法6錢偉長錢學森胡海昌§1.3發展與研究方法7徐芝倫楊桂通§1.3發展與研究方法8彈性力學——促進數學和自然科學基本理論的建立和發展；廣泛工程應用——造船、建筑、航空和機械制造等。發展——形成了一些專門的分學科；現代科學技術和工程技術——仍然提出新的理論和工程問題。對于現代工程技術和科研工作者的培養——對于專業基礎，思維方法以及獨立工作能力都有不可替代的作用。§1.3發展與研究方法9數學方法實驗方法二者結合的方法彈性力學的基本方程——偏微分方程的邊值問題，求解的方法有解析法和近似解法。解析法在數學上難度極大，因此僅適用于個別特殊邊界條件問題。近似解法對于彈性力學有重要意義。§1.3發展與研究方法11數值解法——計算機處理的近似解法。現代科學技術，特別是計算機技術的迅速發展和廣泛應用為基礎。有限元方法為代表的計算力學。以有限元為基礎的CAD,CAE等技術，使計算機不僅成為數值分析工具，而且成為設計分析工具。有限元方法以彈性力學為基礎，有限元方法將計算數學與工程分析相結合，極大地擴展和延伸了彈性力學理論與方法，取得了當代力學理論應用的高度成就。§1.3發展與研究方法12數值解法——計算機處理的近似解法。現代科學技術，特別是計算機技術的迅速發展和廣泛應用為基礎。有限元方法為代表的計算力學。以有限元為基礎的CAD,CAE等技術，使計算機不僅成為數值分析工具，而且成為設計分析工具。有限元方法以彈性力學為基礎，有限元方法將計算數學與工程分析相結合，極大地擴展和延伸了彈性力學理論與方法，取得了當代力學理論應用的高度成就。

發展與研究方法11建筑工程§彈性力學的應用建筑工程§1.1彈性力學任務5塔科馬海峽吊橋（TacomaNarrowsBridge）§彈性力學的應用航空航天工程§彈性力學的應用船舶機械工程§彈性力學的應用§1.1彈性力學任務8§彈性力學的應用§彈性力學的應用第二章應力狀態理論研究對象——三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡、幾何變形和本構關系等三方面的條件本章從靜力學觀點出發，討論一點的應力狀態，建立平衡微分方程和邊界條件。§2.1

體力和面力§2.2

應力和一點的應力狀態§2.3

與坐標傾斜的微分面上應力§2.4平衡微分方程應力邊界條件§2.5轉軸時應力分量的變換§2.6

主應力與應力主方向§2.7

最大切應力及方位§2.8

體積應力、八面體應力單元§2.9

應力邊界§2.1

體力和面力物體外力——分為兩類體力:重力、慣性力、電磁力

(N/m3)面力：風力、液壓力、接觸壓力(N/m2)體力和面力分別為物體單位體積或者單位面積的載荷。

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1

外力Chapter3.1

外力體力即分布在物體體積內部各個質點上的力，又稱為質量力。例如物體的重力、運轉零件的慣性力等。面力即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機機翼上的空氣動力、水壩所受的水壓力等。

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1

定義式體力：

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1

定義式面力：

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1

內力物體內部各個部分之間將產生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內力。內力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，是變形體力學研究的重要對象之一。應力的概念正是為了精確描述內力而引進的。

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1

應力應力矢量

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1若取為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應力，亦稱名義應力，常用于小變形情況。對于大變形問題，應取為變形后面元的實際面積，稱真實應力，簡稱真應力,也稱柯西應力。應力矢量：

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1應力的定義

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1

應力矢量的大小和方向不僅和M點的位置有關，而且和面元法線方向有關。

§2.1外力、內力與應力

作用在同一點不同法向面元上的應力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點且法線方向相同，則應力矢量也相同。

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1應力矢量和面力矢量的數學定義和物理量綱都相同。區別在于：應力是作用在物體內界面上的未知內力，而面力是作用在物體外表面的已知外力。當內截面無限趨近于外表面時，應力也趨近于外加面力之值。

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1正六面體微元:

外法線與坐標軸同向的三個面稱為正面，記為dSi，它們的單位法向矢量為i＝ei，ei是沿坐標軸的單位矢量；另三個外法線與坐標軸反向的面元稱為負面。

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1應力分量的正負號規定

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1應力分量的個數

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1x222x11131e1e2e3x3333213232112

§2.1外力、內力與應力Chapter3.1把作用在正面dSi上的應力矢量沿坐標軸正向分解得：即：x222x11131e1e2e3x3333213232112

§2.1外力、內力與應力§2.2應力與一點的應力狀態內力——外界因素作用下，物體內部各個部分之間的相互作用力(△F)。應力應力矢量隨截面的法線方向n的方向改變而變化應力狀態——一點所有截面應力矢量的集合。顯然，彈性體內某確定點各個截面的應力——應力狀態必然存在一定的關系。應力狀態分析——討論一點截面方位改變引起的應力變化趨勢。應力狀態對于結構強度是十分重要的。準確描述應力狀態，確定合理的應力參數。為了探討各個截面應力的變化趨勢，確定可以描述應力狀態的參數，通常將應力矢量分解。§2.2應力2應力矢量沿坐標分解

—沒有工程意義正應力和切應力正應力s

n與切應力tn

與結構強度關系密切根據截面方位不能完全確定切應力應力分量——應力張量應力張量可以描述一點應力狀態§2.2應力3應力張量簡化：x=1,y=2,z=3應該注意——應力分量是標量箭頭僅是說明方向,正負約定§2.2應力4應力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。

同一點由于截面的法線方向不同，截面上的應力也不同。

§2.3

與坐標傾斜的微分面上的應力N的方向余弦為設三角形ABC的面積為ΔS,則三角形BPC、CPA、APB的面積分別為lΔS、mΔS、nΔS,體積為ΔV因為上式可化為同理可得：§2.4平衡微分方程應力邊界條件平衡物體整體平衡，內部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點的平衡。微分平行六面體單元平衡微分方程§2.4平衡方程2切應力互等定理

§2.4平衡方程2邊界上的平衡--應力邊界條件

§2.4平衡方程2§2.5轉軸時應力分量的變換如果應力張量能夠描述一點的應力狀態，則應力張量可以描述其它應力參數；坐標變換與應力張量關系；最大應力及其方位的確定。公式表明：已知應力9個分量，可以確定任意方位微分面的應力矢量。當然可以確定正應力s

n與切應力tn。應力矢量與應力分量的關系§2.5應力狀態2應力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。同一點由于截面的法線方向不同，截面上的應力也不同。討論應力分量在坐標變換時的變化規律。§2.5應力狀態3§2.5應力狀態3xyzl1m1n1l2m2n2l3m3n3§2.5應力狀態3§2.5應力狀態3通過坐標軸輪換可得其余6個應力分量，詳見書本。任意斜截面的應力轉軸公式——應力分量滿足張量變化規則應力張量為二階對稱張量轉軸公式表明：新坐標系下的六個應力分量可通過原坐標系的應力分量確定。應力張量可以確定一點的應力狀態。坐標軸轉軸后，應力分量發生改變。但是作為整體所描述的應力狀態沒有變化。§2.5應力狀態4平面應力狀態轉軸公式——彈性力學以坐標系定義應力分量；材料力學以變形效應定義應力分量。 正應力二者定義沒有差異 而切應力定義方向不同§2.45應力狀態5§2.6主應力與應力主方向轉軸公式描述了應力隨坐標轉動的變化規律結構強度分析需要簡化和有效的參數——最大正應力、最大切應力以及方位主應力和主平面——應力狀態分析重要參數應力不變量——進一步探討應力狀態主應力和主平面主應力分析關于l，m，n的齊次線性方程組，非零解的條件為方程組的系數行列式等于零，即§2.6主應力2展開其中：主元之和代數主子式之和應力張量元素構成的行列式主應力特征方程§2.6主應力3應力狀態特征方程——確定彈性體內部任意一點主應力和應力主軸方向。主應力和應力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標軸的選取無關。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標軸的改變而變化的。I1、I2、I3

分別稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。§2.6主應力4特征方程有三個實數根s1，s2，s3分別表示這三個根，代表某點三個主應力。對于應力主方向，將s1，s2，s3分別代入和

l2+m2+n2=1則可求應力主方向。§2.6主應力5主應力和應力主方向取決于結構外力和約束條件，與坐標系無關。因此特征方程的三個根是確定的。特征方程的三個根，即一點的三個主應力均為實數。根據三次方程性質可以證明。任意一點三個應力主方向是相互垂直的——三個應力主軸正交的。應力不變量性質坐標系的改變導致應力張量各分量變化，但應力狀態不變。應力不變量正是對應力狀態性質的描述。§2.6主應力6不變性實數性正交性主應力正交性證明：下面證明下述結論：1.

若s1≠s2≠s3，特征方程無重根；

應力主軸必然相互垂直；2.

若s1＝s2≠s3，特征方程有兩重根；

s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三個應力主軸可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應力主軸。§2.6主應力7設s1，s2，s3

的方向分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），則

分別乘以l2，m2，n2

分別乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得§2.6主應力8如果

s1≠s2≠s33個應力主方向相互垂直如果

s1=s2≠s3可以等于零，也可以不等于零。s3與s1和s2的方向垂直，而s