第一章經典電動力學基礎

（電磁現象的普遍規律）1.1靜電場的方程式庫侖定律（Coulomb’slaw)Coulomb’slaw是描寫真空中兩個靜止的點電荷q’和q之間相互作用力的定律。其數學表達式為zxyoqq’疊加原理（principleofsuperposition)若空間存在n個電荷q1,q2···qn，這時任意一個電荷qj，受到其它所有電荷對它的作用力為電場強度（electricfield）電場強度被定義為電位電荷在場中所受的力。若電荷在場中某處受力，則該處的電場強度為庫侖定律告訴我們，一個點電荷周圍的電場分布為電場的疊加原理多個電荷同時產生的電場即一般地，引入電荷密度來描寫源的電量分布，它產生電場為zP(x,y,z)yox在源電荷為點狀分布時，電荷密度用函數表示靜電場所滿足的微分方程按高斯定理，有把單個電荷的電場公式代入右邊Gauss’theorem主要是討論電場強度的面積分，在點電荷場中，設s表示包圍著點電荷q的一個閉合面，為s上的定向面元，以外法線方向為正。a)如果點電荷q在s面內θSqrθSqrb)如果點電荷q在S面外，把S面分成兩部分，照明部分S2和陰影部分S1SqS1由此可得到結論：根據疊加原理，在點電荷系場中，則存在著如下形式：設q1,q2,···qk在S內，qk+1,qk+2,···qn在S外，則有這里q僅僅是封閉曲面S內的總電荷對于連續分布的電荷體系來說，則有因此，得到因為，體積分是任意取的，所以兩邊被積函數必須相等作為偏微分方程，只有此式不構成完備的方程組因此，我們計算電場強度的旋度。由斯托克斯定理知最后，我們根據以下兩個方程1.2靜磁場的方程式電流密度（Currentdensity)電流強度(Currentintensity)單位時間內垂直穿過導線橫截面的電量稱為電流強度，用I表示，顯然I與j的關系為電荷守恒(ConservationofCharge)對于封閉系統，總電荷保持不變。實驗表明電荷是守恒的。即一處電荷增加了，另一處的電荷必然減少，而且增加和減少的量值相等。若在通有電流的導體內部，任意找出一個小體積V，包圍這個體積的閉合曲面為S，并且假定電流從體積V的一面流入，從另一面流出。單位時間內穿過S曲面流出去的電量為而流出去的電量應該等于封閉曲面S內總電荷在單位時間內的減少量，即根據Gauss’theorem，有由于曲面S是任意選取的，所以被積函數恒為零，即這就是電荷守恒定律的數學表達式,也稱連續性方程。在穩定電流的情況下，由于，所以穩定電流條件為磁場（magneticfield)穩定電流周圍有靜磁場，同時磁場對電流有作用力。與靜磁場有關的規律有三點（1）處的電流元在處產生的磁場為（2）滿足疊加原理（3）磁場對電流的力密度為畢奧——薩伐爾定律（Biot-Savart’slaw)洛倫茲力公式磁場的散度和旋度式中是對場點微分，與源點無關，運用公式從而得到因為積分是對而言的，所以可以提到積分號外，故其中磁場的旋度這是磁感應強度滿足的一個微分方程先看右邊第一項運用公式得到因為對于穩恒電流，故有由于電流應全部包含在積分區域內，因而在邊界面上電流密度的法向分量應為零，即得到再看第二項利用最后得到至此，我們得到了靜磁場的兩個基本方程：1.3電磁感應定律變化磁場產生電場閉合線圈中的感應電動勢與通過該線圈內部的磁通量變化率成正比又由于感應電場的存在，則所以即由于S曲面是任意的，要使上式成立，除非是1.4麥克斯韋方程已有的電磁場方程分別在一定的條件下成立同時有電荷守恒方程與上面第四式矛盾對第四式求散度一般情況下不成立為了與電荷守恒方程兼容，應該修改第四式（磁場還有其他來源），修改為位移電流（displacementcurrent)為了不和電荷守恒矛盾，應當有因此，麥克斯韋把位移電流定義為修改以后得到方程組電荷守恒方程洛倫茲力1.5電磁作用下的能量守恒定理在既有電荷和電流，又有電磁和磁場的空間內取一個任意的封閉區域V。利用高斯定理后，可改成微分形式這是電磁作用下，能量守恒應該有的數學形式，下面我們證明此形式首先，有洛倫茲力公式導出電磁力的功率密度。磁力不做功由麥克斯韋第四方程得看右邊第一項，按代回上式電磁場的能量密度電磁場的能流密度1.6電磁作用下的動量守恒定理（略）1.7介質的電磁性質我們知道，無論什么介質，從微觀上看都是由帶正負電的粒子組成的集合，介質的存在相當于真空中存在著大量的帶電粒子，因此從這個角度看介質的存在本質上沒有什么特殊的地方。宏觀電動力學不是考察個別粒子產生的微觀電磁場，而是考察它們的宏觀平均值。由于介質在宏觀電磁場的作用下，將導致極化和磁化，即出現宏觀的電荷和電流，這些附加的電荷和電流也要激發電磁場，使原來的宏觀電磁場有所改變。所以在介質的極化和磁化過程中，電荷和電場、電流和磁場是互相制約的，介質的內部宏觀電磁現象就是這些電荷、電流分布和電磁場之間相互作用的結果。介質的極化（polarizationofdielectric)介質的極化說明介質對電場的反映，在有電場的情況下，介質中的正負電荷分別受到方向相反的作用力，因此正負電荷間的距離拉開了。另外，那些有極分子在電場作用下按一定方向有序排列，從宏觀上來看這兩種行為都相當于產生了一個電偶極矩。在電磁學中，曾引進了極化強度矢量：其中是第i個分子的電偶極矩，即,求和是對體積中所有分子進行的。極化強度P和電磁強度E的關系取決于介質的組分和熱力學狀態，難以有普遍適用的規律。經驗表明，在一般介質中，它們滿足簡單的線性關系，即

叫極化率，是介質中受極化影響后的場強介質的磁化（magnetizationofdielectric)原子和分子的磁性來自它的磁矩，磁矩則來自組分粒子的軌道運動和自旋，我們等效看作微觀環形電流，這種環形電流相當于一個磁偶極子。在沒有外磁場時，這些磁矩取向是無規則的，不呈現宏觀電流效應，一旦在外磁場作用下，環形電流出現有規則取向，形成宏觀電流效應，這就是磁化現象。在電磁學中，引入了磁化強度矢量，其定義為單位體積內的磁偶極子數，即在一般介質中，滿足簡單的線性關系1.8介質中的麥克斯韋方程電磁場可以極化和磁化介質，極化和磁化的介質也將影響電磁場。按照麥克斯韋方程，帶電系統對電磁場的影響是通過電荷和電流實現的。因此我們先分析極化和磁化引起的電荷分布和電流分布。若極化時正負電荷拉開的位移為，設介質分子密度為n，則通過面跑出去的正電荷數目為從面跑出去的電荷,于是通過任一封閉曲面跑出去的總電荷為+ql+q+q-q-q-qa)極化電荷體密度與極化強度的關系由于介質是電中性的，也等于V內凈余的負電荷，即因為式中V是S所包圍的體積，所以即b)極化電流密度與極化強度的關系當電場隨時間改變時，極化過程中正負電荷的相對位移也將隨時間改變，由此產生的電流稱為極化電流。極化電流和極化電荷也滿足連續性方程：c)極化電荷面密度與極化強度的關系因為在非均勻介質內部，極化后一般出現極化電荷。在均勻介質中，極化電荷只出現在介質界面上。在介質1和介質2分界面上取一個面元為，在分界面兩側取一定厚度的薄層，使分界面包圍在薄層內。介質1介質2通過薄層進入介質2的正電荷為，由介質1通過薄層下側面進入薄層的正電荷為因此薄層出現的凈余電荷為以為極化電荷面密度，則有得到a)磁化電流密度與磁化強度的關系由于磁化，引起介質內部環形電流有規則取向，呈現宏觀電流效應，這種由磁化引起的電流稱為磁化電流。設S為介質內部的一個曲面，其邊界線為L，環形電流通過S面有兩種情況:一種是在S面中間通過兩次的環形電流，為1、2、3，這種電流環對總電流沒有貢獻；而另一種是在S面中間通過一次的環流，如4、5、7，這種電流環對總電流有貢獻，但這種情形只能發生在邊界上。當然，在S面外的電流環8，對總電流同樣無貢獻。每一個環形電流貢獻為i或-i，在S面上一共有多少這種電流呢？LS87612345在邊界線L上取一線元，設環形電流圈的面積為，則由圖可見，若分子中心位于體積元的柱體內，則該環形電流就被所穿過。因此，若單位體積內分子數為n，則被邊界線L穿過的環形電流數目為此數目乘上每個環形電流i，即得從S背面流向前面的總磁化電流：以表示磁化電流密度，有所以故得b)磁化電流面密度與磁化強度的關系對于均勻介質，磁化后介質內部的為一常矢量。可見，即介質內部。但表面上卻有電流分布。為此，要引入面電流密度的概念。面電流實際上是靠近表面的相當多分子層內的平均宏觀效應，對于宏觀來說薄層的厚度趨于零，則通過電流的橫截面變為橫截線。面電流密度（或叫線電流密度）的大小定義為垂直通過單位橫截面（現在為線）的電流,它們方向即為該點電流的方向。現在來看兩介質交界面上的磁化電流分布情況。如圖所示的回路中，有介質2介質1即根據矢量分析則得到即又因為故得到由上述討論可知，介質存在時空間電荷包括自由電荷和極化電荷，即介質中出現的電流有傳導電流、極化電流、磁化電流。即因此，在介質存在的情況下，Maxwell’sequations應修改為：若令則得到1.9介質界面上的電磁規律大家知道,由于在外場作用下，介質分界面上一般出現一層束縛電荷和電流分布，這些電荷、電流的存在又使得界面兩側場量發生躍變，這種場量躍變是面電荷、面電流激發附加的電磁場產生的，描述在兩介質分界面上，兩側場量與界面上電荷、電流的關系，是本節的主要討論內容。然而，微分形式的Maxwell’sequations不能應用到兩介質的界面上,這是因為Maxwell’sequations對場量而言,是連續、可微的。只有積分形式的Maxwell’sequations才能應用到兩介質的分界面上，這是因為積分形式的Maxwell’sequations對任意不連續的場量適合。因此研究邊值關系的基礎是積分形式的Maxwell’sequations：1、法向分量的躍變（discontinuityofnormalcomponent)如圖所示，在分界面處作一個小扁平匣，匣的上下底面，分別位于界面的兩側，且，，三個面元平行，大小相等，ds為界面上被截出的面元，匣的高度h→0，用求矢量通過匣表面的通量。由于匣的高度h→0，所以通過側面的的通量也可以忽略不計，因此介質1介質2由于，即得或者其中是界面上的自由電荷面密度，及分別為0界面兩側的電位移矢量在面法線上的分量，的方向由介質1指向介質2。根據的關系，不難得到討論：a)對于兩種電介質的分界面，則得b)只有導體與介質交界面上，存在。這時、在法線上都不連續，有躍變。c)

對于磁場，把應用到邊界上的扁平匣區域上，