教學要求典型例題第十一章曲線積分與曲面積分1.理解兩類曲線積分的概念,了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.2.會計算兩類曲線積分.一、教學要求3.掌握格林(Green)公式,會使用平面曲線積分與路徑無關的條件.4.了解兩類曲面積分的概念及高斯Gauss)、斯托克斯(Stokes)公式,并會計算兩類曲面積分.1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標)(1)統一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終(一)曲線積分的計算法(1)利用積分與路徑無關的等價條件;(2)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(3)利用斯托克斯公式;(4)利用兩類曲線積分的聯系公式*.2.基本技巧1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)轉化二重積分(1)統一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關坐標面(二)曲線面積分的計算法P,Q,R以及它們的一階偏導數不連續的情況下,考慮通過投影化為二重積分處理.2.基本技巧(1)利用對稱性簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3)兩類曲面積分的轉化3.典型例題P,Q,R具有一階連續偏導數,用高斯公式.

解用參數方程,則L:P246總習題十一3(1)例1計算其中L為圓周x2+y2=ax.

(0t2).020xya

t

=2a2.二、典型例題

解2利用極坐標方程L:

=acos,

P246總習題十一3(1)例1計算其中L為圓周x2+y2=ax.

0xyacos=a2=2a2.a

例2

計算其中為曲線解因的方程中的x,y,z的地位完全對稱,利用輪換對稱性,有L關于xOz軸平面對稱,

y是L上關于y的奇函數0或a解1xy0L例3計算其中L是沿逆時針方向以原點為中心,a為半徑的上半圓周.x=acos,y=asin(0

),Γ的參數式方程為:0[a2

cos2

?asin

)(?asin

)+(a2

sin2

?acos

)acos]dB(a,0)解2L+ABxy0DABL例3計算其中L是沿逆時針方向以原點為中心,a為半徑的上半圓周.A(a,0)(x2y)dx+(y

2x)dyaax2

dx解3由(x2y)y=1知曲線積分與路徑無關,(x2y)dx+(y

2x)dyBAaax2

dx利用格林公式.添加輔助線AB如圖,PQ=(y2x)y,所以例4計算曲線積分,其中且取正向.Oxy當x2+y20時

,解L在D內作圓周l:x2+y2=1,取逆時針方向,l=2.由格林公式,有D=021D1例4計算曲線積分,其中且取正向.Oxy令x=2cos

,解Ly=sin,此定積分計算很復雜.02,21L閉曲線所圍成的區域D內包含奇點O(0,0),不能直接用格林公式.構造適當的閉曲線l挖去奇點.要求l上曲線積分易算.解z=cos+sin,x=cos,(:02

),則02[cos

(cos

+sin)+cos

cos取L的參數方程:

y=sin,02(sin

+cos)]d2011年數一例5設L是柱面x2+y2=1與平面z=x+y的交線,從z軸正方向往z軸負向看去為逆時針方向,則曲線積分=________.(sin

)0(sin

)]d=

.解P246總習題十一3(6)例6計算其中由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得,從z軸正方向看沿逆時針方向.在上有x2+2y2=1,故(0t2

).x=cost02例7

計算曲面積分其中,解:x2+y2+z2=R2

取外側.=4.利用高斯公式,有解2dxdyx2+y2R2

d=4.zdxdyx2+y2R2

利用對稱性,有解由高斯公式有P246總習題十一4(3)例8計算曲面積分其中

為半球面的上側.補1={(x,y,z)|z=0,

x2+y2R2

},取下側,+1構成封閉曲面,記所圍區域為,1xdydz+ydzdx+zdxdy3dxdydzxdydz+ydzdx+zdxdy=2

R3

.例9計算曲面積分其中為錐面z=(0zh)的外側.解作的輔助面1={(x,y,z)|z=h(h>0),

x2+y2h2

},取上側,+1構成封閉曲面,記所圍區域為,利用高斯公式,有(y2z)dydz+(z2x)dzdx+(x2y)dxdy0dxdydzx2+y2h2

0(x2y)dxdyh002

d2P246總習題十一4(2)(x2y)dxdyx2+y2h2

x2dxdy解例10計算曲面積分其中為錐面z=被平面z=1,z=2所截部分的外側.12作的輔助面1:

z=2,

x2+y24,取上側,2:z=1,

x2+y2

1,取下側,+1+2構成封閉曲面,記所圍區域為,利用高斯公式,有ydydzxdzdx+z2dxdy+1+21+22zdxdydz4dxdydxdyzdzx2+y24

dxdy12x2+y21

dxdyzz2dz15解2例10計算曲面積分其中為錐面z=被平面z=1,z=2所截部分的外側.(yzx+z2]dxdyxzy=

(x2+y2)dxdy1x2+y24

題設中的側與(zx,zy,1)相反取“”號.其中C曲線是從z軸正向看,C的方向是為順時針的.解例11

計算曲線積分Cz=2cos+sin,x=cos,(:20),則02[(2cos)(sin)+(2+2cos

sin)cos[1+2(sin

+cos)4cos2]d取C的參數方程=2

.

y=sin,02+(cos

sin

)(sin+cos)]d=2

1997年數一解例12計算曲面積分其中S是由曲面x2+y2=R2與兩平面z=R,z=R(R>0)所圍成立體表面的外側.1996數1xy

z0RRS1S2S3+x2+y2r2x2+y2r2平面S1:z=R(上側),

S2:z=R(下側),S3:

x2+y2=R2(外側).

解xy

z0

rrS1S2S3=8r2例12計算曲面積分其中S是由曲面x2+y2=R2與兩平面z=R,z=R(R>0)所圍成立體表面的外側.其中是以原點為中心,邊長為

a

的正立方體的整個表面的外側.解

利用對稱性.原式的頂部

取上側的底部

取下側例13

計算=3a3.1Σ2解例14計算其中為球面x2+y2+z2=a2被平面直線x+y+z=0所截的圓周.

于是因的方程中的x,y,z的地位完全對稱,所以解P246總習題十一3(5)例15計算曲線積分其中L為上半圓周(xa)2+y2=a2(y0),沿逆時針方向.xy0LAD(exsiny2y)dx+(excosy2)dy利用格林公式.0dx(excosyexcosy+2)dxdy=a2.

dxdy注: