1主要內容第四章周期信號的頻域分析連續周期信號的Fourier(傅里葉)級數及其基本性質連續周期信號的頻譜分析離散周期信號的Fourier(傅里葉)級數及其基本性質*基于Matalab軟件的周期信號頻譜的計算方法2

周期信號：給定連續信號f(t),若存在一個正常數T0,使得4.1連續周期信號的Fourier級數則稱f(t)為周期信號。滿足上式的最小T0稱為周期信號的基波周期。一、指數形式的Fourier級數將虛指數信號經過整數倍因子的尺度變換后，可得一組復信號

虛指數信號是周期信號,(

聯想單位圓)在(4.3)式中，n=0的項稱為信號的直流分量；

n=+1和n=-1的兩項的基波頻率都為f0，兩項之和稱為信號的基波分量或一次諧波分量；

n=+2和n=-2的兩項的基波頻率都為2f0，兩項之和稱為信號的2次諧波分量；

n=+N和n=-N的兩項之和稱為信號的N次諧波分量。由這些信號的線性組合構成的信號周期信號的Fourier級數：若一個連續周期信號可以表示為(4.3)的形式。Fourier級數的系數Cn可由{en(t)}的正交性求得。4.1連續周期信號的Fourier級數是一個周期為T0的信號。4根據{en(t)}的正交性，有因此，得：周期信號f(t)的Fourier級數和系數計算公式為：4.1連續周期信號的Fourier級數5結論:若f(t)為實函數，則指數Fourier級數展開式中的系數滿足4.1連續周期信號的Fourier級數二、三角形式的Fourier級數證明:64.1連續周期信號的Fourier級數二、三角形式的Fourier級數

注:(4.7)指出“當信號f(t)為實函數時，f(t)的Fourier系數是共軛偶對稱”。利用此性質，可進一步表示指數Fourier級數。注意到，上式中括號內兩項是共軛的，因此67將上式代入(4.11),得4.1連續周期信號的Fourier級數由于Fourier級數的系數Cn一般為復數，

記易知8公式(4-14)稱為三角形式的Fourier級數表示式。注:對實信號而言，兩種形式的Fourier級數是等效的；三角形式的Fourier級數的系數是實數；

分析時用指數形式的，數值計算時用三角形式的。4.1連續周期信號的Fourier級數8例4-1求圖4-1所示幅度為A、周期為T0、脈沖寬度為的周期矩形脈沖的Fourier級數表示式。解:在(4.6)中取則有4.1連續周期信號的Fourier級數圖4-1周期矩形脈沖因此，周期矩形脈沖信號的指數形式的Fourier級數為其三角形式的Fourier級數為4.1連續周期信號的Fourier級數10114.1連續周期信號的Fourier級數例4-2求圖4-2所示周期三角形脈沖信號的Fourier級數表示式。解:由圖4-2可知T0=2,所以圖4-2周期三角形脈沖

由f(t)

的波形知，C0=0。取t0=-1/2,則Fourier系數為f(t)在區間(-1/2,3/2)的表達式為124.1連續周期信號的Fourier級數因此，該信號的指數形式的Fourier級數為其三角形式的Fourier級數為1213Fourier級數的部分和為三、

Fourier級數的收斂條件1.f(t)在一個周期內絕對可積(軟Dirichlet條件)，即：周期信號f(t)的Fourier級數存在條件在能量意義下fN(t)收斂于f(t)是指4.1連續周期信號的Fourier級數2.f(t)在一個周期內不連續點的個數有限、極大值和極小值點的個數有限(強Dirichlet條件)14三、

Fourier級數的收斂條件注：在滿足以上兩個條件下，信號的Fourier級數收斂。且在信號的連續點處，Fourier級數收斂于信號真值；在信號不連續點處，Fourier級數收斂于左右極限的平均值。例如圖4-3所示。4.1連續周期信號的Fourier級數14154.1連續周期信號的Fourier級數圖4-3所示164.1連續周期信號的Fourier級數圖4-3所示164.1連續周期信號的Fourier級數四、信號的對稱性和Fourier系數的關系

周期信號的對稱性分為兩類。第一類：整個周期對稱性(例如，奇函數或偶函數)；第二類：前半周期和后半周期相同或成鏡像關系。下面，討論不同的對稱情況下，Fourier系數的性質。圖4-4偶對稱信號17周期為T0的偶對稱信號f(t),具有關系見圖4-4。4.1連續周期信號的Fourier級數四、信號的對稱性和Fourier系數的關系1偶對稱信號在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier級數的系數有

Fourier級數的系數Cn是實偶對稱的，且Cn=an/2。因此，注:實偶對稱信號的Fourier級數中只含直流項和余弦項。184.1連續周期信號的Fourier級數2奇對稱信號

周期為T0的奇對稱信號f(t),具有關系，見圖4-5。在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier級數的系數有圖4-5奇對稱信號194.1連續周期信號的Fourier級數2奇對稱信號

Fourier級數的系數Cn是純虛數，虛部是奇對稱的，且有Cn=-jbn/2。Fourier級數可簡化為

注：實奇對稱信號的Fourier級數展開式中只含正弦項。204.1連續周期信號的Fourier級數3半波重疊信號周期為T0的信號f(t),若具有關系，則稱為半波重疊信號。例如，圖4-6。易知，這種信號的基波周期T1=T0/2,對應的角頻率為圖4-6半波重疊信號214.1連續周期信號的Fourier級數3半波重疊信號取t0=0,則由(4.6)有注:半波重疊信號的Fourier級數中只有偶次諧波分量。但其可能既有正弦分量又有余弦分量。信號的Fourier級數可寫為224半波鏡像信號

周期為T0的信號f(t),

若具有關系，則稱為半波鏡像信號。例如，圖4-7。

構造周期為T0的信號f1(t),其在第一個周期內的值為圖4-7半波鏡像信號4.1連續周期信號的Fourier級數則由圖4-7可知,234半波鏡像信號因此,有注:半波鏡像信號的Fourier級數中只有奇次諧波分量。f1(t)的Fourier級數為4.1連續周期信號的Fourier級數則有其中24254.2連續時間Fourier級數的基本性質

設f(t)是周期信號，周期為T0,基波角頻率為f(t)和其Fourier系數Cn的對應關系記為

設f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號,其Fourier系數分別為1.線性特性則af(t)+bg(t)也是周期為T0的周期信號,且有注:上述結論可以推廣到多個具有相同周期的信號。264.2連續時間Fourier級數的基本性質

設f(t)是以T0為周期的周期信號,它Fourier系數為2.時移特性則f(t-t1)也是周期為T0的周期信號,且26274.2連續時間Fourier級數的基本性質例4-3求圖4-8(a)所示的周期信號的Fourier級數表示式。圖4-8例4-3的周期信號(a)(b)284.2連續時間Fourier級數的基本性質解:由圖4-8(a)可知信號的周期T0=2,基波角頻率由例4-1知根據g(t)=f(t-0.5)，以及Fourier級數的時移特性，有28294.2連續時間Fourier級數的基本性質設f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號,其Fourier系數分別為3.卷積特性周期信號的卷積x(t)=f(t)*g(t)定義為則信號x(t)也是周期為T0的周期信號,且Fourier系數分別為304.2連續時間Fourier級數的基本性質例4-4求圖4-9(a)所示的周期三角脈沖信號g(t)的Fourier級數表示式。圖4-9例4-4的周期信號(a)(b)30314.2連續時間Fourier級數的基本性質解:圖4-9(b)所示周期方波f(t)與自身的卷積恰好等于g(t)，即由例4-1可得f(t)的Fourier系數Cn為(見p118)由Fourier級數卷積特性可得g(t)的Fourier系數Dn為故g(t)的Fourier級數表示為324.2連續時間Fourier級數的基本性質

設f(t)是周期為T0的周期信號,其Fourier系數為4.微分特性則信號f(t)

的導數f’(t)

的Fourier系數為

若已知f’(t)的Fourier系數為則信號f(t)

的Fourier系數為而直流項可通過對f(t)

積分得到。4.2連續時間Fourier級數的基本性質周期信號Fourier級數還有一些其它性質，見表4-1(p128)。例如，33344.3連續周期信號的頻譜分析一、周期信號的頻譜概念已知周期信號f(t)可以分解為虛指數信號之和(即Fourier級數)其中，每個虛指數信號的頻率都是基波頻率的整數倍；系數Cn反映f(t)的Fourier級數中角頻率的虛指數信號的幅度和相位。

因此，系數Cn反映信號中各次諧波的幅度值和相位值。稱周期信號的Fourier級數的系數Cn為信號f(t)的頻譜。Cn可表示為如下形式，34354.3連續周期信號的頻譜分析

注：若f(t)為實信號，則f(t)的幅度譜為偶對稱，相位譜是奇對稱。(見(4.7)共軛偶對稱，p129)354.3連續周期信號的頻譜分析

例4-5

畫出周期信號的頻譜。

解：

由歐拉公式，f(t)可表示為因此信號的頻譜如圖4-10所示。4.3連續周期信號的頻譜分析圖4-10例4-5信號的頻譜37

若已知信號頻譜，則可由(4-39)重建信號。頻譜提供了另一種描述信號的方法-----信號的頻譜描述。4.3連續周期信號的頻譜分析

信號的時域描述和頻域描述是從不同角度展現了信號的特征。也是分析和研究信號的基礎。頻譜圖中的負頻率不表示存在一個有物理意義的概念與之對應，在處頻譜只是表示在信號的Fourier級數中存在虛指數項。4.3連續周期信號的頻譜分析

例4-6

畫出例4-1所給周期矩形脈沖信號的頻譜圖。解：

f(t)在一個周期內可表示為其Fourier系數為f(t)的幅度、相位頻譜圖見圖4-11。(…)圖4-11周期矩形脈沖信號的頻譜注：當Cn為實數時頻譜圖只需一幅；當Cn為復數時頻譜圖需要兩幅。39404.3連續周期信號的頻譜分析

周期信號的頻譜都是由間隔為的譜線組成，表現為離散頻譜特征。不同的周期信號，其頻譜分布的形狀不同，都是以基頻為間隔的離散頻譜。1、離散頻譜特性

頻譜的幅度表示了周期信號f(t)中各頻率分量的大小。當周期信號隨著頻率的增加，幅度頻譜逐漸衰減，并最終趨于零。（幅度衰減特性）2、幅度衰減特性414.3連續周期信號的頻譜分析結論：當f(t)在斷點的幅度是有界時，|Cn|按1/n的速度衰減；當f(t)連續而一階導數不連續時，|Cn|按1/n2的速度衰減；當f(t)前

k-1

階導數連續而k階導數不連續時，|Cn|按1/nk+1的速度衰減。(分析Fourier級數中各次諧波)41424.3連續周期信號的頻譜分析二、相位譜的作用

周期信號的頻譜由幅度譜和相位譜組成。信號的相位譜在信號f(t)的合成過程中起著和幅度譜同等重要的作用。

為了使合成的信號在不連續點有瞬時的跳變,諧波的相位將使得各諧波分量的幅度在不連續點前幾乎取相同的符號，在不連續點后取相反的符號。這樣各次諧波合成的結果才能使信號f(t)在不連續點附近存在急劇變化。例如圖4-12所示的周期方波信號，其Fourier級數為434.3連續周期信號的頻譜分析434.3連續周期信號的頻譜分析圖4-12相位譜對周期信號波形的影響45

圖4-12畫出了Fourier級數最低的三個諧波分量的波形。各諧波分量在t=1前各諧波分量的幅度為正，t=1后各諧波分量的幅度為負，其他不連續點情況也是類似的。所有諧波幅度的這種符號變化產生的影響加在一起就產生了信號的不連續點。4.3連續周期信號的頻譜分析

相位譜對信號中急劇變化點的位置起著重要作用。(如果在重建信號時忽略了相位譜，則重建的信號就會模糊或失去信號原有的特征)。45

從周期信號脈沖信號的頻譜(圖4-11)可見，其頻譜包絡線每當時，即時，通過零點，其中第一個零點在處，此后諧波的幅度逐漸減小。周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度：包含主要諧波分量的頻率范圍(也稱有效頻帶)。記為(單位rad/s)或(單位Hz),即4.3連續周期信號的頻譜分析三、信號的有效帶寬4.3連續周期信號的頻譜分析三、信號的有效帶寬

信號的有效帶寬是信號頻率特性中的重要指標，在信號的有效帶寬內集中了信號絕大部分諧波分量。

任何系統也有其有效帶寬。當信號通過系統時，信號與系統的有效帶寬必須“匹配”。若信號的有效帶寬大于系統的有效，則信號通過系統后會損失一些重要成分而產生失真。若信號的有效帶寬小于系統帶寬，則信號可以順利通過，但對系統資源有可能浪費。474.3連續周期信號的頻譜分析四、周期信號的功率譜

周期信號是功率信號，周期信號f(t)在1歐姆電阻上消耗的平均功率為：將f(t)的Fourier級數

其中T0為周期信號f(t)的周期。代入上式，得484.3連續周期信號的頻譜分析四、周期信號的功率譜上式稱為Parseval(帕什瓦爾)功率守恒原理。494.3連續周期信號的頻譜分析

|Cn|2隨變化分布的特性稱為周期信號的功率頻譜(功率譜)。(4-44)表明周期信號的平均功率可以在頻域中用Fourier級數的系數來確定。注意到，因此有

可見，周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。

周期信號的功率譜也為離散頻譜。從功率譜不僅可以看到各諧波的功率的分布情況，也可確定周期信號的有效帶寬內諧波分量具有的平均功率占整個周期信號的平均功率之比。50

例4-7試畫出圖4-1所示周期矩形脈沖信號的功率譜，并計算在其有效帶寬內諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中解：由例4-1可知，周期矩形脈沖的Fourier系數為4.3連續周期信號的頻譜分析將代入上式得514.3連續周期信號的頻譜分析因而，周期矩形脈沖信號的功率譜如圖4-13所示。信號的平均功率為

而包含在內的各諧波平均功率之和為兩者之比為P1/P2=90%，用不大于4次的各次諧波之和來近似該周期信號，可以達到較高的精度。52圖4-13例4-7周期矩形脈沖信號的功率譜4.3連續周期信號的頻譜分析534.4*離散Fourier級數

周期為N的周期序列f[k]可分解為N項虛指數序列的線性組合，即：一、周期序列的離散Fourier級數上式稱為周期序列f[k]的離散Fourier級數(DFS)表示，其中F[m]為周期序列的DFS系數。利用虛指數序列正交性，可得DFS系數為54其中，k=<N>和m=<N>表示對周期序列的一個周期求和。4.4*離散Fourier級數DFS系數F[m]也是一個周期為N的序列。由于周期序列在一個周期內的求和與起點無關，因此周期序列的DFS和IDFS可寫為：55

例4-8求周期序列的DFS系數F[m]。

由f[k]或F[m]可完全描述一個離散周期信號。f[k]是周期序列的時域表示，F[m]是周期序列的頻域表示。周期序列DFS和IDFS的物理意義是：“任一周期為N的序列都可以分解為N個虛指數信號的線性組合，不同的周期序列只是對應不同的DFS系數F[m]”。4.4*離散Fourier級數

解：f[k]的周期為N=12。由Euler公式因此，該周期序列的DFS系數為564.4*離散Fourier級數由于F[m]的周期為N=12，上式還可以表示為圖4-14周期余弦序列的DFS系數圖4-14畫出了該序列的DFS系數。574.4*離散Fourier級數

例4-9求圖4-15所示周期矩形波序列的DFS系數。