將傅立葉變換的概念引入光學，從“空域”走向“頻域”理解成象過程。

O(x1,y1)

F(O(x2,y2))i(x3,y3)

第二節傅里葉變換光學

考察一個被稱作4f系統的成像光路。從幾何光學看，這是一個簡單的光學成像系統，P1平面上的物體經過透鏡L1和L2成像在P3平面上。根據系統的光學參數，得知所成的像放大率為-1。P1P2P3ffffL1

L2

1、4f系統

從波動光學看，4f系統是一個光學變換系統，其變換是通過透鏡的傅里葉變換功能實現的。若從（X1,Y1)平面出射的光波復振幅是o(x1，y1)，則在（X2,Y2)平面上光的復振幅f(x2，y2)

就是o(x1，y1)的傅里葉變換，而在（X3,Y3)平面光的復振幅分布i(x3，y3)則又是f(x2，y2)的傅里葉變換。第二節傅里葉變換光學

在上述系統中，只要將L3后焦平面取反坐標，就可以實現對f(fx,fy)的傅里葉逆變換；如L3后焦平面不取反坐標，則可以實現對f(fx,fy)

的傅里葉變換。即在L3后焦平面取反坐標的情況下，L3后焦平面上獲得與物平面的物是一致的。（實際上是上下左右相反）。在4f系統中，無平面稱作輸入平面，像平面稱作輸出平面，L1的后焦面或L2的前焦面稱作頻譜面。上述過程可以表示成數學過程：第二節傅里葉變換光學

1、4f系統

考慮到透鏡孔徑影響，4f系統成像過程中，透鏡的傅里葉變換的嚴格推導是：第二節傅里葉變換光學

1、4f系統①物光波從透鏡L1前焦面到透鏡的傳播②透鏡L1的位相變換

③從透鏡L1到后焦面1、4f系統③從透鏡L1到后焦面1、4f系統1、4f系統物理意義：透鏡孔徑輸入圖像ab圖像頻譜傳遞函數輸出頻譜截至頻率：④從透鏡L1到后焦面到L2后焦面（系統輸出平面）1、4f系統一般把稱作系統的脈沖響應稱作系統的傳遞函數2、空間濾波器

在光學信息處理系統中，空間濾波器是位于頻譜平面上的一種模片，它改變輸入信息的空間頻譜，從而實現對輸入信息的某種變換。空間濾波器的透過率函數一般是復函數：

根據透過率函數的性質，空間濾波器可以分為以下幾種：

1）二元振幅濾波器

3）相位波波器

2）振幅濾波器

4）復數波波器

第二節傅里葉變換光學

1）二元振幅濾波器這種濾波器的復振幅透過率是0或1①低通濾波器，它只允許位于頻譜面中心及其附近的低頻分量通過，可以用來濾掉高頻噪音。如印刷的照片有點狀結構，可用低通濾波器去掉。②高通濾波器，它阻擋低頻分量而允許高頻通過，可以實現圖像的襯度反轉或邊緣增強。2、空間濾波器

第二節傅里葉變換光學

④方向濾波器，它阻擋〔或允許〕特定方向上的頻譜分量通過，可以突出某些方向性特征，檢查集成電路掩膜時，因為集成電路的圖形都是由一些規則的、互相垂直的矩型線段組成，因此它的頻譜分布在X、Y軸的附近。而弊病的譜則是無規則分布的，用方向濾波器就可以突出噪音的譜，顯出弊病的所在位置。③帶通濾波器，它只允許特定區間的空間頻譜通過，可以去除隨機噪音。2、空間濾波器

第二節傅里葉變換光學

2）振幅濾波器

這種濾波器僅改變各頻率成分的相對振幅分布，而不改變其相位分布。通常是使感光膠片上的透過率變化正比于，從而使透過光場的振幅得到改變。為了作到這一點，必須按一定的函數分布來控制底片的曝光量分布。

2、空間濾波器

第二節傅里葉變換光學

3）相位波波器

它只改變空間頻譜的相位，不改變它的振幅分布。由于不衰減入射光場的能量，具有很高的光學效率。這種濾波器通常用真空鍍膜的方法得到，但由于工藝方法的限制，要得到復雜的相位變化是很困難的。

4）復數波波器

這種濾波器對各種頻率成分的振幅和相位都同時起調制作用，濾波函數是復函數。它的應用很廣泛，但難于制造。1963年范彼拉格特用全息方法綜合出復數空間濾波器，1965年羅曼和布勞恩用計算全息技術制作成復數濾波器，從而克服了制作空間濾波器的重大障礙。

2、空間濾波器

第二節傅里葉變換光學

3、空間濾波設在平譜面設置濾波器則濾波后的光場

這樣，在輸出平面上得到兩個函數乘積的傅里葉變換，或兩個函數乘積的傅里葉逆變換（在采用的反演坐標系下），輸出平面光場的復振幅分布為

是的逆傅里葉變換，稱為濾波器的脈沖響應。從頻域來看，通過乘法運算，系統改變了輸入信息的空間頻譜結構，這就是空間濾波或頻域綜合的含義；從空域來看，系統實現了輸入信息與濾波器脈沖響應的卷積，完成了所期望的一種變換。

第二節傅里葉變換光學

1、阿貝成像理論（1873年）阿貝研究顯微鏡成像問題時，提出了一種不同于幾何光學的新觀點，他將物看成是不同空間頻