2狀態方程的求解本章是通過求解系統方程的解來研究系統性能的。由于系統的狀態方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數方程。因此，只要求出狀態方程的解，就很容易得到系統的輸出，進而研究系統的性能。本章內容為1線性定常系統齊次狀態方程的解2狀態轉移矩陣3線性定常系統非齊次狀態方程的解4線性時變系統的運動分析5線性系統的脈沖響應矩陣8用MATLAB求解系統方程6線性連續系統方程的離散化7線性離散系統的運動分析2.1線性定常系統齊次狀態方程的解線性定常系統齊次狀態方程為（1）（2）先考察標量齊次微分方程的冪級數解法假設其解為一冪級數（3）將（3）式代入（2）式這時系統的輸入為零等式兩邊t

的同次冪的系數相等，因此有而因為則解為（4）模仿標量齊次微分方程的解法，假設線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式等式兩邊t

同次冪的系數相等，因此有而記作則線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（6）則（7）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗證和矩陣指數函數又稱為狀態轉移矩陣，記作由于系統沒有輸入向量，是由初始狀態激勵的。因此，這時的運動稱為自由運動。的形態由決定，即是由矩陣A

惟一決定的。2.2狀態轉移矩陣線性定常系統齊次狀態方程的解為或其幾何意義是：系統從初始狀態開始，隨著時間的推移，由轉移到，再由轉移到，……。的形態完全由決定。2.2.1狀態轉移矩陣的基本性質1）即2）即3）可逆性即4）傳遞性即5）當且僅當時，有如果時，則狀態轉移矩陣的基本性質1）2）3）4）5）當且僅當AB=BA時狀態轉移矩陣的基本性質1）2）3）4）5）當且僅當AB=BA時狀態轉移矩陣的基本性質1）2）3）4）5）當且僅當AB=BA時2.2.2狀態轉移矩陣的求法方法1

根據定義，計算方法2

應用拉普拉斯變換法，計算對上式求拉普拉斯變換，得如果為非奇異（9）LL（10）由微分方程解的唯一性L例2-2

線性定常系統的齊次狀態方程為求其狀態轉移矩陣解于是L方法3

應用凱萊-哈密頓定理，計算凱萊-哈密頓定理：矩陣A

滿足自身的特征方程。即根據凱萊-哈密頓定理（11）例用凱萊-哈密頓定理計算解由凱-哈定理：所以（11）式表明：是、、、、的線性組合（12）將（11）式代入（12）式，不斷地進行下去，可以看出：、、、都是、、、、的線性組合（13）其中，，為待定系數。的計算方法為：1）A的特征值互異應用凱-哈定理，和都滿足的特征方程。因此，也可以滿足（13）式。（其中，）寫成矩陣形式（14）于是（15）例2-3

線性定常系統的齊次狀態方程為用凱-哈定理計算其狀態轉移矩陣解即2）A的特征值相同，均為（16）3）A的特征值有重特征值，也有互異特征值時，待定系數可以根據（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出狀態轉移矩陣求系統狀態轉移矩陣。例2-4

線性定常系統齊次狀態方程為解應用凱-哈定理計算A

的特征值為于是狀態轉移矩陣方法4

通過線性變換，計算因為而因為對角陣的特殊性質，有：1）矩陣A

可以經過線性變換成為對角陣，計算因此，狀態轉移矩陣為例2-5

線性定常系統的齊次狀態方程為用線性變換方法，計算其狀態轉移矩陣解（17）2）矩陣A

可以經過線性變換成為約當形陣，計算狀態轉移矩陣為（18）3）矩陣A

可以經過線性變換成為模態形陣，計算如果矩陣A的特征值為共軛復數經過線性變換，可轉換為模態矩陣M其中系統狀態轉移矩陣為（19）2.3線性定常系統非齊次狀態方程的解線性定常系統非齊次狀態方程為（20）改寫為（21）（21）式兩邊同乘得或寫成（22）對（22）式在0

到t

時間段上積分，有（23）（24）（24）式兩邊同乘，并且移項（25）（26）（27）更一般情況，當（28）由式（25）或式（27）可知，系統的運動包括兩個部分。一部分是輸入向量為零時，初始狀態引起的，即相當于自由運動。第二部分是初始狀態為零時，輸入向量引起的，稱為強迫運動。正是由于第二部分的存在，為系統提供這樣的可能性，即通過選擇適當的輸入向量，使的形態滿足期望的要求。例2-8

線性定常系統的狀態方程為解在例2-2中已經求得由（26）式例2-8

用拉氏變換法求解例2-8

用拉氏變換法求解系統的輸出方程為則或（29）可見，系統的輸出由三部分組成。當系統狀態轉移矩陣求出后，不同輸入狀態向量作用下的系統輸出即可以求出，進而就可以分析系統的性能了。例2-8

求連續狀態方程的解2.6線性連續系統方程的離散化作以下假定：1）被控對象上有采樣開關；2）采樣周期為T，滿足香農采樣定理要求，包含連續信號全部信息；3）具有零階保持器。2.6.1線性時變系統（56）初始狀態為狀態方程的解為（57）令，，則（58）（59）再令，，則將（59）式兩邊都左乘（60）（58）減（60）并且整理后，得到令：考慮到于是省略T，得到（61）輸出方程離散化，令，即可以得到（62）2.6.2線性定常系統（63）離散化后得到（64）其中例2-8

求連續狀態方程的離散化例2-8

連續狀態方程離散化后求解2.7線性離散系統的運動分析2.7.1線性定常離散系統齊次狀態方程的解系統的齊次狀態方程為：其中，x(k)為n維狀態向量采用迭代法可以求出系統齊次狀態方程的解（65）其中（66）系統的輸出為（67）2.7.2狀態轉移矩陣若系統初始狀態為，通過將其轉移到狀態，故稱為狀態轉移矩陣。1.的基本性質1）滿足自身的矩陣差分方程及初始條件2）傳遞性3）可逆性2.狀態轉移矩陣的計算有4種狀態轉移矩陣的計算方法：①按定義計算；②用z反變換計算；③應用凱-哈定理計算；④通過線性變換計算。在此，我們僅討論用z反變換計算。離散系統的齊次狀態方程為：對上式進行z變換Z可見Z（68）例2-13

離散系統齊次狀態方程為求狀態轉移矩陣解Z2.7.3線性定常離散系統方程的解（69）系統方程為可以用迭代法求系統狀態方程的解系統方程的解為（70）系統的輸出為（71）2.7.3線性定常離散系統方程的解（69）系統方程為可以用z變換法求系統狀態方程的解例2-13

離散系統狀態方程為求解狀態方程解例2-13

離散系統狀態方程為2.8用MATLAB求解系統方程2.8.1線性齊次狀態方程的解使用MATLAB可以方便地求出狀態方程的解。我們通過例子來說明。例2-16

已知線性系統齊次狀態方程為初始條件求系統狀態方程的解。解用以下MATLAB程序計算齊次狀態方程的解，其中collect()函數的作用是合并同類項，而ilaplace()函數的作用是求取拉普拉斯逆變換，函數det()的作用是求方陣的行列式。程序執行結果這表示2.8.2線性非齊次狀態方程的解通過以下例子說明。例2-17

已知系統狀態方程為解用以下MATLAB程序求系統方程的解。其中，語句phi=subs(phi0,’t’,(t-tao))表示將符號變量phi0中的自變量t用(t-tao)代換就構成了符號變量phi，而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號變量F對tao在0到t的積分區間上求積分，運算結果返回到x2。程序執行結果為這表示2.8.3連續系統狀態方程的離散化在MATLAB中，函數c2d（）的功能就是將連續時間的系統模型轉換成離散時間的系統模型。其調用格式為：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，輸入參量sysc為連續時間的系統模型；T為采樣周期（秒）；method用來指定離散化采用的方法。‘zoh’——采用零階保持器；‘foh’——采用一階保持器；‘tustin’——采用雙線性逼近方法；‘prewarm’——采用改進的tustin方法；‘mat