初、高中數學銜接

問題研究連春興我準備與大家交流三個問題：一、初高中不銜接原因分析二、數學后進生成因分析三、初中教師應該具備怎樣的數學素養(yǎng)一、初高中不銜接原因分析高一新生不適應高中數學的學習，大量產生高一數學差生，兩極分化嚴重，這是一個長期困擾教師的問題.經過我多年的觀察，它涉及的因素很多，現(xiàn)羅列幾個，不全、不對處請各位老師指正。1不當的數學觀經過初中三年、特別是中考前的強化訓練，學生普遍認為，數學由公式、概念、定理組成，背好公式，大量做題就行了.而對數學知識背后所蘊含的思想方法，如函數與方程、劃歸、數形結合、隨機、統(tǒng)計等數學思想，知之甚少。如用一個定長的鐵絲做一個矩形，邊長多少時，面積最大？把函數思想方法分解：定一個邊長，得一個面積----對應思想；用解析式刻畫-------建模思想；配方求最大值-------優(yōu)化思想；有沒有最小值-------極限思想。如果這個過程，被一個頂點坐標公式所替代-----學生絕對不會去欣賞數學，也不會解決了這個問題后，驕傲的認為自己能力的精進，一定把數學看成是公式的組合，自己只不過是套了一步公式而已。2不良習慣有一批學生認為，自己在初中時，初一、二雖然沒好好念，初三最后幾個月拼一把，就考上了高中。讀高中不過如此，高三再下功夫。結果因為初、高中課堂知識容量、難度等方面的差異，想法落空。這從一個角度反映出初中吃不飽，高中吃不了問題嚴重。3初高中數學知識對思維水平的要求差異初中：抽象思維水平以“經驗型”占主導；高一：抽象思維水平從“經驗型”占主導，逐步過渡、發(fā)展到“理論型”占主導。主要表現(xiàn)在邏輯思維、空間想象、符號系統(tǒng)的準確運用等。高中數學相比初中數學，對同學們理性思維水平的要求，可謂爬了一個“陡坡”。思維水平的神奇發(fā)展，不是天上掉下來的，需要“客觀”的引導，更需要“主觀”的努力，相當一部分學生過渡的不好。學習困難集中表現(xiàn)在高一數學的學習上。4初高中學習環(huán)境的差異高中是非義務教育階段，教師的管理一般沒有初中老師“細”，更多時候靠自覺，靠學習主動性。初中課堂教學一般知識容量小，有時間重復練習，所以，對不理解的知識依靠記憶、模仿訓練，可以過關。學高中數學雖然還離不開記憶與模仿，但更需要“深入理解”。升入高一后，課堂教學容量、知識難度，與初中教學相比，是一個大的飛躍。一方面，重復練習時間比初中少；另一方面，即使重復練習也不如初中管用。由此導致許多同學不適應。我們把“用結論”喻為“打槍”，把“推導結論”喻為“造槍”，在初中階段，如果學習標準不高，憑著會“打槍”，也許能考一個過得去的成績。但要學好高中數學，能熟練的“打槍”固然重要，更需要的卻是富于創(chuàng)意的“造槍”。譬如配方法，在用它造出“一元二次方程求根公式”和“二次函數圖象的頂點坐標公式”這兩把“槍”后，學生就把關注點放在了“打槍”上，卻把“造槍過程”束之高閣了。而高中則必然，“造槍”能力的考查比比皆是。運用該定理如何“造槍”？5初高中技能要求的差異如十字相乘方法因式分解；運用韋達定理解決問題；等。二、數學后進生成因分析高一出現(xiàn)大量后進生，固然有上述主觀與客觀方面的原因。但在學生的學習過程中，一個學生，從上小學到高中十年，即使不在初高中銜接階段，也有許多學習后進生出現(xiàn)。這些后進生，我們可以說出許多差，如：學習基礎差------

很多學習新知需要的知識是空白；解題技能差-------簡單問題不知從哪里下手；學習方法差--------不會聽課，不會問問題；學習習慣差------貪玩，不愛動腦筋，不及時寫作業(yè)…；等等。其實，對一個有良好學習愿望的同學來說，他核心的差應該表現(xiàn)在對基礎知識理解不到位而產生的思維活動的盲目性上，即“不會想”。在數學差生形成過程中，我們往往：采取“補課”，希望解決學習基礎差；通過大量“練題”，希望解決解題技能差；但這樣的補課有一個致命的弊端，就是“強化技能，忽視理解”（社會上各種“強化班”大多沒有擺脫這個弊端）。

我們在教學中，如果不能糾正“強化技能，忽視理解”的教學弊端，就難以解決學生“不會想”的問題。下面通過一組題目對學生“程序性操作水平與理解層次”的考查，看解題教學中，如何讓學生在親身參與，學會思考。三、初中教師應該具備怎樣的數學素養(yǎng)大家都知道教書的“一杯水”與“一桶水”的關系，要教會學生“想”，如何積累“一桶水”？在初高中銜接的困難中，來自代數方面的困難更嚴重，所以，我就幾個代數問題談談我的理解。1．如何認識字母表示數？其實，字母表示數還有兩個重要作用：其一，設而必求----設未知數，尋求等量關系，列方程，求未知數；其二，設而不求----為方便，設未知數表示某些量，最終的求解與未知數無關。本題如何解決才是合理的教學過程？那就是，應該把“用字母表示數”當成策略性知識來教。什么是平均速度？是（10+15）/2嗎？非，應為“行駛總路程÷行駛總時間”.那么它們總路程、總時間如何表示？“用字母表示數”又成無奈中被迫選擇的策略，因為只有設出單程，才能表示時間。教學中要注意挖掘數學的美育元素，觀察不難發(fā)現(xiàn)“a”在功成后隱退，不留名份的情操時，則對“用字母表示數”的解題策略理解更深刻，更樂于運用，甚至體會到“用字母表示數”的優(yōu)越，生成對知識、策略初步的評價意識。2．如何認識數軸與平面直角坐標系？從功能看它們的核心作用在于給一維、二維空間的點定位，為解析幾何奠基；從數學發(fā)展的需求看，當數字較少時（如只有正整數時）把數串起來的作用、意義不明顯。但初一學了有理數以后，把數找一個從小到大的模型串起來，就很直觀方便，類似于“糖葫蘆”，好拿、好看、好吃。從高中學習的需求看，如果學生情況容許，解決下面問題對高中進一步學習是有益的。例2（1）在平面上一個動點的坐標是（x，3）,另一個動點的坐標是（2，y），這兩個動點軌跡是什么？是否有公共點？如有坐標是什么？（2）在平面上一個動點的坐標總相等，動點的軌跡是什么？動點的坐標總相反呢？3．如何認識“絕對值”把“絕對值”和“距離”聯(lián)系起來，不僅直觀解決了絕對值非負的問題，還使后續(xù)學習深深受益，解決如下問題易如反掌。例3.（1）求函數y=︱x-2︱的最小值；（2）若︱x+2︱+︱x-3︱是常數，求x的取值范圍。（3）若A(a,3),B(b,3),求AB長。4.如何認識無理數無理數是超越現(xiàn)實的理性思維的產物，古希臘有一個著名的數學學派——畢達哥拉斯學派認為世界上只有整數和分數，任何線段的長度都可以用兩個整數的商表示出來，但他的學生希帕蘇斯卻發(fā)現(xiàn)了正方形的對角線是個例外。課堂上，我們不可能重復前人的發(fā)現(xiàn)，但我們可以在無理數的教學中，滲透理性精神。（5）這樣的數如此之多，有必要分成一類。如果把有限小數(循環(huán)節(jié)為0)和無限循環(huán)小數都視為無限循環(huán)小數，那么我們學過的數就可分為兩類：我們既然稱無限循環(huán)小數為有理數，就可稱無限不循環(huán)小數為無理數，它們統(tǒng)稱實數。有了實數，才建立了數軸上任意點與實數之間的一一對應，否則數軸千瘡百孔。5.如何認識比例與方程組6.如何認識因式分解把代數式“和差化積”，是乘法的逆向變形，其主要目的有二：（1）約分、化簡；（加減法不能約分）（2）解方程，找函數零點。從目的不難看出因式分解的的重要，特別是分解二次三項式，不論教材、課標如何定位，高中數學絕對離不開。建議分兩個層次掌握十字相乘方法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd7.如何認識一元二次方程的判別式8.如何認識韋達定理(1)對稱與和諧挖掘數學美感，是激發(fā)學生學習興趣，提升學習效率，增強美育熏陶的重要舉措，通常提數學美感，考慮“形”的方面多一些，考慮“數”的方面少一些。談美感，離不開“對稱”，“形的對稱”有軸對稱、中心對稱.那么，“數的對稱”如何理解？韋達定理怎樣體現(xiàn)出數學美感與“數的對稱”？(2)實用與高效龐加萊曾這樣論述過數學和美學：“數學的優(yōu)美感，不過就是問題的解答適合我們心靈需要而產生的一種滿足感。”在使用韋達定理解決一些問題時，數學規(guī)律所表現(xiàn)出的美妙往往震撼我們心靈。例9.已知x+y=a+b,x2+y2=a2+b2，求證：xn+yn=an+bn解法分析方法1：運用代入消元法解關于x,y的二元方程組，然后證明；（或關于a,b的方程組）方法2：運用配方得xy,構造以x,y為根的二次方程，得x,y.(3)拓展與推廣韋達---生活在16世紀的法國，后世尊稱“代數之父”，他發(fā)現(xiàn)了代數方程的根系關系。關于一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0，1779年，高斯證明了代數基本定理：該方程在復數域內存在n的根。關于n個根的韋達定理是：9.如何認識條件極值例10.x,y,z是非負有理數，且3x+2y+z=5,x+y-z=2,求s=2x+y-z的最大、最小值。方法1：把三個方程視為三元一次方程組，解出x,y,z(用s表示)，然后利用是非負有理數，聯(lián)立不等式組，解出s的最大、最小值。方法2：聯(lián)立前兩個方程，解出y,z(用x表示)，代入S的表達式，構成x的函數，利用y,z是非負有理數，聯(lián)立不等式組，得到x的取值范圍（定義域），根據函數圖像意義，找到s的最大、最小值。例11.已知x-y=1,求x2+y2的最小值。方法1：代入消元得二次函數“x2+(x-1)2=2（x-1/2)2+1/2”,求得最小值1/2。方法2：把“x-y=1”視為直線（一次函數y=x-1的圖像）,設a2=x2+y2,則a為以原點為心的同心圓的半徑，于是，a由大變小，圓與直線由相交變?yōu)橄嗲袝r，a2為取到的最小值1/2.10.如何認識函數圖像的作用11.如何認識初高中函數概念的異同①兩種函數的定義初中函數定義----“變量說”：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，都有唯一的y值與之對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。高中函數定義---“集合對應說”：設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。相同點：比對兩個定義，當高中函數定義去掉“兩個數集”外衣后，可以發(fā)現(xiàn)它們的本質是一致的。都是對于x的每一個確定的值，都有唯一的y值與之對應。不同點：

第一，“集合與對應說”強調“兩個數集”，且對兩個數集的要求也不同，對自變量的取值范圍集合A是唯一確定的，而對值域所在的集合B，要求則很寬泛，通常取實數集R即可，相當于打靶，靶子大點沒關系。第二，“變量說”稱一個變量是另一個變量的函數；“集合與對應說”則稱兩數集A,B之間的對應關系“f”是集合A到集合B的函數。②為什么高中要更換定義？在我們認識函數的過程中，初中函數定義----“變量說”,為我們認識變量之間的依賴關系，提供了一個樸實自然的角度:在一個變化過程中，什么量不變，什么量改變，哪個量是主動變化的，變化的量之間有沒有依賴關系，能否用解析式表達，…這諸多的思考，幾乎都蘊涵在“變量說”中，這樣認識函數，不論是運用函數工具解決實際問題，還是在中學、大學函數的學習中，都是很重要的。那么，高中為什么還要更換定義，學習函數的“集合與對應說”？

幾個重要原因：①初中定義中沒有定義域約束自變量，要出問題。例：一枚炮彈發(fā)射后，炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位：s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2.請大家計算，當t=30s時，h的值。有學生算得h=-600m,這是一個荒唐的結果。因為炮彈從發(fā)射到落地爆炸只經歷26s，當t=30s時，炮彈早已爆炸，即使沒有地球阻力，h=-600m也是不可能的。③“集合與對應說”帶來的好處好處之四，把數集A到B的對應關系抽象表達為“f”，“f(x)”表示“f”作用到“x”身上的一種變換，而非相乘關系，是學生理解的難點。我們可以利用它表示函數值和區(qū)別函數的優(yōu)勢，來提升學習者的情感認同度。關于函數概念中，一個需要澄清的問題：

既然