量子力學與統計物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光電信息學院李小飛第七章：自旋與全同粒子第二講：全同粒子引入：前面我們主要研究的是單粒子和雙粒子體系問題，對于三體問題，我們采用微擾和變分的方法進行處理。

實際體系，所含粒子數目眾多，一般應要采用統計物理的方法。本堂課主要目的讓大家了解多體量子體系的特點。下堂課開始學習統計物理為了使問題變得簡明，我們著重研究同類粒子構成的全同粒子體系所有固有屬性都相同的粒子稱為一種全同粒子一.全同性原理例如：

所包含的粒子都是電子的體系，就是一種全同粒子體系1.全同粒子體系又如：

光場所包含的都是光子，也是一種全同粒子體系2．不可區分性

經典力學中，全同粒子體系中的粒子雖然固有屬性完全相同，仍可通過位置和運動軌跡等加以區分。

1212微觀粒子，具有波粒二象性，沒有確定的運動軌道，在波函數重迭區域的兩全同粒子無法區分。

例如：在電子雙縫衍射實驗中，形成干涉條紋的電子，你無法判別是從通哪條縫過來的……微觀粒子運動服從量子力學用波函數描寫在波函數重疊區粒子是不可區分的3．全同性原理由于全同粒子的不可區分性，在全同粒子所組成的多粒子系統中，任意選取兩個粒子進行交換（位置等），應不引起系統狀態的改變。稱為全同性原理

全同性原理是量子力學中的基本原理之一，不能推導，只能用實驗驗證。因此，態函數的概率分布不變：

二．全同粒子波函數的特性設體系由N個全同粒子組成以表示第i個粒子的坐標和自旋表示第i個粒子在外場中的勢能表示第i個粒子和第j個粒子的相互作用能哈密頓量：很明顯：兩粒子互換，哈密頓量不變1．波函數要么是對稱的，要么是反對稱的Ｓ－方程：交換與交換前后的兩波函數是同一方程的解

根據全同性原理，它們描述的是同一個態，因此它們可能相差一常數因子，以表示：

現在再把和交換一次

得證：描述全同粒子體系的波函數要么是對稱的，要么是反對稱的。當時交換后波函數反號，稱為反對稱波函數當時交換后波函數不變，稱為對稱波函數2．波函數的對稱性不隨時間變化

設時刻波函數對稱：它滿足薛定諤方程：

由于

對稱,

也對稱在時刻，波函數為它是兩個對稱函數之和，故也是對稱的。同樣可證明反對稱函數在以后任何時刻都是反對稱的。證明：方法II定義交換算符：

結論：描寫全同粒子系統狀態的波函數只能是交換對稱的或反對稱的，且這種對稱性不隨時間變化。費米子：自旋為奇數倍的粒子稱為費米子。如電子、質子、中子等粒子，自旋均為，它們均為費米子。

玻色子：自旋為的整數倍的粒子稱為玻色子。如介子、光子的自旋分別為O或，它們均為玻色子。波函數對稱的粒子稱為玻色子，服從玻色—愛因斯坦統計；波函數反對稱的粒子稱為費米子，服從費米—狄拉克統計3．費米子與玻色子復雜費米子和玻色子三

全同粒子體系的波函數1、兩粒子體系

以和表示的單個粒子第i

個本征值和本征函數，則單粒子的本征值方程為：體系哈密頓算符的本征值方程為： 哈密頓量：這時，體系的態函數可以變量分離，表示成單粒子態函數的Hartree積：

稱這樣態為可分離態（separablestate)，統計物理研究。

反之，稱為(純)糾纏態(entangledstate)。

對于非全同粒子體系，兩粒子不具有相同的波函數，體系處于混態（mixedstate），它們的糾纏態稱為混糾纏態，

糾纏態在量子通訊中有重要應用(潘建偉團隊2015年世界十大科技第一名，國家自然科學獎一等獎)當兩粒子間的相互作用很小，可以忽略時，體系的哈密頓算符

本征波函數

本征能量

若兩粒子交換，則能量值仍為是簡并的，稱為交換簡并。

如果兩粒子處于不同狀態，即：，交換前后的兩波函數：

即交換前后按Hartree積構成的兩波函數既不對稱，也不反對稱。不符合對稱性要求！因此要改！當體系處于可分離態時，

FOCK發現：由Hartree積的和差構成的兩個函數，一個是對稱的，一個是反對稱的，因此可以用這種方式構造體系波函數玻色系統（對稱）

費米系統

（反對稱）

泡利不相容原理兩費米子不處于同一態！

對玻色子系統，波函數取形式，當兩個玻色子處于同一個狀態時，這時

，故幾率密度，允許！

對于費米系統，波函數取形式，當兩費米子處于同一個狀態時，故幾率密度，不允許！將兩粒子體系推廣到N

粒子體系（忽略粒子間相互作用，稱近獨立全同粒子體系）單粒子的本征值方程：體系的薛定格方程：總本征能量2、構造N粒子體系的波函數

可見，近獨立全同粒子體系的能量等于各單粒子能量之和，哈密頓算符的本征函數是各單粒子的本征函數的Hartree-Fock方式

構成。下面分別構成近獨立全同費米和玻色系統的波函數。

由N個費米子組成的體系的本征函數：稱為斯萊特行列式

3、費米子體系波函數費米系統

（反對稱）

將斯萊特行列式展開，共有項，所以歸一化常數

如果N個粒子中，有兩個處于同一個狀態，則斯萊特行列式中有兩行完全相同，這使行列式等于零，從而體系的波函數為0

即：不能有兩個及兩個以上的費米子處在同一態！

交換任意兩個粒子，在斯萊特行列式中就表現出兩列相互交換，這使行列式改變符號。所以是反對稱的。4、玻色子體系波函數

表示對所有可能的排列求和，C是歸一化常數：因為N個粒子排列共有種不相同的形式。所以歸一化因子為：nk

是單粒子態k

上的粒子數玻色系統（對稱）

例1

一個體系由三個費米子組成，粒子間無相互作用，單粒態的可能態為、、，對應能量為1.2eV,1.2eV,1.5eV，求：（1）系統波函數，能量的可能值及其簡并度（2）若體系只有二個費米子呢？Solve（1）E1＝1.2+1.2+1.5＝3.9eV，簡并度1單態能量：1.21.21.5占據數：1

101

010

11

E110＝1.2+1.2＝2.4

E101＝1.2+1.5＝2.7雙粒子能量：

E011＝1.2+1.5＝2.7雙粒子能級：簡并度Ｅ1=2.41

Ｅ2=2.7２Solve（2）:雙費米子

一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。可能的單粒子態有三，能量分別為1.2,1.2,1.5eV,問體系可能的微觀狀態數目？波函數怎樣由單粒子態構成？能量可能值及簡并度？解：（1）三個玻色子分別處于三個單態上：例2（2）三個粒子處于同一個單態上（3）兩粒子處在同一態，一粒子處在另一態三種情況共十個微觀態，4種能量可能值E＝1.2+1.2+1.5＝3.9E＝3.6E＝3.6E＝4.5E＝3.6E＝3.9E＝3.6E＝3.9E＝4.2E＝4.2體系4個能級E1＝3.6E2＝3.9E3＝4.2E4＝4.5簡并度4321氫分子或氦原子含兩個電子，若不考慮旋軌耦合，全波函數可寫成空間與自旋波函數的乘積：

設體系的核不動，則只有兩個電子，是Fermi體系，則應是反對稱化的，要由空間波函數與自旋波函數共同保證！I、ψ對稱，則

反對稱；II、ψ

反對稱，則

對稱。５、雙電子體系的自旋波函數結論：單求自旋波函數來說，它可以是對稱的，也可以是反對稱的。

不考慮兩電子間自旋相互作用，兩電子體系的自旋函數應由單電子自旋函數的Hartree積來構成，由Hartree積可構成四個自旋函數

（三個對稱函數和一個反對稱)現在構造雙電子體系的波函數…依據：自旋波函數可以是對稱的，也可以是反對稱的。現在求自旋大小……先解單電子體系….的本征值：兩電子體系的總自旋角動量:再考慮兩電子體系…現在先算四個態中的第一個S2……同理可得其他三個態的…再求Sz……結合在一起：自旋多重態自旋三重態、單態和糾纏態形象地記:兩電子體系自旋三重態（平行）兩電子體系自旋獨態（反平行）對稱波函數自旋平行三重態反對稱波函數自旋反平行單態例3：本征方程：50

例４：一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態。問體系可能的狀態有幾個？它們的玻函數怎樣用單粒子態構成？解：狀態數=設兩單粒子態為和

。第一種情況：三粒子同處于態：三粒子同處于態：

(1)三個玻色子處在同一個狀態。(2)兩個玻色子處在同一個狀態，另一個玻色子處于另一狀態。有兩種情況：第二種情況：兩粒子同處于態，一粒子處于態兩粒子同處于態，一粒子處于態

一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。可能的單粒子態有三，問體系可能的狀態有幾個？波函數怎樣由單粒子態構成？解：（1）三個玻色子分別處于三個單態上：狀態數：例５54（2）三個粒子處于同一個單態上55（3）兩粒子處在同一態，一粒子處在另一態56三種情況共十個態！附注：關于重復組合問題從m種不同數中每次取n個數（數可重復選取），不管排列順序構成一組，這稱為重復組合問題，記為：（m可大于、等于或小于n）重復組合與通常組合不同，其計算公式為：通常組合計算公式：重復組合計算公式表明：從m個不同元素中每次取n個元素的重復組合的種數等于從（m+n-1）個不同元素中每次取n個元素的普通組合的種數。應用重復組合，計算全同