余弦定理與正弦定理第4課時知識回顧

遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？利用正弦定理和余弦定理．新知探究

①畫出圖形；③根據條件目標尋求通過解三角形湊齊缺失條件．②理清已知條件，要求的目標；ABCD新知探究問題2

在三角形的三條邊和三個角這6個元素中，如果已知3個（至少含有一邊長），那么由余弦定理和正弦定理，是否可以求出其他3個元素？可以．新知探究追問：如何求其他3個元素呢？情形1：已知兩個角的大小和一條邊的長．先由三角形內角和等于180°求出第三個角的大小，然后根據正弦定理求得另外兩條邊的邊長．情形2：已知兩條邊的邊長及其夾角的大小．先由余弦定理求出第三邊的邊長，然后再由余弦定理求得第二、第三個角的大小．情形3：已知三條邊的邊長由余弦定理求出兩個角，再利用三角形內角和等于180°求第三個角．情形4：已知兩條邊的邊長和其中一邊對角的大小首先，由正弦定理求出第二條邊所對角的正弦，這時，要判斷是兩解、一解還是無解．然后，根據三角形內角和等于180°得到第三個角的大小．最后，由余弦定理或正弦定理得到第三邊的長．新知探究問題3

如何求解與平面多邊形有關的問題？與平面多邊形有關的問題，可以轉化為三角形中的邊或角問題，借助余弦定理或正弦定理來解決．初步應用例1

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°．解答：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，因為AD∥BC，所以∠BAD＝180°－∠ABC，CADB5945°30°求∠BAD的正弦值和BD的長．由正弦定理得

，sin∠ABC＝

．所以sin∠BAD＝sin∠ABC＝

．

在△ABD中，

所以

初步應用例2

如圖所示，一次機器人足球比賽中，甲隊4號機器人由點A開始勻速直線運動，到達點B時，發現足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線運動．解答：如圖，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，

A45°BD

C設該機器人最快可在C處截住足球，BC＝xdm，解得x1＝5，x2＝

，

所以AC＝7dm（負的舍去）．初步應用例3

已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m＝（a，b），n＝（sinB，sinA），p＝（b－c，a－c）．（1）若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；（2）若m⊥p，c＝2，C＝60°，求△ABC的面積．證明：（1）因為m∥n，所以asinA＝bsinB．由正弦定理得a2＝b2，所以△ABC為等腰三角形．

（詳解參考教材P116例9的解析．）課堂練習練習：教科書第116頁練習1．歸納小結1．如何利用正余弦定理解三角形？2．利用正余弦定理解三角形要注意什么？問題3

本節課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：1．（1）已知三角形的兩邊與一角或已知三邊解三角形，利用余弦定理解三角形．（2）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角，或已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角，常用正弦定理．歸納小結1．如何利用正余弦定理解三角形？2．利用正余弦定理解三角形要注意什么？問題3

本節課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：2．（1）利用余弦定理求三角形的邊長時容易出現增解，原因是余弦定理中涉及的是邊長的平方，通常轉化為一元二次方程求正實數，因此解題時需特別注意三角形三邊長度所應滿足的（2）已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能出現無解或兩解的情況．（3）在判斷三角形的形狀時易混淆“等腰或直角三角形”與“等腰直角三角形”．基本條件．作業布置作業：教科書P123A組第5題；P124B組第2題．1目標檢測D在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，則△ABC的面積等于（）A．12B．C．28

解析：由余弦定理可得cosA＝

，A＝60°，

2目標檢測D已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，則這個三角形的最大角為（）A．30°C．60°D．120°B．45°解析：設三角形的三邊長分別為a，b，c，設a＝3k，b＝5k，c＝7k（k＞0），根據正弦定理

化簡已知的等式得:a∶b∶c＝3∶5∶7，

因為C∈（0°，180°），所以C＝120°．根據余弦定理可得cosC

所以這個三角形的最大角為120°，故選D．3目標檢測45°在△ABC中，三邊a，b，c與面積S的關系式為a2＋4S＝b2＋c2，則角A為________．解析：因為a2＝b2＋c2－2bccosA，又已知a2＋4S＝b2＋c2，從而sinA＝cosA，