平面向量及運算的坐標表示新知探究問題1

如圖，向量i，j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且｜a｜＝4，以向量i，j為基，如何表示向量a？

新知探究問題2

如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位i，j作標準正交基．xyOijaP(x，y)

a＝xi＋yj．新知探究問題3

在平面直角坐標系內，給定點A的坐標為A（1，1），則A點位置確定了嗎？給定向量a的坐標為a＝（1，1），則向量a的位置確定了嗎？對于A點，若給定坐標為A（1，1），則A點位置確定．對于向量a，給定a的坐標為a＝（1，1），此時給出了a的方向和大小，但因向量的位置由起點和終點確定，且向量可以任意平移，因此a的位置不確定．新知探究問題4

相等向量的坐標相同嗎？相等向量的起點、終點的坐標一定相同嗎？由向量坐標的定義知：但是相等向量的起點、終點的坐標可以不同．相等向量的坐標一定相同，新知探究a＋b＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，a－b＝（x1－x2）i＋（y1－y2）j，λa＝λx1i＋λy1j．問題5

設i，j是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根據向量的線性運算性質，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分別用基底i，j表示？新知探究

xyOAB11新知探究問題7

已知A（x1，y1），B（x2，y2），則線段AB的中點M的坐標是多少？如圖，

所以M的坐標為

xyOABM新知探究問題8

已知下列幾組向量：（1）a＝（1，3），b＝（2，6）；（2）a＝（－1，2），b＝（3，－4）；（3）a＝（－1，

），b＝（1，－

）．

上面幾組向量中，a，b有什么關系？向量a，b共線嗎？當a∥b時，a，b的坐標成比例嗎？（1）中b＝2a，（2）中b＝－3a，（3）中b＝－a；（1）（2）（3）都共線；a，b的坐標不為0時成比例．新知探究問題9

在平面坐標系中，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0，若a∥b，則向量a，b的坐標有什么關系？因為a∥b，所以存在實數λ，使a＝λb，所以（x1，y1）＝λ（x2，y2），

初步應用例1

在平面內，以點O的正東方向為x軸的正向，正北方向為y軸的正向建立平面直角坐標系，質點在平面內做直線運動．先畫出下列位移向量為基｛i，j｝下的正交分解，再求出下列位移向量的坐標．（1）向量a表示沿東北方向移動了2個單位長度；（2）向量b表示沿北偏西30°方向移動了3個單位長度；（3）向量c表示沿南偏東60°方向移動了4個單位長度．

（2）b＝

．

初步應用解答：根據題意得

初步應用

解答：

依題意，得

課堂練習練習：教科書第99頁練習1，2，3，4，5．歸納小結（1）如何求平面向量的坐標？（2）你認為平面向量坐標（線性）運算的方法是什么？問題10

本節課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（1）向量的坐標等于終點的相應坐標減去起點的相應坐標，只有當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標才等于終點的坐標．求向量的坐標一般轉化為求點的坐標，常常結合圖形，利用三角函數的定義進行計算．用基表示向量？平面向量基本定理好在哪里？歸納小結（1）如何求平面向量的坐標？（2）你認為平面向量坐標（線性）運算的方法是什么？問題10

本節課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（2）若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的運算法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則必須先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．向量的線性坐標運算可類比數的運算進行．用基表示向量？平面向量基本定理好在哪里？歸納小結（3）兩平面向量共線的條件有幾種形式？你能寫出來嗎？（4）你有什么困惑嗎？問題10

本節課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（3）2種，①若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b（a≠0）的條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b（a≠0），則b＝λa（λ為實數）．（4）困惑是：……作業布置作業：教科書第100頁，A組6，7，8，9，；B組1，2，3，4．1目標檢測D

A．（1，－2）B．（7，6）C．（5，0）D．（11，8）

2目標檢測A

A．B．C．（3，2）D．（1，3）

設點D（m，n），則由題意得（4，3）＝2（m，n－2）＝（2m，2n－4），故．

解得

，

即點D，故選A．3目標檢測

又α為銳角，故α＝

．

4目標檢測

（1）求線段BD的中點M的坐標；

所以（x1＋1，y1＋2）＝（4，3），

同理可得D（－4，－3）．設BD的中點M（x2，y2），則x2＝

，y2＝