湖南省長沙市望城區(qū)2020_2021學年高二數(shù)學上學期期末考試試題含解析湖南省長沙市望城區(qū)2020_2021學年高二數(shù)學上學期期末考試試題含解析PAGEPAGE26湖南省長沙市望城區(qū)2020_2021學年高二數(shù)學上學期期末考試試題含解析湖南省長沙市望城區(qū)2020—2021學年高二數(shù)學上學期期末考試試題（含解析)（全卷滿分：150分,考試用時：120分鐘）一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，下列不等式恒成立的是（）A。 B。 C. D.2.等差數(shù)列中，,，則公差等于（）A.2 B. C. D.3。命題“"的否定是（）A. B。C。 D.4.若雙曲線實軸長為2，則其漸近線方程為(）A. B. C. D.5.已知集合，,則(）A. B.C. D.6。設｛an}是等比數(shù)列，則“a1＜a2＜a3”是數(shù)列｛anA。充分而不必要條件 B。必要而不充分條件、C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.若對,都有成立，則的取值范圍是（）A. B。C. D。8。橢圓()上一點關于原點的對稱點為，為橢圓的一個焦點,若，且,則該橢圓的離心率為（）A。 B. C。 D。二、多項選擇題：本大題共4小題,每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.在公比為等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和,若，則下列說法正確的是()A. B。數(shù)列是等比數(shù)列C。 D.10.已知函數(shù),則（）A.的最小值為4 B.當時，有C.當時,有 D.當時，最小值是411.已知曲線．則下列結論正確的是：（）A。若，則是橢圓，其焦點在軸上B.若，則圓,其半徑為C。若,則是雙曲線,其漸近線方程為D。若，則是兩條直線12.已知函數(shù)y=f(x)在R上可導且f(0)=1，其導函數(shù)滿足,對于函數(shù)，下列結論正確的是（）A.函數(shù)g(x）在(1，+∞）上為單調遞增函數(shù) B。x=1是函數(shù)g（x)的極小值點C函數(shù)g(x)至多有兩個零點 D。當x≤0時，不等式恒成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分．13。拋物線上一點到點的距離等于3，則_________．14.十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載填發(fā)明的。明萬歷十二年(公元1584年），他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產生了深遠的影響.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為__________。15.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，如果，則________________16.已知為正實數(shù)，直線與曲線相切,則的最小值為________。四、解答題:本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求在點處的切線；（2）求在區(qū)間上最大值和最小值．18。條件①：設數(shù)列的前項之和為，且．條件②：對，有（為常數(shù)），，并且成等差數(shù)列．在以上兩個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并作答．在數(shù)列中，_____________．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分．19。如圖所示，在矩形中，，,是的中點,為的中點，以為折痕將向上折起，使點折到點，且。（1）求證：面；(2）求與面所成角的正弦值.20.某商家耗資4500萬元購進一批（虛擬現(xiàn)實)設備，經調試后計劃明年開始投入使用，由于設備損耗和維護，第一年需維修保養(yǎng)費用200萬元，從第二年開始，每年的維修保并費用比上一年增40萬元。該設備使用后，每年的總收入為2800萬元。（1)求盈利額（萬元)與使用年數(shù)之間的函數(shù)關系式；(2)該設備使用多少年,商家的年平均盈利額最大？最大年平均盈利額是多少？21.已知四點中恰有三點在橢圓上，其中．(1）求的值；(2）若直線過定點且與橢圓交于兩點（與軸不重合）,點關于軸的對稱點為點．探究：直線是否過定點，若是,求出該定點的坐標;若不是，請說明理由．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間及極值；（2）若關于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值．長沙市望城區(qū)2020年下期普通高中期末質量調研檢測高二數(shù)學（解析版）班級:______姓名:_______準考證號：_________（全卷滿分：150分,考試用時：120分鐘)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】通過反例、不等式的性質可依次判斷各個選項即可.【詳解】選項A.當時,,故選項A不正確.由，則，所以成立，故選項B正確.選項C不正確.選項D當時,，所以,故選項D不正確。故選：B2.等差數(shù)列中，，，則公差等于(）A.2 B。 C. D。【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質,構建方程，解得答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質可知：所以。故選：A【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本性質，屬于基礎題。3。命題“”的否定是()A. B。C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱命題否定為特稱命題，改量詞否結論【詳解】解:命題“”的否定為“”，故選:C4.若雙曲線的實軸長為2，則其漸近線方程為(）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線性質得a，表示雙曲線標準方程，表示漸近線方程即可.【詳解】因為實軸長為2,所以，所以雙曲線為所以漸近線方程為。故選：D【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質,涉及實軸和求漸近線方程，屬于基礎題。5.已知集合，，則(）A. B.C。 D。【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合，，結合集合交集的運算,即可求解.【詳解】由題意，集合，,根據(jù)集合交集概念與運算，可得。故選:C。【點睛】本題考查集合的交集的概念及運算，其中解答中正確求解集合，結合集合的交集的概念及運算求解是解答的關鍵，著重考查運算求解能力，屬于基礎題。6.設｛an｝是等比數(shù)列,則“a1＜a2＜a3”是數(shù)列｛anA.充分而不必要條件 B。必要而不充分條件、C。充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】【詳解】或，所以數(shù)列{an｝是遞增數(shù)列若數(shù)列｛an}是遞增數(shù)列,則“a1＜a2＜a3”,因此“a1＜a2＜a3"是數(shù)列{a7。若對,都有成立，則的取值范圍是（）A。 B。C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用基本不等式得到，再根據(jù)題意得到，解不等式即可。【詳解】令,，，因為，所以，當即時取等號，又因為，都有，所以即可。由得,即，，所以，解得或。故選：B。【點睛】易錯點點睛:利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值;要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值;(3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方。8.橢圓（)上一點關于原點的對稱點為，為橢圓的一個焦點，若,且，則該橢圓的離心率為（)A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】是另一個焦點，由對稱性知是平行四邊形，從而得是矩形．，在直角三角形中用表示出兩直角邊，再上橢圓定義得的等式，求得離心率．【詳解】如圖,是另一個焦點，由對稱性知是平行四邊形，∵，∴，∴是矩形．,∴，∴，，∴,∴．故選：D．【點睛】關鍵點點睛:本題考查求橢圓的離心率，解題關鍵是找到的關系，本題利用橢圓的對稱性，引入另一焦點后形成一個平行四邊形，再根據(jù)向量數(shù)量積得垂直,從而得到矩形,在矩形中利用橢圓的定義構造出的關系．求出離心率．二、多項選擇題:本大題共4小題，每小題5分,共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分．9.在公比為等比數(shù)列中，是數(shù)列前n項和，若,則下列說法正確的是（)A. B。數(shù)列是等比數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,結合等比數(shù)列的定義和對數(shù)的運算性質進行逐一判斷即可。【詳解】因為，所以有,因此選項A正確；因為，所以，因為常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列,故選項B不正確；因為,所以選項C正確;,因為當時，，所以選項D正確.故選：ACD【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的應用，考查了等比數(shù)列前n項和公式的應用，考查了等比數(shù)列定義的應用，考查了等比數(shù)列的性質應用，考查了對數(shù)的運算性質，考查了數(shù)學運算能力。10.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為4 B。當時,有C。當時，有 D。當時，的最小值是4【答案】BC【解析】【分析】由均值不等式以及以能取等的條件對每一選項進行逐一判斷即可.【詳解】選項A.當時,，則的最小值不為4，所以選項A不正確.選項B.當時，當且僅當，即時取得等號，所以，故選項B正確。選項C.當時，當且僅當,即時取得等號，所以，故選項C正確。選項D。當時，當且僅當，即時取得等號，所以等號不成立，即，故選項D錯誤.故選：BC【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，這時改用勾型函數(shù)的單調性求最值。11。已知曲線．則下列結論正確的是：(）A。若，則是橢圓,其焦點在軸上B。若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D。若,則是兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】選項A.當時，曲線，則表示焦點在軸上的橢圓；選項B。當時，曲線可判斷；選項C.若,則是雙曲線,由,可得可判斷。選項D。。當，時，曲線可判斷；【詳解】選項A.當時，曲線，可化為,由,則，則表示焦點在軸上的橢圓，故A正確。選項B.當時,曲線，表示半徑為的圓，故B不正確選項C。若，則是雙曲線，由，可得所以漸近線方程為，故C正確選項D.當，時,曲線，即，表示兩條直線，故D正確故選：ACD12。已知函數(shù)y=f(x）在R上可導且f（0）=1,其導函數(shù)滿足,對于函數(shù)，下列結論正確的是()A.函數(shù)g（x)在(1，+∞)上為單調遞增函數(shù) B.x=1是函數(shù)g（x）的極小值點C。函數(shù)g（x)至多有兩個零點 D.當x≤0時，不等式恒成立【答案】ABC【解析】【分析】對函數(shù)求導，利用可得的正負,即函數(shù)的單調性，判斷出選項AB；討論的符號，結合單調性得出函數(shù)的零點個數(shù)，判斷出選項C;利用在的單調性和最值，判斷出選項D．【詳解】函數(shù)，則，當時,，故在單調遞增，A正確；當時,，故在單調遞減，故x=1是函數(shù)g（x）的極小值點，B正確;若，則有兩個零點,若，則有一個零點，若,則沒有零點，故C正確;在單調遞減,則在單調遞減，，可知時，，故，即，D錯誤；故選：ABC【點睛】本題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和極值，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，考查學生邏輯推理能力和計算能力，屬于中檔題．三、填空題：本大題共4小題,每小題5分,共20分．13.拋物線上一點到點的距離等于3,則_________．【答案】2【解析】【分析】由拋物線的定義可得，從而可得答案。【詳解】14。十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載填發(fā)明的。明萬歷十二年（公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產生了深遠的影響。十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可先求出公比的關系式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可知即可求出．【詳解】由題意設這13個數(shù)組成依次遞增的等比數(shù)列為,滿足,，即有．故答案為：．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式的應用，屬于容易題．15.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，如果，則________________【答案】6【解析】【分析】由平面法向量與平面垂線的方向向量平行可得．【詳解】∵，∴,∴，∴．故答案為:6．16.已知為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】直線與曲線相切,則切點在直線與曲線上，且切點處的導數(shù)相等,求出，的關系，再利用基本不等式求所求分式的最值．【詳解】解：由得;由得；因為直線與曲線相切,令，則可得，代入得；所以切點為．則，所以．故，當且僅當時等號成立，此時取得最小值2．故答案為：．【點睛】本題主要考查導數(shù)的意義及基本不等式的綜合應用．關于直線與曲線相切，求未知參數(shù)的問題，一般有以下幾步：1、分別求直線與曲線的導函數(shù)；2、令兩導數(shù)相等，求切點橫坐標；3、代入兩方程求參數(shù)關系或值，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題,滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17。已知函數(shù)．(1）求在點處的切線；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1)；(2）18，．【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，再求出，用點斜式方程寫出直線方程即可.（2）求出的極大值和極小值，跟端點值進行比較，得出最大值和最小值。【詳解】（1），則則，故切線為，即（2）當時，當時，在上單調遞減，在上單調遞增在區(qū)間上的最大值和最小值分別是18，．【點睛】求函數(shù)最值和值域的常用方法：（1）單調性法：先確定函數(shù)的單調性，再由單調性求最值;（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；（3）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；（4）導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值；（5）換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉化為熟悉的函數(shù),再用相應的方法求最值．18.條件①：設數(shù)列的前項之和為，且．條件②：對，有（為常數(shù)）,，并且成等差數(shù)列．在以上兩個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并作答．在數(shù)列中,_____________．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】（1）條件性選擇見解析,；（2）【解析】【分析】(1）若選條件①，則得，,再利用可求得;若選條件②，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，再由已知條件可得，,可求出，進而可求出；(2）利用錯位相減法求和即可【詳解】選條件①，由得當時，，又∴數(shù)列的通項公式為選條件②，（1）知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且由已知可得：即：解得（舍去）(2）（或）19。如圖所示，在矩形中，，，是的中點，為的中點，以為折痕將向上折起，使點折到點，且。（1）求證:面;(2）求與面所成角的正弦值。【答案】（1）證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到，進而證得面;(2）分別以、、為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,求得平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解。【詳解】（1）由題意,可得,,則，取的中點，連，，可得，所以，因為，，且，所以平面，又因為平面，所以.又由與為相交直線，所以平面.（2）作交于，可知，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，可得，，,設平面的法向量為,則，令，可得平面的一個法向量為，又由，所以與面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理，通過嚴密推理是線面位置關系判定的關鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.某商家耗資4500萬元購進一批(虛擬現(xiàn)實）設備,經調試后計劃明年開始投入使用,由于設備損耗和維護，第一年需維修保養(yǎng)費用200萬元，從第二年開始，每年的維修保并費用比上一年增40萬元。該設備使用后，每年的總收入為2800萬元。(1)求盈利額（萬元）與使用年數(shù)之間的函數(shù)關系式；（2)該設備使用多少年，商家的年平均盈利額最大？最大年平均盈利額是多少？【答案】（1）;（2）15年；2020萬元.【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列求和公式表示總保養(yǎng)費，再由盈利額等于總收入減去總保養(yǎng)費再減去購買設備的資金構建關系式;(2）表示年平均盈利額的表達式，利用基本不等式求最值,得答案.【詳解】（1）由題可知每年的保養(yǎng)費是以200萬元為首項，40萬元為公差，逐年遞增的等差數(shù)列形式,所以年的總保養(yǎng)費萬元，年的總收入為萬元，所以盈利額故關系式為；（2)由(1）可知年平均盈利額由基本不等式可知，當且僅當時取等號，所以故該設備使用15年,商家的年平均盈利額最大，最大年平均盈利額是2020萬元.【點睛】本題考查了函數(shù)的實際應用，根據(jù)實際構建函數(shù)模型，其中涉及等差數(shù)列求和，基本不等式求最值,屬于較難題.21。已知四點中恰有三點在橢圓上，其中．（1)求的值