從數(shù)學課程標準修訂

看課堂教學改革的深化

一、為何要修訂課程標準二、數(shù)學課標修訂的依據(jù)和原則三、數(shù)學課標修訂的主要方面一、為何要修訂課程標準？

基礎教育課程改革已走過了10年的歷程

2001年,教育部啟動了新世紀基礎教育課程改革，頒布了義務教育21個學科的課程標準（實驗稿）。在實驗的基礎上，2003年，教育部開始著手課程標準的修訂工作。1.修訂義教課標是深化

基礎教育課程改革的重要任務

10年來，課程改革取得了實質性進展，各學科課程標準在實驗過程中接受了實踐的檢驗，取得了豐碩的成果，積累了寶貴的經(jīng)驗。另一方面，這次改革中也存在著需要進一步改進和完善之處。需要通過修改課標不斷深化基礎教育課程改革

2.通過修改課標，使教育

更好地適應時代發(fā)展要求十年來中國社會的巨大變化和科學技術的快速發(fā)展，也要求教育理念和課程內容與時俱進，不斷更新。在中國教育進入內涵發(fā)展的新階段，修訂和完善課標是鞏固和發(fā)展改革成果，促進教育更好適應時代發(fā)展的必然要求。

3.修訂義教課標也是落實

《教育規(guī)劃綱要》的重要舉措

《教育規(guī)劃綱要》對基礎教育課程教材建設提出了明確要求:“堅持德育為先”、“堅持能力為重”、“堅持全面發(fā)展”、“調整教材內容、科學設計課程難度”、“深入研究、確定不同教育階段學生必須掌握的核心內容”等一系列任務要求。需要通過修訂課標落實這些要求。此次加強了課標修訂的專業(yè)力量

課程標準修訂組專家分布：

中科院、工程院：6人3.8%

科研機構：11人6.7%

高等院校：104人66%

國家機關：3人1.9%

中小學教研人員和教師：28人17.6%

出版單位：6人3.8%

合計人數(shù)：158人

（其中：原課程標準研制組專家共68人）研制《數(shù)學課程標準》數(shù)學課程改革的基礎性工作是研制《數(shù)學課程標準》，這也是建國以來的第一次。設計—實驗—反饋—實施課程改革推進的歷程是課程標準從研制到不斷修訂而最終趨于完善的過程第一線的教師不僅是新課程的實施者，也是新課程的設計者和制定者課程標準與課堂教學的關系

——課程標準作為課程的頂層設計，它與一線的課堂教學有什么樣的關系呢？ChongqingNormalUniversity

——課程標準的價值取向、基本理念、目標要求及內容標準必然對教師的教學產(chǎn)生重要影響，并成為教師課堂教學的基本依據(jù)。但是：數(shù)學課程標準在課堂教學中未得到足夠的重視，其應有的功能還未得到很好的發(fā)揮。在認識層面：對課標的意義、功能、性質及特點缺乏深入的認識簡單的將課程標準等同于教學大綱，以至于不能有效地用課標指導教學在實踐層面：許多教師不熟悉課標，甚至只知教材不知課標在實際操作中，課標要求與課堂教學有一定落差搞好數(shù)學教學應更深入學習認識數(shù)學課程標準，更好地發(fā)揮數(shù)學課程標準應有的功能。課程標準與教學的關系——教育目標的

層級性及教學內容的規(guī)定性一級教育目的二級課程目標三級教學目標教育目標的層級性課程標準內容標準教學內容教學內容的規(guī)定性教材二、義務教育數(shù)學課程標準修訂的依據(jù)和原則

以《義務教育法》和《基礎教育課程改革綱要（試行）》為指導；以全面推進素質教育，培養(yǎng)學生具有創(chuàng)新精神和實踐能力為宗旨；力求準確反映義務教育階段數(shù)學課程的基本特征和在學生培養(yǎng)上的基本規(guī)范和要求。

（法律依據(jù)、時代要求、課程特征）課標修訂的依據(jù)2006年6月《義務教育法》正式稿：第三十五條國務院教育行政部門根據(jù)適齡兒童、少年身心發(fā)展的狀況和實際情況，確定教學制度、教育教學內容和課程設置，改革考試制度，并改進高級中等學校招生辦法，推進實施素質教育。

學校和教師按照確定的教育教學內容和課程設置開展教育教學活動，保證達到國家規(guī)定的基本質量要求。

國家鼓勵學校和教師采用啟發(fā)式教育等教育教學方法，提高教育教學質量。

1.法律依據(jù)義務教育數(shù)學課程要確保每一個適齡學生達到國家規(guī)定的

基本質量要求2.課標修訂要體現(xiàn)新的時代要求

2006年，我國提出了建立創(chuàng)新型國家的目標，中央高層頻頻關注課改，基礎教育課程改革與時俱進，其價值取向融入了新的時代要求。

胡錦濤談“辦好人民滿意的教育”

全面實施素質教育，核心是要解決好培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人的重大問題，這應該成為教育工作者的主題。

……要全面推進基礎教育課程改革，改進培養(yǎng)模式、教育內容、教育方法，激發(fā)學生發(fā)展的內在動力，……提高學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

——2006年8月29日在政治局集體學習時的講話

胡錦濤在兩院院士大會上的講話：

創(chuàng)新人才的成長“首先要從教育這個源頭抓起。要以系統(tǒng)的觀點統(tǒng)籌小學、中學、大學直到就業(yè)等各個環(huán)節(jié)，形成培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的機制。在尊重教師主導作用的同時，更加注重培育學生的主動精神，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維。”

2006年6月歐盟提出《創(chuàng)建創(chuàng)新型歐洲》（2006）《2004年歐洲創(chuàng)新政策》（2004）《2006年歐洲創(chuàng)新進展報告》（2006）《創(chuàng)新啟動之試點優(yōu)異行動：結果和政策建議》(2003)《服務業(yè)之創(chuàng)新：現(xiàn)狀問題與趨勢》（(2004）《創(chuàng)新管理和知識驅動之經(jīng)濟》（2004）《評價創(chuàng)新計劃之實踐指南》（2006）

各國發(fā)展的競爭就是創(chuàng)新的競爭瑞典:《創(chuàng)新型瑞典：革新促發(fā)展戰(zhàn)略》

（2003）英國:2003年提出

《全球經(jīng)濟競爭中的創(chuàng)新挑戰(zhàn)》《英國競爭力：邁向下一階段》

創(chuàng)新引領世界

美國長期以來一直是一個創(chuàng)新的家園。這是我們的DNA，與生俱來的領先于時代的對自由的渴望。

——美國教育部：《回應變革世界之挑戰(zhàn)》

新精神是決定美國在21世紀獲得成功的唯一最重要因素……創(chuàng)新精神一直深深地植根于美國的國家精神之中……我們美國人一旦停止創(chuàng)新,就不再是真正的美國人。

——美國競爭力委員會：《創(chuàng)新美國》

美國：美國中學生發(fā)現(xiàn)神秘火星洞穴:或存原始生命

2010-06-23

據(jù)報道，來自美國加州科頓伍德“常青中學”的16名7年級學生，通過研究美國宇航局“火星奧德賽”探測器拍攝的火星照片，在老師組織的科學課上發(fā)現(xiàn)了火星上一個神秘洞穴。據(jù)了解，這些學生參加了火星學生圖像研究計劃(MSIP)，可通過探測器觀測火星表面的熔巖洞結構。這項學習計劃是培養(yǎng)學生們探究天文知識的有效途徑。中學生的創(chuàng)新國際學術刊物首次

刊登小學生的科研論文2010.12.22新華社快訊：英國的一群小學生通過正常的評審程序，在英國皇家學會主辦的刊物上發(fā)表了有關大黃蜂的研究論文。美國的一份數(shù)學教育研究報告2008年3月13日，美國教育部長瑪格麗特·斯百林（MargaretSpellings）在新聞發(fā)布會上宣告，“國家數(shù)學咨詢小組”（NationalMathematicsAdvisoryPanel）的報告正式發(fā)表。

美國報告的標題：

為了成功打好基礎FoundationsforSuccess

NationalMathematicsAdvisoryPanel

FinalReport,March2008

主要觀點：在20世紀的絕大多數(shù)時間內，美國在數(shù)學領域的優(yōu)勢地位無可撼動……甚至是在對民眾所進行的數(shù)學教育的廣度上，美國的優(yōu)勢地位都是當仁不讓的。然而，如果不對我們的數(shù)學教育體制進行一些必要的持續(xù)改革，我們將會在21世紀喪失這一優(yōu)勢地位。本報告旨在探討所必須采取的一些行動以增強美國民眾在這一關鍵學習領域的能力。這些行動的重要意義一般是從國家的角度來談的奧巴馬政府對數(shù)學教育的重視2009年7月24日，啟動“競爭卓越”（RaceTotheTop)計劃，提供40多億美元資助各州改革教育，以推動中小學數(shù)學和科學等學科的教育水平2010年6月2日，出臺美國首部《州共同核心課程標準》美國《州核心數(shù)學課程標準》CommonCoreStateStandardS

for

mathematics

強調各州數(shù)學教學的統(tǒng)一性，重視對概念的理解和數(shù)學應用能力的培養(yǎng)。全美州長協(xié)會副會長道格拉斯（Douglas）：

“為了確保美國的競爭力，我們需要為我們的所有學生做好跟全世界的學生競爭的準備。”“統(tǒng)一標準能夠讓我們的學生提升競爭力。”

錢學森的質疑：為什么現(xiàn)在我們的學校總是培養(yǎng)不出杰出人才？

溫總理的憂慮：應該肯定，新中國成立６０年來我國教育事業(yè)有了很大發(fā)展，無論是在學生的就學率還是在教育質量上，都取得了巨大成績，這些成績是不可磨滅的。但是，為什么社會上還有那么多人對教育有許多擔心和意見？應該清醒地看到，我們的教育還不適應經(jīng)濟社會發(fā)展的要求，不適應國家對人才培養(yǎng)的要求。

(2009.9.4.)

溫總理的講話(2009.9.4.)從國內外的比較看，中國培養(yǎng)的學生往往書本知識掌握得很好，但是實踐能力和創(chuàng)造精神還比較缺乏。這應該引起我們深入的思考，也就是說我們在過去相當長的一段時間里比較重視認知教育和應試的教學方法，而相對忽視對學生獨立思考和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。應該說，我們早就看到了這些問題，并且一直在強調素質教育。但是為什么成效還不夠明顯？我覺得要培養(yǎng)全面發(fā)展的優(yōu)秀人才，必須樹立先進的教育理念，敢于沖破傳統(tǒng)觀念的束縛，在辦學體制、教學內容、教育方法、評價方式等方面進行大膽地探索和改革。

溫總理2011.6.17日在北京師范大學

首屆免費師范生畢業(yè)典禮上的講話

善之本在教，教之本在師……教育既是科學也是藝術，希望你們重視培養(yǎng)學生的想象能力，創(chuàng)新能力，激發(fā)學生興趣，創(chuàng)造有利于個性發(fā)展的氛圍。

加強基礎教育課程建設的新舉措：為進一步加強基礎教育課程教材管理和制度建設，教育部2010年4月14日成立了“基礎教育課程教材工作領導小組”、“國家基礎教育課程教材專家咨詢委員會”和“國家基礎教育課程教材專家工作委員會”3個機構。政治局委員劉延東

在機構成立大會上的講話加強課程教材建設，是建設創(chuàng)新型國家和人力資源強國的基礎工程。加強課程教材建設，是全面貫徹黨的教育方針和全面推進素質教育的重要保障

加強課程教材建設，是推進教育現(xiàn)代化和教育公平的重要內容。2010年4月12日《教育中長期發(fā)展規(guī)劃》

鞏固提高九年義務教育水平。義務教育……是教育工作的重中之重。注重品行培養(yǎng)，激發(fā)學習興趣，培育健康體魄，養(yǎng)成良好習慣。到2020年，全面提高普及水平，全面提高教育質量，基本實現(xiàn)區(qū)域內均衡發(fā)展，確保適齡兒童少年接受良好義務教育提高義務教育質量。建立國家義務教育質量基本標準和監(jiān)測制度。嚴格執(zhí)行義務教育國家課程標準、教師資格標準。深化課程與教學方法改革概括起來看，適應時代

要求，課標修訂要特別關注：課程改革的核心是人才培養(yǎng)模式變化要加強對學生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)要以課程為載體實實在在推進素質教育要體現(xiàn)教育的均衡、公平，要為所有學生提供良好的教育3.數(shù)學課標修訂要反映義務教育階段的課程要求

力求準確反映義務教育階段數(shù)學課程的基本特征和在學生培養(yǎng)上的基本規(guī)范和要求。1.堅持課改的大方向

堅持課程改革的大方向，為促進學生全面發(fā)展，推進課程改革和素質教育而不斷完善《標準》課標修訂原則2.重視實踐與調查：

本次修改的基礎是課程改革實施幾年來的實踐和調查研究的結果，要認真總結經(jīng)驗，加強調查研究，慎重而穩(wěn)妥地展開相應的工作。3.要有實事求是的態(tài)度：

本著實事求是的態(tài)度認真對待各方面所反映的情況、問題和建議，充分討論，認真分析，平等對話，求同存異，依靠集體的力量解決修改中的難點問題。

4.加強課標可操作性：力求加強《標準》在課程實施中的可操作性。通過修改，使《標準》更加準確、規(guī)范、明了、全面；更適合于教材編寫、教師教學和評價。5.處理好四個關系：注意用科學、辯證的態(tài)度處理好數(shù)學課程內容及教學中的一些基本關系。如：

重視過程與關注結果教師講授與學生自主面向全體與因材施教生活化情境化與知識系統(tǒng)性此外，還有直觀形象與抽象思維、合情推理與演繹推理等的關系。三、數(shù)學課標修訂的主要方面:

1.關于前言和基本理念2.關于設計思路3.關于課程目標4.關于課程內容5.關于課程實施

1.關于前言和基本理念的修改（在前言中增加了課程性質的描述、修改、豐富了基本理念的一些提法）《前言》增加了對數(shù)學課程性質的表述數(shù)學課程的性質表述為，“義務教育階段的數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發(fā)展性。義務教育階段的數(shù)學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎。數(shù)學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能；培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力；培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力；促進學生在情感、態(tài)度與價值觀等方面得到發(fā)展。”基本理念反映出我們對數(shù)學、數(shù)學課程、數(shù)學教學以及評價等方面應具有的基本認識和觀念、態(tài)度，它是制定和實施數(shù)學課程的指導思想。《標準》中的每一部份內容都要貫穿基本理念的思想和要求。同時，教師作為課程的實施者，更應自覺樹立起正確的數(shù)學觀、數(shù)學課程觀、數(shù)學教學觀等數(shù)學教育觀念，并用以指導自己的教學實踐活動。什么是課程的基本理念？關于基本理念的修改在結構上由原來的6條改為5條，將原《標準》第2條關于對數(shù)學的認識整合到理念之前的文字之中，新增了對課程內容的認識，此外，將“數(shù)學教學”與“學生學習”合并為數(shù)學“教學活動”。

關于基本理念的修改原課標：

數(shù)學課程數(shù)學數(shù)學學習數(shù)學教學評價信息技術修改后：

數(shù)學課程課程內容

教學活動學習評價信息技術關于數(shù)學觀

——如何認識數(shù)學原課標：數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。數(shù)學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具……數(shù)學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發(fā)展的基礎；數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用；數(shù)學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。課標修改稿：數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。

數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具

……數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)

要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的（理性）思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用

兩種表述誰更好？（調研中的意見）應進一步研究和提煉關于數(shù)學的意義與性質的闡述。理由：兩個《標準》第一句話變化太大。《實驗稿》的表述太長，且定位于一個“過程”，使人們難于理解。《修訂稿》“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學”。保留了初中《大綱》對數(shù)學意義的表述。這種表述，一方面不能反映小學階段數(shù)學教育的內容和要求。另外，也不能充分反映現(xiàn)代數(shù)學科學的應用特征。（河北省等）兩種表述結合起來更好通過靜態(tài)表述，揭示學科內涵是一種傳統(tǒng)規(guī)范，也與高中課標協(xié)調將數(shù)學視為一種活動、一種過程，今天來看也是很主流的數(shù)學哲學觀，動態(tài)表述能很好支撐注重過程的數(shù)學新課堂靜態(tài)與動態(tài)結合，有利于辯證看待數(shù)學的本質，樹立正確的數(shù)學觀和數(shù)學教學觀

體現(xiàn)數(shù)學課程核心理念的三句話:人人學有價值的數(shù)學人人都能獲得必需的數(shù)學不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展人人都能獲得良好的數(shù)學教育不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展

樹立正確的課程觀

關于“人人都能獲得良好的數(shù)學教育”

與過去的提法相比：

出發(fā)點不變（人人、不同的人）；有更深的意義和更廣的內涵；落腳點是數(shù)學教育而不是數(shù)學內容；體現(xiàn)了更強的時代精神和要求（公平的、優(yōu)質的、均衡的、和諧的教育）。何謂“良好的數(shù)學教育”？良好的數(shù)學教育對于學生來說是適宜的、滿足發(fā)展需求的教育良好的數(shù)學教育是全面實現(xiàn)育人目標的教育良好的數(shù)學教育是促進公平、注重質量的教育良好的數(shù)學教育是使學生能可持續(xù)發(fā)展的教育

良好的數(shù)學教育需要

在各個維度上體現(xiàn)提出“良好的數(shù)學教育”需要我們重新審視數(shù)學課程的目標、內容，也需要我們在課堂教學實施中尋找切入點！“不同的人在數(shù)學上

得到不同的發(fā)展”體現(xiàn)了數(shù)學教育中對人的主體性地位的回歸與尊重需要正視學生的差異，尊重學生的個性，促成發(fā)展的多樣性

“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”本質上應促進學生更好地自主發(fā)展

理念中新增加的提法：課程內容要處理好三個關系有效的教學活動是什么

數(shù)學教學活動的本質要求培養(yǎng)良好的數(shù)學學習習慣注重啟發(fā)式正確看待教師的主導作用處理好評價中的關系注意信息技術與課程內容的整合課程內容要處理好三個關系：

課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系；要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關系。

我們需要什么

樣的數(shù)學教學？

教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。

數(shù)學教學活動的本質是什么？樹立正確的數(shù)學教學觀什么是數(shù)學課堂教

學中最需要做的事？數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法。改變人才培養(yǎng)模式要從這些方面入手！第一次提出

“培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣”《標準》在“情感與態(tài)度”目標中提出：

“養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣。”什么是學習習慣？

為什么要提出培養(yǎng)學習習慣？學習習慣指在長期的學習中逐漸養(yǎng)成的、較穩(wěn)固的學習行為、傾向和習性。之所以提出數(shù)學學習習慣，一是因為在長達九年的義務教育學習階段，一個人在學習上的習慣總是處于不斷的養(yǎng)成過程中，它是與學習行為相伴而行的，客觀存在的。

在日常教學中刻意誘導，潛移默化，點滴

積累，通過長時間的磨練，方能習以為常。

二是良好的數(shù)學學習習慣具有很強的心理內驅力和學習目標達成的慣性力，它有利于學生通過自主學習形成學習的正向遷移，提高學習效率三是良好的數(shù)學學習習慣能幫助學生逐步實現(xiàn)由“學會”到“會學”的轉變，使學生今后在適應終身學習上受益。原課標：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。”

學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數(shù)學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。原課標：“對數(shù)學學習的評價要關注學生學習的結果，更要關注他們學習的過程；要關注學生數(shù)學學習的水平。更要關注他們在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我，建立信心。”

應建立目標多元、方法多樣的評價體系。評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程；既要關注學生數(shù)學學習的水平，也要重視學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我、建立信心。樹立正確的評價觀如何看待信息技術的運用？數(shù)學課程的設計與實施應根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合，注重實效。要充分考慮信息技術對數(shù)學學習內容和方式的影響，開發(fā)并向學生提供豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式2.關于設計思路的修改學段劃分保持不變對課程目標動詞及水平要求的設計基本保持不變，增加了目標動詞的同義詞對四個學習領域的名稱作適當調整對課程內容中的若干核心概念作適當調整，對其意義作更明確的闡釋核心概念課程目標的行為動詞及水平：《標準》使用“了解、理解、掌握、運用”等術語表述學習活動結果目標的不同水平，使用“經(jīng)歷、體驗、探索”等術語表述學習活動過程目標的不同程度。這些詞的基本含義如下。了解：從具體事例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象。理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。掌握：在理解的基礎上，把對象用于新的情境。運用：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當?shù)姆椒ń鉀Q問題。經(jīng)歷：在特定的數(shù)學活動中，獲得一些感性認識。體驗：參與特定的數(shù)學活動，主動認識或驗證對象的特征，獲得一些經(jīng)驗。探索：獨立或與他人合作參與特定的數(shù)學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識。

在標準中，使用了一些詞，表述與上述術語同等水平的要求程度。這些詞與上述術語之間的關系如下：（1）了解，同類詞：知道，初步認識；（2）理解，同類詞：認識，會；（3）掌握，同類詞：能。（4）運用，同類詞：證明。（5）經(jīng)歷，同類詞：感受、嘗試。（6）體驗，同類詞：體會。對四個學習領域名稱的修改：

——總稱呼改為課程內容的四個部分原課標：數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計與概率實踐與綜合應用修改后：數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計與概率綜合與實踐主要的關鍵詞：

——現(xiàn)稱為“核心概念”原課標：數(shù)感符號感空間觀念（6個）統(tǒng)計觀念應用意識推理能力修改后：數(shù)感符號意識運算能力（10個）模型思想空間觀念幾何直觀推理能力數(shù)據(jù)分析觀念應用意識創(chuàng)新意識關于《標準》中10個核心概念的分析核心概念有何意義？首先應該注意到，這些核心概念的內涵在性質上是體現(xiàn)的學習主體——學生的特征，它們涉及的是學生在數(shù)學學習中應該建立和培養(yǎng)的關于數(shù)學的感悟、觀念、意識、思想、能力等，因此，可以認為，它們是學生在義務教育階段數(shù)學課程中最應培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng)，是促進學生發(fā)展的重要方面。第二，《標準》將這些核心概念放在課程內容設計欄目下提出，是想表明，這些概念不是設計者超乎于數(shù)學課程內容之上外加的，而是實實在在蘊涵于具體的課程內容之中，或者與課程內容緊密結合的。從這一意義上看，核心概念往往是一類課程內容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內容的線索和層次，抓住教學中的關鍵。并在數(shù)學內容的教學中有機地去發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。第三，核心概念本質上體現(xiàn)的是數(shù)學的基本思想。數(shù)學基本思想集中反映為數(shù)學抽象、數(shù)學推理和數(shù)學模型思想。這些思想是數(shù)學學習中的重要目標。不難看出，核心概念對數(shù)學基本思想的體現(xiàn)是鮮明的。比如，與“數(shù)與代數(shù)”部分內容直接關聯(lián)的數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接體現(xiàn)了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示我們，核心概念的教學要更關注其數(shù)學思想本質。第四，這些核心概念都是數(shù)學課程的目標點，也應該成為數(shù)學課堂教學的目標，僅以“數(shù)學思考”和“問題解決”部分的目標設定來看，《標準》就提出了：“建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力”；“發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象”；“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”；“增強應用意識，提高實踐能力”；“體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”。這些目標表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。所以，把握好這些核心概念無論對于教師教學和學生學習都是極為重要的。核心概念之一：數(shù)感

——存在數(shù)感嗎？（1）兩個實例給人的啟示：實例一：2010年2月25日，國家統(tǒng)計局公布的《2009年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示：我國70個大中城市房屋銷售價格同比上漲1.5%，其中新建住宅價格上漲1.3%。此報告一出立刻引起全國一片嘩然。公眾普遍反映此數(shù)據(jù)與實際狀況嚴重不符。面對公眾質疑，國家統(tǒng)計局召開緊急會議，討論統(tǒng)計數(shù)據(jù)來源是否真實可靠？統(tǒng)計方法是否科學？輿論提出的一個問題是：不論統(tǒng)計部門統(tǒng)計方式是否科學，為何公眾對房價的感覺與統(tǒng)計結果是大相徑庭的呢？此例說明數(shù)感的確是存在的，它與公眾的社會生活息息相關，并已成為現(xiàn)代社會公民所具有的基本數(shù)學素養(yǎng)的一部分實例二：一老師在教學指數(shù)冪的意義時，拋出一個現(xiàn)實情境問題：將一張紙對折32次，它的厚度有多大呢？老師給出的結論使學生在感到驚訝之余，更表示出強烈的質疑。該問題的結論是：其厚度可以超過世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。此例就其實質看，教師在這里利用的是，學生基于實際操作（將紙對折若干次）所建立起來的2

的直觀感覺與數(shù)學科學計算得出的結果之間的巨大反差，由此創(chuàng)設出一個生動的極富吸引力的學習環(huán)境這一實例說明，學生在學習數(shù)學概念時，其固有的數(shù)感不僅在起作用，而且老師若能適時地利用學生原有數(shù)感的特點，使其形成課堂教學中的認知沖突，則能大大提高課堂教學的效率。32（2）何為數(shù)感？“數(shù)感”一詞的英文表述為“NumberSense”，可翻譯為多種意思，如感覺、感官、理念、意識、領悟等等。那么，反映在數(shù)學課程中的數(shù)感基本內涵究竟應該如何理解呢？事實上，在這一點上人們的認識仍然是多元的。一些關于數(shù)感內涵的說法其一，認為數(shù)感是“關于數(shù)字（量）的一種直覺”其二，認為數(shù)感與語感、方向感、美感等類似，都會有一種“直感”的涵義，具有對特定對象的一種敏感性及相關的鑒別（鑒賞）能力其三，認為數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度和意識，是一種基本的數(shù)學素養(yǎng)其四，認為數(shù)感包含感覺、知覺、觀念、能力，可以用“知識”來統(tǒng)一指稱，這一知識是程序性的、內隱的、非結構性的《標準》關于數(shù)感的提法此次修訂，認真聽取了各方意見，吸納了前期實驗研究的一些成果，重新對數(shù)感的內涵及功能作了表述。《標準》的提法是：“數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。”將數(shù)感表述為感悟不僅使這一概念有了較大的包容性，也使得這一概念有了更實在的意義，有利于一線教師的理解和把握。在前期課程實施中，人們對數(shù)感內涵的認識較多強調其直覺、感知、潛意識、經(jīng)驗等方面，在教學中教師也常常有“虛無縹緲”之感，找不到教學支點。將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領悟。感悟是既通過肢體又通過大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分。《標準》將這種對數(shù)的感悟歸納為三個方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計，這主要是基于義務教育階段數(shù)學課程內容的范圍并根據(jù)學生的實際所作出的要求，這有利于教師在教學中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條主線。（3）關于學生數(shù)感的培養(yǎng)

首先要重視低段學生對數(shù)的感覺的建立，并在數(shù)感培養(yǎng)上處理好階段性和發(fā)展性的關系在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)感在第一學段是重點。《標準》在第一學段目標中明確指出：“在運用數(shù)及適當?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，以及對運算結果進行估計的過程中，發(fā)展數(shù)感。”應結合每一學段的具體教學內容，

逐步提升和發(fā)展學生的數(shù)感。比如在二學段應結合學生所熟悉的現(xiàn)實素材感受大數(shù)的意義，并能對一些問題進行估算；能了解負數(shù)的意義，用負數(shù)表示日常生活的問題，建立起對負數(shù)的數(shù)感。在第三學段，隨著對數(shù)的認識領域的擴大以及數(shù)的認識經(jīng)驗的積累，可以引導學生在較復雜的數(shù)量關系和運算問題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質。緊密結合現(xiàn)實生活

情境和實例，培養(yǎng)學生的數(shù)感

現(xiàn)實生活情境和實例，與學生的實際生活經(jīng)驗密切相連，不僅能夠為學生提供真實自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學生在數(shù)的認知上經(jīng)歷由具體到抽象的過程，逐步發(fā)展學生關于數(shù)的思維。反之，學生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看周圍世界，正如《標準》所說：“建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。”情境

與數(shù)感

比如，讓學生通過調查、討論，弄清楚自己的學號、地區(qū)郵編號、汽車牌照號、身份證編號的規(guī)律和意義。如下的一個問題更是能讓學生感到，建立良好的數(shù)感，對數(shù)字信息作出合理解釋與推斷的重要：火車票上車次號有兩個含義，一是數(shù)字越小表示車速越快，1~98次為特快車，101~198次為直快車，301~398次為普快車，401~598次為普客車；二是單數(shù)表示從北京開出，雙數(shù)表示開往北京，現(xiàn)在有一張車票的車次號為122，它能給你什么信息？讓學生多經(jīng)歷有關數(shù)的

活動過程，逐步積累數(shù)感經(jīng)驗

在具體的數(shù)學活動中，學生能動腦、動手、動口，多種感官協(xié)調活動，加之能相互交流，這對強化感知和思維，積累數(shù)感經(jīng)驗非常有益。比如，組織學生參加調查活動，讓學生調查：從你家到學校的路程大約有多遠？你上學大約要多少時間？教室面積有多大？學校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何測量一張紙的厚度？還可組織學生針對一周出版的某種報紙討論中間出現(xiàn)了哪些與數(shù)、數(shù)量、運算有關的數(shù)學問題，分別表述這些問題中關于數(shù)的意義作用，如何用數(shù)來解決這些具體問題等等。這樣的數(shù)學活動有利于學生在相互交流中從多角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感經(jīng)驗。核心概念之二：符號意識符號對于數(shù)學來說是特有的。它既是數(shù)學的語言，也是數(shù)學的工具，更體現(xiàn)數(shù)學的方法數(shù)學符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，明確性，可操作性，此外數(shù)學符號還具有簡略性和通用性等特點數(shù)學符號最本質的意義就在于它是數(shù)學抽象的結果，所以它不僅是一種表示方式，更是與數(shù)學概念、命題等具體內容相關的、體現(xiàn)數(shù)學基本思想的核心概念（1）何為符號意識？所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。數(shù)字、字母、圖形、關系式等等構成了數(shù)學的符號系統(tǒng)符號意識（Symbolsense）是學習者在感知、認識、運用數(shù)學符號方面所作出的一種主動性反應，它也是一種積極的心理傾向。符號感為何改為符號意識？符號感（SymbolSense）原課標：“符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉換；能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表達的問題。”

雖然英文單詞一樣，但改

動后中文意義有所不同修改稿：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。”符號感與數(shù)感都用“感”，“感”的表述過多符號感主要的不是潛意識、直覺符號感最重要的內涵是運用符號進行數(shù)學思考和表達，進行數(shù)學活動，這是一個“意識”問題，而不是“感”的問題（2）對符號意識的理解《標準》對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會：能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律這個要求有兩層意思：一是能夠理解符號所表示的意義；二是能夠運用符號去表示數(shù)學對象（數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律等）。關于用符號表達數(shù)學對象這里著重指出兩點：一是要注意整個學習過程中，學生用符號表達數(shù)學對象是一個由簡單到復雜，由相對具體到相對抽象的過程。二是數(shù)學符號的表達是多樣化的，比如關系式、表格、圖像等等都是表達數(shù)量關系和變化規(guī)律的符號工具，有時，即使是同一數(shù)學對象也可采用多種符號予以表達。比如這樣一個例題：在下列橫線上填上合適的數(shù)字，字母或圖形，并說明理由。1,1,2；1,1,2；，，；A,A,B；A,A,B；，，；□，□，；□，□，；，，；通過觀察規(guī)律，使一學段學生能夠感悟到：對于有規(guī)律的事物，無論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同而已。知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性這一點很重要。從某種意義上說這正是符號意識作為一種“意識”需要強化的。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識。由于運算和推理是數(shù)學活動最重要的基本形式，所以《標準》的這一要求是希望在各學段學習中，都加強學生在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓練，這涉及到的類型較多，如對具體問題的符號表示、變量替換、關系轉換、等價推演、模型抽象及模型解決等等。使學生理解符號的使用是數(shù)學表

達和進行數(shù)學思考的重要形式

數(shù)學表達實質上就是以數(shù)學符號作為媒介的一種語言表達。通過培養(yǎng)符號意識，發(fā)展學生數(shù)學表達能力成為當今課堂關注的目標。比如這樣一個問題：“某書定價8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的關系。”顯然，購書數(shù)量與付款金額之間是呈函數(shù)關系（分段函數(shù)），為了解決問題的方便，我們可以分別采用函數(shù)關系式、列表、作出圖象等多種符號表達方式來表示這一具體問題。發(fā)展符號意識最重要的是運用符號進行數(shù)學思考，我們不妨把這種思考稱為“符號思考”，舉一個簡單的例子：“房間里有4條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？”

如果學生沒有經(jīng)過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓練，他完全可以使用恰當?shù)姆栠M行數(shù)學思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程組的、關于字母的思考方式來加以解決。（3）關于符號意識的培養(yǎng)

在各學段緊密結合概念、命題、公式的教學，培養(yǎng)學生的符號意識結合現(xiàn)實情境培養(yǎng)學生的符號意識在數(shù)學問題解決過程中發(fā)展學生的符號意識

符號意識更多地表現(xiàn)為以學生為主體的一種主動用符號的意識，因此，符號意識的培養(yǎng)僅靠一些單純的符號推演訓練和模仿記憶是難以達到應有的效果的。引導學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題（這實際上需要運用符號抽象和表達問題）、分析問題、解決問題（這實際上是使用符號進行運算、推理和數(shù)學思考）的全過程，在這一過程中促進學生符號意識得到提高。核心概念之三：空間觀念

（1）發(fā)展空間觀念的意義數(shù)學家阿蒂亞（M．Atiyah）認為，幾何是數(shù)學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位，而代數(shù)則是數(shù)學中有序思維占主導地位的部分。兩者在真正的數(shù)學研究中都起著本質的作用。它們在教育中的意義也是清楚的。我們的目標應是培養(yǎng)學生發(fā)展這兩種思維模式，過分強調一種而損害另一種是錯誤的。荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗萊登塔爾（Freudenthal，1989）指出，幾何是對空間的把握——這個空間是兒童生活、呼吸和運動的空間。在這個空間里，兒童必須學會去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運動。全美數(shù)學教師理事會在《美國學校數(shù)學課程與評價標準》提到，發(fā)展牢固的空間關系的觀念，掌握幾何的概念和語言，可以較好地為學習數(shù)和度量概念做準備，還可以促進其他數(shù)學課程的進一步學習。空間觀念也是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造，因為許許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設計者要先要對自己的創(chuàng)造物進行想象，然后可能是模型的構建，這里的模型包括圖形和實物，再根據(jù)模型修改設計，直至最終完善成型。這是一個充滿豐富想象和創(chuàng)造的探求過程，也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉換，利用直觀進行思考的過程。空間觀念和空間想象力在這個過程中起著至關重要的作用。

（2）《標準》中空間

觀念所包含的內容《標準》中沒有具體給出空間觀念的內涵，而是從是否具有空間觀念的幾個表征出發(fā)對其進行描述。《標準》是從四個方面加以刻畫描述的：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。核心概念之四：幾何直觀

——此次新增的核心概念（1）對幾何直觀的認識顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考、想象。它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力。希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。幾何直觀在研究、學習數(shù)學中的價值由此可見一般。（2）《標準》中幾何直觀的含義

在高中數(shù)學課程標準（試驗稿）中，也關注了幾何直觀：“運用圖形語言進行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學必修系列課程的基本要求。”義務教育《標準》指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。”（3）幾何直觀的培養(yǎng)使學生養(yǎng)成畫圖習慣,鼓勵用圖形表達問題可以通過多種途徑和方式使學生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學中應有這樣的導向：能畫圖時盡量畫，其實質是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結論都是在形象思維的基礎上產(chǎn)生的。

美國課標3—5年級的案例：假如你是珠寶商。你為人加工戒指三次，分別獲得了如下多的金子：

1.14克0.089克0.3克現(xiàn)有一金器加工活，不知這些金子是否夠，和你同組同學算算金子有多少？并說明理由。學生交流的幾種方法

交流應包括分享思考、提出問題以及解釋和明確想法，它應該是課堂教學環(huán)境不可分割的一部分。要求學生用畫圖和文字說明思考過程：

約瑟吃了1/2的比薩餅；

埃拉吃了另一個比薩餅的1/2；

約瑟說他吃得比埃拉多，但埃拉說他吃得同樣多。用畫

圖和文字說明約瑟可能是對的。重視變換——讓圖形動起來

幾何變換或圖形的運動既是學習的對象，也是認識數(shù)學的思想和方法。在數(shù)學中，我們接觸的最基本的圖形都是對稱圖形，例如球、圓錐、圓臺、正多面體、圓、正多邊形、長方體、長方形、菱形、平行四邊形等；另一方面，在認識、學習、研究非對稱圖形時，又往往是運用這些對稱圖形為工具的。變換又可以看作運動，讓圖形動起來是指再認識這些圖形時，在頭腦中讓圖形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看作一個剛體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點）旋轉180度，去認識、理解、記憶平行四邊形的其他性質。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。

學會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學數(shù)形結合首先是對知識、技能的貫通式認識和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉化的意識，這種對數(shù)學的認識和運用的能力，應該是形成正確的數(shù)學態(tài)度所必需要求的。

掌握、運用一些基本圖形解決問題把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在義務教育階段數(shù)學教學、學習的始終。例如，除了前面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標系等等。在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結果，這應該成為教學中關注的目標。核心概念之五：數(shù)據(jù)分析觀念

——由統(tǒng)計觀念改為數(shù)據(jù)分析觀念（1）數(shù)據(jù)分析觀念的意義及含義可能有人會認為：統(tǒng)計不就是計算平均數(shù)、畫統(tǒng)計圖嗎？這些事情計算器、計算機就能做得很好，還有必要花那么多精力學習嗎？確實，在信息技術如此發(fā)達的今天，計算平均數(shù)、畫統(tǒng)計圖等內容不應再占據(jù)學生過多的時間，它們也遠非統(tǒng)計的核心。在義務教育階段，學生學習統(tǒng)計與概率的核心目標是發(fā)展“數(shù)據(jù)分析觀念”，這是一種需要在親身經(jīng)歷過程中培養(yǎng)出來的對數(shù)據(jù)的“領悟”——由一組數(shù)據(jù)所想到的、所推測到的，以及在此基礎上，對于統(tǒng)計與概率獨特的思維方法和應用價值的認識。原課標：統(tǒng)計觀念主要表現(xiàn)在：能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關的問題；能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程作出合理的決策，認識到統(tǒng)計對決策的作用；能對數(shù)據(jù)的來源、處理數(shù)據(jù)的方法，以及由此得到的結果進行合理的質疑。

數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心（2）對數(shù)據(jù)分析觀念要求的分析

在上述表述中，點明了兩層意思：第一，統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。數(shù)據(jù)是信息的載體，而統(tǒng)計學就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學和藝術。第二，點明了數(shù)據(jù)分析觀念的三個重要方面的要求：體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。這三個方面也正體現(xiàn)了統(tǒng)計與概率獨特的思維方法。了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法”《標準》中對于案例38的說明：“條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢”，因此需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計圖。總之，統(tǒng)計學對結果的判斷標準是‘好壞’”，而不是“對錯”。例38對全班同學身高的數(shù)據(jù)進行整理和分析（2學段）通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性數(shù)據(jù)的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例.利用樹葉的特征對樹木分類

（1）收集三種不同樹的樹葉，每種樹葉的數(shù)量相同，比如每種樹選10片樹葉。（2）分類測量每種樹葉子的長和寬，列表記錄所得到的數(shù)據(jù)。（3）分別計算出樹葉子的長寬比，估計每種樹樹葉的長寬比。（4）驗證估計的結果。[說明]我們可以抓住樹的某些特征對樹進行分類，本例是利用樹葉的數(shù)據(jù)特征來對樹進行分類。本活動適用三學段的各個年級，要求可以不同。學生先通過數(shù)據(jù)收集和分析知道一些樹的樹葉的長與寬的比；對于新采集到的樹葉，通過長與寬的比來判斷這個樹葉是屬于哪種樹。

這一學習活動有利于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析意識，體會有許多事情，通過數(shù)據(jù)分析可以抓住本質。知道數(shù)據(jù)不僅僅是別人提供的，還可以自己收集；對于同一種樹，葉子長與寬的比也可能是不一樣的，進一步感受數(shù)據(jù)的隨機性；體會只要有足夠的數(shù)據(jù)，就能夠分析出一些規(guī)律性的結論。教學中可以作如下設計：（1）建議采用小組活動的形式，學生通過合作交流可以獲得較多的數(shù)據(jù)和信息。（2）為了使分析的結果更加明顯，最好選擇樹葉區(qū)別較大的三種（或者更多）樹、而每種樹選擇的樹葉的大小要接近，即區(qū)別要小一些。（3）“估計每種樹樹葉的長寬比”的方法可以是多樣的，比如，對于每種樹的10片樹葉都測量了長和寬以后，可以用10個比值的眾數(shù)，也可以用10個比值的中位數(shù)；還可以把長和寬各自相加后，取和的比值，這是10個比值的平均數(shù)（教師可以思考：為什么不用通常求平均數(shù)的方法計算比值的平均數(shù)）。針對這個問題，用平均數(shù)是比較合適的。（4）取一片新的樹葉，通過這片樹葉的長寬之比、參照（3）的估計結果，來判斷這片樹葉屬于哪種樹。學生會發(fā)現(xiàn)，即使是同一棵樹，葉子長與寬的比值恰好等于估計值的可能性也很小，這表現(xiàn)了數(shù)據(jù)的隨機性。可以進一步啟發(fā)學生考慮一個合理的方案：只要比值大概等于估計值，就可以認為是同一種樹，也就是說，需要構造一個以估計值為中心的數(shù)值區(qū)間，當新取的樹葉的長寬比值屬于這個區(qū)間時就認為屬于這個樹種。如何合理地構造這個數(shù)值區(qū)間是重要的，區(qū)間太短則可能拒絕同類樹種，區(qū)間太長則判斷的精度就要差。（可引導學生探索方法）這個問題可以舉一反三。核心概念之六：運算能力

——此次增加的核心概念

運算是數(shù)學的重要內容，在義務教育階段的數(shù)學課程的各個學段中，運算都占有很大的比重。學生在學習數(shù)學的過程中，要花費較多的時間和精力，學習和掌握關于各種運算的知識及技能，并發(fā)展運算能力。（1）標準對運算能力的要求《標準》指出：運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。（2）對運算能力的認識根據(jù)一定的數(shù)學概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結果的過程，稱為運算。能夠按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能。不僅會根據(jù)法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力。運算的正確、靈活、合理和簡捷是運算能力的主要特征。運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡捷。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學的操作能力，更是一種數(shù)學的思維能力。核心概念之七：推理能力

（1）推理能力的含義推理在數(shù)學中具有重要的地位。誠如《標準》所指出的：“推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式”數(shù)學推理反映的是一種基本的數(shù)學思想，也是一種主要的數(shù)學方法。它與數(shù)學證明緊密關聯(lián)，數(shù)學推理與證明共同構成了數(shù)學的最重要的基礎。。學習數(shù)學就是要學習推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要內容，也是數(shù)學課程和課堂教學的重要目標。推理能力的發(fā)展應貫穿于整個數(shù)學學習過程中……推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論。《標準》強調了合情推理和演繹推理（2）推理能力的培養(yǎng)

推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學的學習過程中這里的“貫穿整個數(shù)學學習過程”應該有這樣幾層含義：其一，它應貫穿于整個數(shù)學課程的各個學習內容，其二，它應貫穿于數(shù)學課堂教學的各種活動過程其三，它應貫穿于整個數(shù)學學習的環(huán)節(jié)也應貫穿于三個學段，合理安排，循序漸進，協(xié)調發(fā)展通過多樣化的活動，培養(yǎng)學生的推理能力反思傳統(tǒng)教學，對學生推理能力的培養(yǎng)往往被認為就是加強邏輯證明的訓練，主要的形式就是通過習題演練以掌握更多的證明技巧。顯然，這樣的認識是帶有局限性的。《標準》強調通過多樣化的活動來培養(yǎng)學生的推理能力。如《標準》提出：“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單猜想”（一學段）“在觀察、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力”（二學段）“在多樣化形式的數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力”（三學段）教師要認真體會《標準》所提出的這些要求，針對學生推理能力的培養(yǎng)，在課堂教學中開拓出更加有效的、多樣化的活動途徑。使學生多經(jīng)歷

“猜想——證明”的問題探索過程

在“猜想——證明”的問題探索過程中，學生能親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結論、用演繹推理證明結論的完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學基本思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，這對于學生數(shù)學素養(yǎng)的提升極為有利。教師要善于對素材進行此類加工，引導學生多經(jīng)歷這樣的活動。核心概念之八：模型思想模型思想是此次新增的核心概念。這次隨著“模型思想”的列入，我們會看到關于數(shù)學模型的相關提法會在《標準》的多個部分出現(xiàn)。特別的，模型思想作為一種基本的數(shù)學思想更是會與目標、內容緊密關聯(lián)。作為第一線教師應對《標準》中模型思想的含義及要求準確理解，并把這要求落實于課堂教學之中。（1）對數(shù)學建模的認識所謂數(shù)學模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地，概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數(shù)學結構。在義務教育階段數(shù)學中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型。廣義與狹義？這種結構有兩個主要特點：其一，它是經(jīng)過抽象舍去對象的一些非本質屬性以后所形成的一種純數(shù)學關系結構；其二，這種結構是借助數(shù)學符號來表示，并能進行數(shù)學推演的結構。對數(shù)學模型可以從兩個層次上去理解：廣義的理解是把那些凡是針對客觀對象加以一級或多級抽象所得到的形式結構都視為客觀對象的模型；狹義的理解是指針對特定現(xiàn)實問題或具體實物對象進行數(shù)學抽象所得到的數(shù)學模型。在中小學階段數(shù)學中的數(shù)學模型一般指后者數(shù)學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學活動過程。這一過程的步驟可用如下框圖來體現(xiàn)：觀察實際情境發(fā)現(xiàn)提出問題抽象成數(shù)學模型得到數(shù)學結果可用結果檢驗合乎實際不合乎實際修改

這些步驟反映的是一個相對嚴格的數(shù)學建模過程，義務教育階段特別是小學的數(shù)學建模視具體課程內容要求，不一定完全經(jīng)歷所有的環(huán)節(jié)，這里有一個逐步提高的過程。

（2）《標準》中模型思想的含義及要求模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。使學生體會和理解數(shù)學與外部世界的聯(lián)系是這一核心概念的本質要求《標準》從義務教育數(shù)學課程的實際情況出發(fā)，將這一過程進一步簡化為這樣三個環(huán)節(jié)：首先是“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象數(shù)學問題”。這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學建模的起點。然后“用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律”。在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。最后，通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。顯然，數(shù)學建模過程可以使學生在多方面得到培養(yǎng)而不只是知識、技能，更有思想、方法，也有經(jīng)驗積累，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學態(tài)度等）也會得到培養(yǎng)。（3）模型思想的培養(yǎng)

模型思想需要教師在教學中逐步滲透和引導學生不斷感悟比如在一學段，可以引導學生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)、簡單幾何體和平面圖形的過程和簡單數(shù)據(jù)收集、整理的過程，使學生能學會用適當?shù)姆杹肀硎具@些現(xiàn)實情境中的簡單現(xiàn)象，提出一些力所能及的數(shù)學問題；在二學段，通過一些具體問題，引導學生通過觀察分析抽象出更為一般的模式表達，如用字母表示有關的運算律和運算性質，總結出路程、速度、時間，單價、數(shù)量、總價等關系式；在三學段，主要是結合相關概念學習，引導學生運用函數(shù)、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統(tǒng)計表格等分析表達現(xiàn)實問題，解決現(xiàn)實問題。總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應該蘊含于日常教學之中，使學生經(jīng)歷“問題情境——建立模型

——求解驗證”的數(shù)學活動過程

“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學活動過程體現(xiàn)了《標準》中模型思想的基本要求，也有利于學生在過程中理解、掌握有關知識、技能，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質。這一過程更有利于學生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。通過數(shù)學建模改善學習方式數(shù)學建模不同于單純的數(shù)學解題，它是一個綜合性的過程。這一過程所具有的問題性、活動性、過程性、搜索性等特點給學生數(shù)學學習方式的改善帶來了很大的空間。小課題學習方式。讓學生自主確定數(shù)學建模課題，設定課題研究計劃，完成以后最后提交課題研究報告。基于數(shù)學建模的小課題研究針對不同的年齡段應該有不同的層次和不同的水平，但不管何種層次和水平，關鍵是要引導學生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗和對現(xiàn)實情境的觀察，提出研究課題。通過數(shù)學建模改善學習方式協(xié)作式學習方式。在數(shù)學建模中可以小組為單位在組內進行合理分工，協(xié)同作戰(zhàn)，培養(yǎng)學生的合作交流能力。開放式學習方式。這里的開放是多種意義的，如打破課內課外界限，走入社會，進行數(shù)學調查；充分利用網(wǎng)絡資源，收集建模有用信息；鼓勵對統(tǒng)一問題的不同建模方式等等。信息技術環(huán)境中的學習方式。充分利用計算機的計算功能、圖形實現(xiàn)功能、特有軟件包的應用功能等，尋求建模途徑，提高數(shù)學建模的有效性。核心概念之九：應用意識應用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題；另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決。核心概念之十：創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終。3.關于課程目標的修改

在目標的結構上仍按：總體目標總體表述知識技能數(shù)學思考問題解決情感態(tài)度學段目標第一學段第二學段第三學段（1）目標上有哪些變化？

在總體目標中突出了“培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力”的改革方向和目標價值取向。

變化之一：明確提出四基，即“基礎知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗、基本思想”變化之二：針對創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，明確提出“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”變化之三：針對了解知識的來龍去脈，明確提出“體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系”變化之四：對于情感態(tài)度的培養(yǎng)，進一步明確“了解數(shù)學的價值,提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣”變化之五：針對學科精神的培養(yǎng)，明確提出“具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度”數(shù)學課程總目標有那些新變化？“解決問題”改為“問題解決”——目標具體從“知識技能”“數(shù)學思考”“問題解決”“情感態(tài)度”四個方面闡述——學段目標的表述方式有所改變（2）對幾個新目標點的分析目標點一：“四基”從“雙基”到“四基”

——對數(shù)學教學有何意義？對傳統(tǒng)課程的反思：“雙基”是我國數(shù)學教學的優(yōu)勢所在，但它是否就是數(shù)學課程價值的全部？傳統(tǒng)意義下的“雙基”需要與時俱進理解

我在《數(shù)學教育的價值》一書中系統(tǒng)闡述了數(shù)學課程應有的價值觀。對傳統(tǒng)課程的反思：在“雙基”與能力或“雙基”與數(shù)學素養(yǎng)之間似乎還缺少一些什么東西？數(shù)學素養(yǎng)最核心的要素有哪些呢？如何才能形成數(shù)學智慧呢？如何能從課程目標上支撐創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)呢？一個觀點：“創(chuàng)新能力的基礎依賴于三方面:知識的掌握、思維的訓練、經(jīng)驗的積累,三方面同等重要.關于“知識的掌握”,我國的中小學數(shù)學教育是沒有問題的;關于“經(jīng)驗的積累”,大概還差得很多;關于“思維的訓練”,我們做得也不夠,只能打五十分.那么為了創(chuàng)新型國家的建立我們現(xiàn)在的教育只做了一半的工作.我們沒有更多地在基礎教育階段教孩子如何去創(chuàng)新,幫他們從小的事情、小的發(fā)現(xiàn)開始積累經(jīng)驗,沒有這樣的意識。”

（史寧中2007年第46卷第5期數(shù)學通報)

）何為數(shù)學基本思想？德國諾貝爾獎獲得者、物理學家馮.勞厄：

“教育無非是一切已學過的東西都忘掉時所剩下的東西”數(shù)學課堂教學應該是有思想的教學！有了思想才有了課堂的生命什么是數(shù)學學習中最本質的東西？波利亞（美）一貫強調把“有益的思考方式，應有的思維習慣”放在教學的首位。閔山國藏（日本）指出，學生在畢業(yè)之后不久，數(shù)學知識就很快忘掉了，“然而，不管他們從事什么業(yè)務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、思維方法、推理方法和著眼點（如果培養(yǎng)了這種素質的話），在隨時發(fā)現(xiàn)作用，使他們受益終生。”

數(shù)學思想有哪些？

—可以討論的觀點：“數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，……通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系”（史寧中，《數(shù)學思想概論》第一輯，東北師范大學出版社，2008.6，第一頁）。從數(shù)學產(chǎn)生、數(shù)學內部發(fā)展、數(shù)學外部關聯(lián)三個維度上概括了對數(shù)學發(fā)展影響最大的三個重要思想。何為數(shù)學基本思想？數(shù)學基本思想是指對數(shù)學及其對象、數(shù)學概念和數(shù)學結構以及數(shù)學方法的本質性認識數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中；它制約著學科發(fā)展的主線和邏輯架構；是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。如歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、結構、數(shù)形結合、隨機…等。如何理解？三個常用的概念：

數(shù)學思想數(shù)學方法數(shù)學思想方法注意教材中蘊含的數(shù)學基本思想在課程內容和教材中，數(shù)學基本思想其實是很豐富的，這些思想常常處于潛形態(tài)，教師要成為有心人感悟數(shù)學基本思想：通過情境體會圓的數(shù)學意義估計與猜測—逐步逼近的思想剪一剪體會無限的思想拼一拼—轉化的思想多種轉化的方式歸納思想

歸納出一般結論

如何使數(shù)學思想從潛形態(tài)轉變?yōu)轱@形態(tài)呢？

※分類

※化歸

※歸納

經(jīng)驗與思想？R.柯朗H.羅賓：

“只有靠了數(shù)學自身的經(jīng)驗，才能把握數(shù)學思想是什么？”

什么是數(shù)學活動經(jīng)驗?

黃翔《獲得數(shù)學活動經(jīng)驗應成為

數(shù)學課堂教學關注的目標》

——《課程.教材.教法》2008.1期

數(shù)學活動經(jīng)驗的基本特征：數(shù)學活動經(jīng)驗是基于學習主體的，它帶有明顯的主體性特征，因此也就具有學習者的個性特征，它屬于特定的學習者自