上次課內容回顧第8章結構的振動與穩定逆迭代法行列式搜索法二、子空間迭代法§8.5行列式搜索法和子空間迭代法子空間迭代法是求解大型特征值問題低階特征對的有效方法。它實質上是Rayleigh-Ritz方法和逆迭代方法的組合。1.Rayleigh-Ritz法（1）Rayleigh商及其極值原理{x}是n維空間的任意一個非零向量，則稱為Rayleigh商Rayleigh商極值原理當{x}等于廣義特征值問題的某一特征向量時，Rayleigh商達到它的一個極值。證明：將任意非零向量{x}表示成以特征向量為基向量的線性組合注意到,得Rayleigh商為當Rayleigh商取極值時有利用二次型對向量求偏導的法則上式表明：當{x}等于某一個特征向量時，Rayleigh商達到極值。（2）Rayleigh-Ritz解法解法特點：將一個n維空間的問題化為一個維數較低的q維空間的問題求導近似解若要求系統的前p階特征對，則先選取q≥p個線性無關的n維向量｛yi｝，i＝1，2，…，q，令｛x｝為這些向量的線性組合，有由Rayleigh商得R(｛x｝)取極小的必要條件是若記K*=YTKY，M*=YTMY，則K*，M*均為q×q階方陣，稱為原來剛度矩陣和質量矩陣的在q維子空間的投影。利用二次型對向量求偏導的法則，得：即因此由于同時，還可得到原問題的q個子空間的特征向量而且計算出的特征值是原問題特征值的上界，即：這是個q階的廣義特征值問題，所得的特征值是原問題的特征方程的近似值。｛α｝稱為Ritz坐標向量由上節討論知道，逆迭代法可以使迭代向量向最低階特征向量靠近。利用這一點，把逆迭代法和Rayleigh-Ritz法相結合，交替使用逆迭代法和Rayleigh-Ritz法，即用逆迭代中的初始向量組作為Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空間中求解低階廣義特征值問題，再用子空間中的特征向量作為Ritz基的坐標，得到一組新的Ritz基向量，即迭代向量。不斷改善Ritz向量基，使得Ritz基向量空間不斷向原問題的q階向量空間靠攏，從而求得越來越精確的解，這就是子空間迭代法的基本思想。2.子空間迭代法子空間迭代法步驟：（1）為了避免丟根，如果計算p個特征對，則選取q個線性無關的初始迭代向量，這里q大于p，一般可取q=min(2p,p+8)，它們構成n×q階矩陣X0，為了敘述方便，這里寫出的是第k步到第k+1步的迭代計算過程，由迭代式（2）形成子空間投影矩陣和解出（3）求解子空間特征問題可用廣義雅可比法解出全部的q個特征值q個特征向量其中，ρk+1

i（i=1，2，…，q）即是原系統的前q個特征值的近似值，計算即為原系統的前q個特征向量的近似值。（4）作收斂性判斷。若則停止迭代，否則，以Xk+1作為新的迭代向量回到步驟（1）進行下一次迭代。注意：新的近似的特征向量，也就是改進的新Ritz基向量滿足因此，Xk+1可作為新的迭代向量矩陣，而且當k→∞時，有：在上面的步驟中，每一次迭代都要解q個線性方程組，求q個子空間特征對。同樣，迭代初向量X0=[(x1)0,(x2)0,(x3)0,…,(xq)0]的選擇是否恰當，直接影響迭代次數和結果的精度。如何選取？例如，選取[M]的對角元素作為(x1)0的向量元素，其他的(xi)0,(i=2,3,…,q)向量元素，依次在Mjj/Kjj(i=1,2,,…,n)的最大，次大，第三大…的行號上取1，余下元素全部取零的的單位向量作業：閱讀并調試教材中給出的子空間迭代法程序，或閱讀并調試從其他參考書給出的子空間迭代程序，給出算例。

Lanczos方法目前被認為是求解大型矩陣特征值問題的最有效方法，與子空間迭代法相比，其計算量要少得多。

Lanczos方法用于標準特征值問題稱為標準Lanczos法，用于廣義特征值問題稱為廣義Lanczos法。

補充：Lanczos方法（1）標準Lanczos法

設標準特征值問題其中：K為n×n階矩陣。首先選取適當的初始迭代向量｛U1｝，且｛U1｝T｛U1｝=1計算其中，這里，k=1,2,…,m-1≤n；‖

‖

2為2范數。于是得求解此矩陣的特征值，就是K的m個最高階特征值。（2）廣義逆Lanczos法

廣義逆Lanczos法的運算過程，基本上與標準方法相同。設廣義特征值問題其中K為n×n階實對稱正定陣，M為對稱陣。選取適當的初始向量{U1}，且{U1}TM{U1}=1，計算令β1=1，作（1）（2）（3）這里，k=1,2,…,m。當k＝m時，作完第（1）步，即求出αm就停止迭代，于是得到全部的αk和βk就構成的