2023年廣東省汕頭市高考數學模擬試卷（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則（?UA）∪B=（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{2，3，4，5}2．已知向量=（1，2），2+=（3，2），則=（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）3．已知i是虛數單位，若（2﹣i）?z=i3，則z=（）A． B． C． D．4．從數字1，2，3中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這個兩位數大于30的概率為（）A． B． C． D．5．已知，且，則tanα=（）A． B． C． D．6．已知函數f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列結論錯誤的是（）A．函數f（x）的最小正周期為πB．函數f（x）是偶函數C．函數f（x）在區間[0，]上是增函數D．函數f（x）的圖象關于直線x=對稱7．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則當n＞1時，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）8．執行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出P的值為（）A．2 B．3 C．4 D．59．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）A．4π B．12π C．24π D．48π10．下列函數中，在（﹣1，1）內有零點且單調遞增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x311．設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x）=，則g[f（﹣7）]=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣212．設函數f（x）是定義在R上的周期為2的函數，且對任意的實數x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，當x∈[﹣1，0]時，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個零點，則a的取值范圍為（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13．設x，y滿足約束條件，則z=x+3y+m的最大值為4，則m的值為．14．已知直線l：y=kx+b與曲線y=x3+3x﹣1相切，則斜率k取最小值時，直線l的方程為．15．已知正項等比數列{an}的公比q=2，若存在兩項am，an，使得=4a1，則+的最小值為．16．下列有關命題中，正確命題的序號是．①命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”；②命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”；③命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是假命題．④若“p或q為真命題，則p，q至少有一個為真命題．”三、解答題.本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程和驗算步驟.17．在△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面積．18．已知{an}是公差d≠0的等差數列，a2，a6，a22成等比數列，a4+a6=26；數列{bn}是公比q為正數的等比數列，且b3=a2，b5=a6．（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數列{an?bn}的前n項和Tn．19．某區工商局、消費者協會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費”為主題的大型宣傳咨詢服務活動，著力提升消費者維權意識．組織方從參加活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20，30），第2組[30，40），第3組[40，50），第4組[50，60），第5組[60，70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）若電視臺記者要從抽取的群眾中選1人進行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第4組的概率；（Ⅱ）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機抽取3名群眾組成維權志愿者服務隊，求至少有兩名女性的概率．20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，點M時BB1中點．（1）求證；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求點A到平面A1MC的距離．21．已知函數f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數f（x）的單調性；（2）當a＜1時，證明：對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．請考生在第22,23,24題中任選一題作答，選修4-1：幾何證明選講22．選修4﹣1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B、C兩點，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F為CE上一點，且DE2=EF?EC．（1）求證：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．選修4-4：坐標系與參數方程23．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．（Ⅰ）直線l的參數方程化為極坐標方程；（Ⅱ）求直線l與曲線C交點的極坐標（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．選修4-5：不等式選講24．已知關于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a．（Ⅰ）當a=3時，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求實數a的取值范圍．2023年廣東省汕頭市高考數學模擬試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則（?UA）∪B=（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{2，3，4，5}【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】計算題．【分析】根據全集U求出A的補集，找出A補集與B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，∴?UA={3，4，5}，∵B={2，3}，則（?UA）∪B={2，3，4，5}．故選D【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．2．已知向量=（1，2），2+=（3，2），則=（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）【考點】平面向量的坐標運算．【專題】計算題；對應思想；向量法；平面向量及應用．【分析】根據向量的坐標的運算法則計算即可．【解答】解：=（1，2），2+=（3，2），則=（2+）﹣2=（3，2）﹣2（1，2）=（3，2）﹣（2，4）=（3﹣2，2﹣4）=（1，﹣2），故選：B．【點評】本題考查了向量的坐標運算，關鍵是掌握運算法則，屬于基礎題．3．已知i是虛數單位，若（2﹣i）?z=i3，則z=（）A． B． C． D．【考點】復數代數形式的乘除運算．【專題】計算題．【分析】利用復數的運算法則和共軛復數的意義，即可得出．【解答】解：∵（2﹣i）?z=i3，∴（2+i）（2﹣i）z=﹣i（2+i），5z=﹣2i+1，∴z=，故選：A．【點評】本題考查了復數的運算法則和共軛復數的意義，屬于基礎題．4．從數字1，2，3中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這個兩位數大于30的概率為（）A． B． C． D．【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統計．【分析】從數字1，2，3中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，基本事件總數n==6，則這個兩位數大于30包含的基本事件個數m=2，由此能求出這個兩位數大于30的概率．【解答】解：從數字1，2，3中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，基本事件總數n==6，則這個兩位數大于30包含的基本事件個數m=2，∴這個兩位數大于30的概率為P==．故選：B．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．5．已知，且，則tanα=（）A． B． C． D．【考點】運用誘導公式化簡求值；同角三角函數間的基本關系．【分析】通過誘導公式求出sinα的值，進而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案選B【點評】本題主要考查三角函數中的誘導公式的應用．屬基礎題．6．已知函數f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列結論錯誤的是（）A．函數f（x）的最小正周期為πB．函數f（x）是偶函數C．函數f（x）在區間[0，]上是增函數D．函數f（x）的圖象關于直線x=對稱【考點】正弦函數的圖象．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的圖像與性質．【分析】由條件利用誘導公式、余弦函數的單調性以及它的圖象的對稱性，得出結論．【解答】解：對于函數f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，它的最小正周期為=π，且函數f（x）為偶函數，故A、B正確；在區間[0，]上，2x∈[0，π]，故函數f（x）在區間[0，]上是減函數；當x=時，f（x）=0，不是最值，故函數f（x）的圖象不關于直線x=對稱，故選：D．【點評】本題主要考查誘導公式、余弦函數的單調性以及它的圖象的對稱性，屬于基礎題．7．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則當n＞1時，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）【考點】數列遞推式．【專題】轉化思想；等差數列與等比數列．【分析】利用遞推關系與等比數列的通項公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1，∴a1=2a2，解得a2=．當n≥2時，Sn﹣1=2an，∴an=2an+1﹣2an，化為=．∴數列{an}從第二項起為等比數列，公比為．∴Sn=2an+1=2××=．故選：A．【點評】本題考查了遞推關系與等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8．執行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出P的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】程序框圖．【專題】計算題；圖表型；分析法；算法和程序框圖．【分析】根據輸入A的值，然后根據S進行判定是否滿足條件S≤2，若滿足條件執行循環體，依此類推，一旦不滿足條件S≤2，退出循環體，求出此時的P值即可．【解答】解：A=2，P=1，S=0，滿足條件S≤2，則P=2，S=，滿足條件S≤2，則P=3，S=，滿足條件S≤2，則P=4，S=不滿足條件S≤2，退出循環體，此時P=4故選：C【點評】本題主要考查了當型循環結構，循環結構有兩種形式：當型循環結構和直到型循環結構，當型循環是先判斷后循環，直到型循環是先循環后判斷．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）A．4π B．12π C．24π D．48π【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數形結合；數形結合法；立體幾何．【分析】作出幾何體的直觀圖，根據其結構特征求出外接球的半徑，得出球的表面積．【解答】解：由三視圖可知幾何體為三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，取PC中點O，AC中點D，連結OA，OD，BD，OB，則AC==2，PC==2．∴OP=OC=，OA=PC=，BD==，OD==1，∴OB==，∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱錐P﹣ABC外接球的球心，外接球半徑r=OA=，∴外接球表面積S=4πr2=12π．故選B．【點評】本題考查了棱錐的三視圖和結構特征，球與內接多面體的關系，屬于中檔題．10．下列函數中，在（﹣1，1）內有零點且單調遞增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x3【考點】函數零點的判定定理；函數單調性的判斷與證明．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據解析式判斷單調性，再根據零點存在性定理判斷即可得出答案．【解答】解：y=logx在（﹣1，1）有沒有意義的情況，故A不對，y=x2﹣1在（﹣1，0）單調遞減，故C不對，y=﹣x3在（﹣1，1）單調遞減，故D不對，故A，C，D都不對，∵y=2x﹣1，單調遞增，f（﹣1）＜0，f（1）＞0，∴在（﹣1，1）內存在零點故選：B【點評】本特納考查了函數的單調性，零點的判斷，函數解析式較簡單，屬于容易題．11．設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x）=，則g[f（﹣7）]=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【考點】函數的概念及其構成要素．【專題】計算題；函數思想；定義法；函數的性質及應用．【分析】先設x＜0，則﹣x＞0，根據函數的奇偶性，即可求出g（x），再代值計算即可．【解答】解：函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x）=，設x＜0，則﹣x＞0，則f（﹣x）=log2（﹣x+1），∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴g（x）=﹣log2（﹣x+1）（x＜0），∴f（﹣7）=g（﹣7）=﹣log2（7+1）=﹣3，∴g（﹣3）=﹣log2（3+1）=﹣2，故選：D．【點評】本題考查了函數的奇偶性和函數解析式的求法以及函數值的求法，屬于基礎題．12．設函數f（x）是定義在R上的周期為2的函數，且對任意的實數x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，當x∈[﹣1，0]時，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個零點，則a的取值范圍為（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）【考點】函數的周期性．【專題】函數思想；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】根據函數的周期和奇偶性作出f（x）和y=logax在（0，+∞）上的圖象，根據交點個數列出不等式解出a．【解答】解：∵f（x））﹣f（﹣x）=0，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）是偶函數，根據函數的周期和奇偶性作出f（x）的圖象如圖所示：∵g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個零點，∴y=f（x）和y=logax的圖象在（0，+∞）上只有三個交點，∴，解得3＜a＜5．故選C．【點評】本題考查了零點個數的判斷，作出f（x）的函數圖象是解題關鍵．二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13．設x，y滿足約束條件，則z=x+3y+m的最大值為4，則m的值為﹣4．【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，結合z=x+3y+m的最大值為4，建立解關系即可求解m的值．【解答】解：由z=x+3y+m得﹣，作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分）：平移直線﹣由圖象可知當直線﹣經過點A時，直線﹣的截距最大，此時z也最大，由，解得，即A（2，2），將A代入目標函數z=x+3y+m，得2+3×2+m=4．解得m=﹣4，故答案為：﹣4．【點評】本題主要考查線性規劃的基本應用，利用目標函數的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數形結合是解決問題的基本方法．14．已知直線l：y=kx+b與曲線y=x3+3x﹣1相切，則斜率k取最小值時，直線l的方程為3x﹣y+1=0．【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；方程思想；分析法；導數的概念及應用．【分析】求出原函數的導函數，得到導函數的最小值，求出此時x的值，再求出此時的函數值，由直線方程的點斜式，求得斜率k最小時直線l的方程．【解答】解：由y=x3+3x+1，得y′=3x2+3，則y′=3（x2+1）≥3，當y′=3時，x=0，此時f（0）=1，∴斜率k最小時直線l的方程為y﹣1=3（x﹣0），即3x﹣y+1=0．故答案為：3x﹣y+1=0．【點評】本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是基礎題．15．已知正項等比數列{an}的公比q=2，若存在兩項am，an，使得=4a1，則+的最小值為．【考點】基本不等式；等比數列的性質．【專題】不等式的解法及應用．【分析】正項等比數列{an}的公比q=2，由于存在兩項am，an，使得=4a1，可得=4a1，化為m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．【解答】解：正項等比數列{an}的公比q=2，∵存在兩項am，an，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．則+=（m+n）（）==，當且僅當n=2m=4時取等號．∴+的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了等比數列的通項公式、“乘1法”和基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．16．下列有關命題中，正確命題的序號是④．①命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”；②命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”；③命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是假命題．④若“p或q為真命題，則p，q至少有一個為真命題．”【考點】四種命題；命題的否定．【專題】對應思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】分別對①②③④進行判斷，從而得到結論．【解答】解：①命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”；故①錯誤；②命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1≥0”；故②錯誤；③命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是若sinx≠siny，則x≠y，是真命題，故③錯誤；④若“p或q為真命題，則p，q至少有一個為真命題．”，正確；故答案為：④．【點評】本題考察了命題的否定以及命題之間的關系，是一道基礎題．三、解答題.本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程和驗算步驟.17．在△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面積．【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）利用同角三角函數基本關系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值．（2）由c＜b，可得C為銳角，由（1）可得cosC，利用兩角和的正弦函數公式可求sinA的值，利用三角形面積公式即可得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵b=，c=1，cosB=．∴sinB==，∴由正弦定理可得：sinC===…4分（2）∵c＜b，C為銳角，∴由（1）可得：cosC==，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∴S△ABC=bcsinA==…12分【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．18．已知{an}是公差d≠0的等差數列，a2，a6，a22成等比數列，a4+a6=26；數列{bn}是公比q為正數的等比數列，且b3=a2，b5=a6．（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數列{an?bn}的前n項和Tn．【考點】數列的求和；平面向量坐標表示的應用．【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數列與等比數列．【分析】（Ⅰ）利用等差中項及a4+a6=26可知a5=13，進而通過a2，a6，a22成等比數列計算可知d=3，利用q2=及=4可知q=2，進而計算可得結論；（Ⅱ）通過（I）可知an?bn=（3n﹣2）?2n﹣1，進而利用錯位相減法計算即得結論．【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是公差d≠0的等差數列，且a4+a6=26，∴a5=13，又∵a2，a6，a22成等比數列，∴（13+d）2=（13﹣3d）（13+17d），解得：d=3或d=0（舍），∴an=a5+（n﹣5）d=3n﹣2；又∵b3=a2，b5=a6，∴q2====4，∴q=2或q=﹣2（舍），又∵b3=a2=4，∴bn=b3?qn﹣3=4?2n﹣3=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知，an?bn=（3n﹣2）?2n﹣1，∴Tn=1?20+4?21+7?22+…+（3n﹣5）?2n﹣2+（3n﹣2）?2n﹣1，2Tn=1?21+4?22+…+（3n﹣5）?2n﹣1+（3n﹣2）?2n，錯位相減得：﹣Tn=1+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）?2n=1+3?﹣（3n﹣2）?2n=﹣5﹣（3n﹣5）?2n，∴Tn=5+（3n﹣5）?2n．【點評】本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19．某區工商局、消費者協會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費”為主題的大型宣傳咨詢服務活動，著力提升消費者維權意識．組織方從參加活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20，30），第2組[30，40），第3組[40，50），第4組[50，60），第5組[60，70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）若電視臺記者要從抽取的群眾中選1人進行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第4組的概率；（Ⅱ）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機抽取3名群眾組成維權志愿者服務隊，求至少有兩名女性的概率．【考點】古典概型及其概率計算公式；列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．【專題】概率與統計．【分析】（Ⅰ）設第2組[30，40）的頻率為f2，利用概率和為1，求解即可．（Ⅱ）設第1組[30，40）的頻數n1，求出n1，記第1組中的男性為x1，x2，女性為y1，y2，y3，y4列出隨機抽取3名群眾的基本事件，列出至少有兩名女性的基本事件，然后求解至少有兩名女性的概率．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）設第2組[30，40）的頻率為f2=1﹣（0.005+0.01+0.02+0.03）×10=0.35；…第4組的頻率為0.02×10=0.2所以被采訪人恰好在第2組或第4組的概率為P1=0.35+0.2=0.55…（Ⅱ）設第1組[30，40）的頻數n1，則n1=120×0.005×10=6…記第1組中的男性為x1，x2，女性為y1，y2，y3，y4隨機抽取3名群眾的基本事件是：（x1，x2，y1），（x1，x2，y2），（x1，x2，y3），（x1，x2，y4）（x1，y2，y1），（x1，y3，y2），（x1，y1，y3），（x1，y4，y1），（x1，y2，y4），（x1，y3，y4），（x2，y2，y1），（x2，y3，y2），（x2，y1，y3），（x2，y4，y1），（x2，y2，y4），（x2，y3，y4），（y1，y2，y3），（y1，y2，y4），（y2，y3，y4），（y1，y3，y4）共20種…其中至少有兩名女性的基本事件是：（x1，y2，y1），（x1，y3，y2），（x1，y1，y3），（x1，y4，y1），（x1，y2，y4），（x1，y3，y4），（x2，y2，y1），（x2，y3，y2），（x2，y1，y3），（x2，y4，y1），（x2，y2，y4），（x2，y3，y4），（y1，y2，y3），（y1，y2，y4），（y2，y3，y4），（y1，y3，y4）共16種所以至少有兩名女性的概率為…【點評】本題考查古典概型概率公式的應用概率的求法，考查計算能力．20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，點M時BB1中點．（1）求證；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求點A到平面A1MC的距離．【考點】點、線、面間的距離計算；平面與平面垂直的判定．【專題】證明題；轉化思想；向量法；空間位置關系與距離．【分析】（1）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面A1MC⊥平面AA1C1C．（2）由=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），利用向量法能求出點A到平面A1MC的距離．【解答】證明：（1）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，由題意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，﹣3），=（0，0，6），=（4，﹣4，0），設平面A1MC的法向量為=（x，y，z），則，取x=3，得=（3，﹣3，4），設平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），則，取a=1，得=（1，1，0），∴=0，∴平面A1MC⊥平面AA1C1C．解：（2）∵=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），∴點A到平面A1MC的距離：d===．【點評】本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．21．已知函數f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數f（x）的單調性；（2）當a＜1時，證明：對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【專題】綜合題；函數思想；轉化思想；分析法；導數的綜合應用．【分析】（1）求出原函數的導函數，對a分類求解原函數的單調區間；（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉化為證明成立，即證．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由導數求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），當a=﹣1時，f′（x）=，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；當時，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數；當時，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，當x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；當a＞﹣1時，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，，當x∈（0，x2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，當x∈（x2，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數．（2）證明：要證f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即證lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是證，即證．令g（x）=，則g′（x）=，當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，體現了分類討論的數學思想方法，考查邏輯推理能力和運算能力，屬難題．請考生在第22,23,24題中任選一題作答，選修4-1：幾何證明選講22．選修4﹣1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B、C兩點，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F為CE上一點，且DE2=EF?EC．（1）求證：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．【考點】與圓有關的比例線段．【專題】選作題．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行線的性質可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用對頂角的性質即可證明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，進而證明結論；（II）利用（I）的結論可得BP=，再利用切割線定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．【解答】（I）證明：∵DE2=EF?