5/5相像形——比例線段及相像知識點講解【知識點講解】

一,比例線段

1.線段的比：假如選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別是m，n，則就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或寫成

,其中a叫做比的前項;b叫做比的后項。

2.成比例線段：在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，則這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．

3.比例的項：已知四條線段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，假如

，則ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做組成比例的項，線段ａ，d叫做比例外項，線段ｂ，ｃ叫做比例內項，線段ｄ還叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例項．

4.比例中項：假如作為比例線段的內項是兩條相同的線段，即a:b=b:c或

，則線段ｂ叫做線段ａ和ｃ的比例中項．

比例的性質：

(1)比例的基本性質：

(2)反比性質：

(3)更比性質:

或

或

(4)合比性質:

(5)等比性質:

且

比例線段練習１,推斷下列四條線段是否成比例

①

a=2，b=,c=，d=2；

②

a=，b=3,

c=2，d=；

③

a=4，b=6,

c=5，d=10；

④

a=12，b=8,

c=15，d=10

2,已知：ad=bc

（1）

將其改寫成比例式；

（2）

寫出全部以a，d為內項的比例式；

（3）

寫出訪b作為第四項比例項的比例式；

（4）若；寫出以c作第四比例項的比例式；

3

,計算.

已知：x∶y=5∶4，y∶z=3∶7.求x∶y∶z.

(2)已知：a，b，c為三角形三邊長，(a-c)

∶(c+b)

∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周長為24.求三邊長.

4

,在相同時刻的物高與影長成比例，假如一古塔在地面上影長為50m，同時，高為1.5m的測竿的影長為2.5m，則，古塔的高是多么米

5,，AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E為BC中點.求EF，BF的長.

6.(1)已知：x：(x+1)=(1—x)：3，求x。

(2)若，求

(3)

若，求

，

(4)若x2-3xy+2y2=0,求7．將比例式中的移到第四比例項，使比例式仍成立。

（1）a:b=:c

（2）

:a=b:c

（3）

a:=b:c

8：若，求

練習：已知:,

求的值9：

若ABC三邊a:b:c=6:4:3,三邊上的高分別為h1,h2,h3，求h1:h2:h3的值。

10：已知兩地的實際距離是250米，畫在地圖上的距離（圖距）是5厘米，在這樣的地圖上,圖距a=8厘米的兩地A,B的實際距離是多少呢比例尺是多少？

12：操場上有一群學生在玩嬉戲，其中男生與女生的人數比例是3:2,后來又有6名女同學參與進來，此時女生與女生人數的比為5:4,求原來各有多少男生和女生？

比例線段拓展

1,比例線段

在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，則這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

設a,b,c,d為線段，假如a:b=c:d，b,c叫比例內項，a,d叫比例外項，d叫做a,b,c的第四比例項；假如a:b=b:c，或b2=ac，則b叫a,c的比例中項。

黃金分割

如圖，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割,

點C叫做線段AB的黃金分割點，叫作黃金分割數（簡稱黃金數或黃金比）

留意：（1）；

（2）一條線段有兩個黃金分割點。

3,平行線分三角形兩邊成比例

（1）基本領實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

如圖，則有【思索】畫圖說明平行于三角形一邊的其他狀況。

（2）三角形的重心

定義：三角形的重心是三角形三條中線的交點

與重心有關的比例線段：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍。

（3）三角形一邊平行線的判定定理：假如一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊。（三角形一邊平行線的判定定理）

（4）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例。平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其他直線上截得的線段也相等.

依據被截的兩條直線的位置關系，可以分五種圖形狀況（如圖1-圖5）：

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.

在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC，則DE=EF

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.

在△ACF中，CFBE//，AB=BC

，則AE=EF

（5）三角形和梯形的中位線定理

三角形的中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

如圖，D,E分別為AB,AC的中點，則BC//DE，DE=BC

梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半。

梯形ABCD中，AD//BC，E,F分別是AB,CD的中點，則EF//AD//BC，EF=(AD+BC)

練習

如圖，已知△ABC中，DE∥BC，則下列等式中不成立的是（

）AD：AB＝AE：AC

（B）AD：DB＝AE：EC

（C）AD：DB＝DE：BC

（D）AD：AB＝DE：BC

如圖，DF∥AC,DE∥BC,下列各式中正確的是（

）

(B)

(C)

(D)

3,如圖，已知ΔABC中，DE∥BC,AD2=AB?AF，求證∠1=∠2

4,已知ΔABC中,AD為∠BAC的外角∠EAC的平分線，D為平分線與BC延長線交點，求證:

5,設點F在平行四邊形ABCD的邊CB的延長線上，DF交AB于點E，求證

AE:AD=AB:CF

【課后練習】

已知:

a:b:c=3:5:7且