彈性力學李li@課程簡介

教材《工程彈性力學基礎》周道祥張偉林編著合肥工業大學出版社

參考書彈性力學復習及解題指導王俊民同濟大學出版社彈性力學徐芝綸高等教育出版社彈性力學楊桂通高等教育出版社工程彈性力學趙學仁北京理工大學出版社工程彈性力學黃炎清華大學出版社鐵木辛柯（Timoshenko）彈性理論科學出版社

CarlosA.Felippa.Introductiontofiniteelementmethods.Colorado,2004課程計劃與成績評定第一章緒論第二章平面問題的基本理論第三章用直角坐標解平面問題第四章用極坐標解平面問題第五章有限單元法解平面問題考核方式：平時成績（30%）+期末考試（70%）第一章緒論

研究對象和任務基本假設基本概念發展歷史

§1.1

彈性力學的內容

§1.2

彈性力學的基本假設

§1.3

彈性力學的基本概念

§1.4

彈性力學的發展和主要解法目錄彈性力學，是變形體力學的一個重要組成部分。

基本任務—研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內部所產生的應力、形變和位移及其分布情況等。§1.1

彈性力學的內容材料力學─研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉和組合變形等問題。

彈性力學─研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結構等問題。

結構力學─在材料力學基礎上研究桿系結構

（如桁架、剛架等）。

課程

研究對象

研究任務

材料力學

桿狀構件分析彈性構件在彈性階段的應力和位移，校核強度、剛度和穩定性

結構力學桿系，即：桿狀構件組成的結構

彈性力學一般性構件（桿、板、殼、塊體）及結構三種力學體系的對比研究采用的假設彈力：物理問題－基本假設－力學模型－數學模型－解答。精確分析和精確結果材力：基本假設+附加簡化假設－例如平截面假設、剪力分布假設等。結構力學：附加簡化假設－例如分層法忽略各層框架相互影響假設不同－求解難度不同；結果的復雜程度也不同

工程應用(設計)和理論研究的思維方式不同最后的數學問題彈力：三維數學問題，綜合分析的是偏微分方程邊值問題。材力：一維數學問題，求解的基本方程是常微分方程。研究方法彈力:從微分單元體入手,僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分附加假定。材力：借助于直觀和實驗現象作一些假定，如平面假設等，然后由靜力學、幾何關系、物理方程三方面進行分析。結果不同：彈性力學求解微分方程得出較精確的解答；材料力學建立的是近似理論，得到的是近似的解答；例1：分析深度和跨度相同的直梁在橫向荷載作用下的彎曲。彈性力學與材料力學比較按材料力學，應用平面截面假設，得出橫截面上的正應力（彎應力）,按直線分布（M(y-3h)/I）；彈性力學分析的結果并不是按直線分布，而是按曲線變化的。彈性力學與材料力學比較因此，材料力學給出的最大正應力誤差很大例2：分析有孔拉伸構件凈截面上的拉應力分布。彈性力學與材料力學比較按材料力學，通常假定拉應力在凈截面上均勻分布；彈性力學分析的結果，遠不是均勻分布，而是在孔的附近發生高度的應力集中，孔邊的最大拉應力會比平均拉應力大出幾倍。彈性力學與材料力學比較應用于非桿件工程結構的力學分析；現代大型工程結構中安全性和經濟性評價與分析；彈性力學在機械、水利、土木、航空等工程學科中占有重要地位；彈性力學的工程應用領域建筑工程水利工程航空航天工程船舶機械工程桿、板、塊體組合結構

§1.1

彈性力學的內容

§1.2

彈性力學的基本假設

§1.3

彈性力學的基本概念

§1.4

彈性力學的發展和主要解法目錄基本假設是學科的研究基礎。超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研究。彈性力學基本假設為什么要提出基本假定？

任何學科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素建立計算模型歸納為學科的基本假定。1.2

彈性力學的基本假設連續性假設均勻性假設各向同性假設完全彈性假設小變形假設無初始應力的假設1.

連續性假設

——假設所研究的整個彈性體內部完全由組成物體的介質所充滿，各個質點之間不存在任何空隙。——變形后仍然保持連續性。根據這一假設，物體所有物理量，例如位移、應變和應力等均為物體空間的連續函數。微觀上這個假設不成立——宏觀假設。2.

均勻性假設

——假設彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。——物體的彈性性質處處都是相同的。物體各個部分的物理性質不隨坐標位置的變化而改變。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內部均勻分布，從宏觀意義上講，可以視為均勻材料。3.各向同性假設

——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質，這就是說物體的彈性常數將不隨坐標方向的改變而變化。——宏觀假設，材料性能各向同性。當然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。——這些材料的研究屬于復合材料力學研究的對象。材料力學性能參數由36個減少為2個。4.完全彈性假設

——對應一定的溫度，如果應力和應變之間存在一一對應關系，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史無關，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學研究限于線性的應力與應變關系。研究對象的材料彈性常數不隨應力或應變的變化而改變。消除時間因素對變形體的影響。——假設物體處于自然狀態，即在外界因素作用之前，物體內部沒有應力。彈性力學求解的應力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產生的。5.

無初始應力假設

6.

小變形假設

——假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。——在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。——忽略位移、應變和應力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。彈性力學的基本假設：連續性、均勻性、各向同性、完全彈性、自然應力狀態和小變形假設都是關于材料變形的宏觀假設。彈性力學問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設。這些基本假設被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。彈性力學的基本假設

§1.1

彈性力學的內容

§1.2

彈性力學的基本假設

§1.3

彈性力學的基本概念

§1.4

彈性力學的發展和主要解法目錄X、Y、Z為體力矢量在坐標軸上的投影單位：N/m3kN/m3——體力分布集度xyzO

F

是坐標的連續分布函數；

F

的加載方式是任意的

(如：重力，磁場力、慣性力等)

X、Y、Z

的正負號由坐標方向確定。一、外力:

其他物體對研究對象（彈性體）的作用力。1.體力：分布在物體體積內的力，如重力、慣性力等。體力大小一般用彈性體內單位體積所受力的大小表示，稱體力的集度。2.

面力作用于物體表面單位面積上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐標軸上投影單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)

F是坐標的連續分布函數；

F的加載方式是任意的;

的正負號由坐標方向確定。內力

物體承受外力作用，其內部各部分之間產生相互作用，即為內力。為了顯示出這些內力，用一截面截開物體，并取出其中一部分：其中一部分對另一部分的作用，表現為內力，它們是分布在截面上分布力的合力。1.內力包括力和力矩2.內力同時與位置和截面有關3.彈性力學中，內力是應力的積分。4.內力的計算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計算內力的截面暴露出來，通過平衡關系計算截面內力F。

2、應力應力：內力的集度，即單位面積上的內力。取截面的一部分，它的面積為ΔA，為物體在該截面上ΔA點的應力ΔFΔA平均集度為ΔF/ΔA，其極限作用于其上的內力為ΔF，全應力p

、正應力σ

、切應力τ

通常將全應力p沿垂直于截面和平行于截面兩個方向分解為pτ正應力σ剪（切）應力τ與物體的變形和材料強度直接相關的是正應力σ和切應力τ。σyxyzoσxσz正應力σ

圖示單元體面的法線為y,稱為y面，應力分量垂直于單元體面的應力稱為正應力。正應力記為σy,沿y軸的正向為正,其下標y表示所沿坐標軸方向。剪（切）應力τ

平行于單元體面的應力稱為切應力，用τyx

、τyz表示，其第一下標y表示所在的平面，第二下標x、z分別表示沿坐標軸的方向。如圖示的τyx、τyz。xyzoτyzτyxσyxyzo（2）符號規定：正面和負面：截面外法線與坐標軸正方向一致，則該面為正面，反之，如果截面外法線與坐標軸負方向一致，則該面為負面。正面正面正面NNN應力的符號：正面上的應力沿坐標軸正向為正，沿坐標軸的負向為負；負面上的應力沿坐標軸負向為正，沿坐標軸的正向為負。即：“＋＋”＝“＋”；“－－”＝“＋”“＋－”＝“－”；“－＋”＝“－”xyzox、y、z負面上的正的應力分量的表示如圖所示。xyzo可見：正應力以拉應力為正，壓應力為負，與材料力學的符號一致。正、負面上，正的應力分量正、負面上，負的應力分量彈性力學材料力學注意彈性力學切應力符號和材料力學是有區別的，圖示中，彈性力學里，切應力都為正，而材料力學中相鄰兩面的的符號是不同的。在畫應力圓時，應按材料力學的符號規定。應力分量描述一點的應力狀態，通常圍繞該點取一微小的正平行六面體，其棱邊分別平行于三個坐標軸。各面上的應力用沿坐標軸的分量來表示，稱為應力分量。

相對平面上的應力分量在略去高階小量的意義上大小相等，方向相反。xyzo應力不僅和點的位置有關，和截面的方位也有關，不是一般的矢量，而是二階張量。（4）切應力互等定律即τxy＝τyx

,τyz

＝τzy,

τzx

＝τxz證明：連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力矩平衡方程：同理可得：得：例：平面問題中正的應力應力與面力，在正面上，兩者正方向一致，在負面上，兩者正方向相反。例：應力與面力正方向的關系彈力與材力相比，正應力符號，相同切應力符號，不同材力：以拉為正材力：順時針向為正例：彈力與材力中應力符號對比已知單元體各面上的應力分量，試在單元上標出方向與數值。應力的概念－舉例3.應變1.線應變:過該點取三個正交微分線段研究,如圖所示：(1)應變分量沿x方向沿y方向

沿z方向線應變符號規定伸長為正縮短為負。(與正應力的正負號規定相對應）

沿兩個坐標軸正向之間的直角變小為正,變大為負。（與剪應力正負號規定相對應）(1)剪應變分量角度的變化－與材料力學相同。2、剪應變：(2)剪應變符號規定所以應變分量共有六個:剪應變例：分析如圖所示微分體(PA固定)的應力應變狀態。一點應變狀態xyzOPBCA四.位移：物體內任一點位置的移動。一般用在三個坐標中的投影表示，符號：變形前變形后對比材料力學的位移：彈性力學位移是針對點的，不存在角位移。量綱：m或mm剛體位移：物體內部各點位置變化，但仍保持初始狀態相對位置不變變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內部各個點的相對位置。位移形式坐標軸正向為正,負向為負。位移的符號規定

§1.1

彈性力學的內容

§1.2

彈性力學的基本假設

§1.3

彈性力學的基本概念

§1.4

彈性力學的發展和主要解法目錄1、發展初期（約于1660－1820）

這一時期的研究工作主要是通過實驗方法探索物體的受力與變形之間的關系。

1678年，胡克（R.Hooke）通過實驗發現胡克定律；伯努利（1705年）和庫侖（1776年）研究了梁的彎曲理論。

1807年，楊通過實驗提出和測定了材料的彈性模量；

§1.4

彈性力學的發展和主要解法彈性力學的發展大致可分為四個時期：2、理論基礎的建立（約于1821－1855年）

這個時期建立了線性彈性力學的基本理論，并對材料性質進行了深入研究。

1820年，納維建立了各向同性彈性體的方程，其中只有一個參數；

1828年，柯西提出應力、應變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律。柯西的工作是近代彈性力學的一個起點，使得彈性力學成為一門獨立的固體力學分支學科。

3、線性理論發展時期（約于1854－1907年）這個時期主要是數學家和力學家應用已建立的線性理論去解決工程實際問題。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉和彎曲的基本理論，提出了圣維南原理；圣維南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾里（G.B.Airy）提出了應力函數，以求解平面問題；1882年，赫茲建立了接觸應力理論，求解了接觸問題；赫茲（H.Hertz）1850年及以后，基爾霍夫建立了平板理論，解決了平板的平衡和振動問題；生於德國。曾在海登堡大學和柏林大學任物理學教授，他發現了電學中的“基爾霍夫定理”，同時也對彈性力學，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻。基爾霍夫(G.R.Kirchoff)4、彈性力學更深入的發展時期（1907年至今）

1907年后，非線性彈性力學迅速發展。1907年，卡門提出了薄板的大撓度問題；卡門和錢學森提出了薄殼的非線性穩定問題；力學工作者提出了大應變問題、非線性材料問題（塑性力學等）。1933年，穆斯海里什維利發展了應用復變函數理論求解彈性力學問題的方法等。另一個重要理論成果是建立能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計算方法。許多科學家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻。中國科學家錢偉長、錢學森、徐芝倫、胡海昌等在彈性力學的發展，特別是在中國的推廣應用做出了重要貢獻。錢偉長錢學森胡海昌徐芝綸楊桂通彈性力學的研究方法根據已知彈性體的邊界形狀、彈性常數、物體所受的體力，以及邊界上的面力和約束，來求解彈性體內的應力、形變和位移的未知函數。彈性力學問題究竟是如何求解的呢？物體的形狀、尺寸、體力、面力、約束情況、材料的物理常數。應力、應變、位移共15個函數。已知量和待求量(1)已知量(2)待求量1、解析法：根據靜力學、幾何學和物理學等條件，建立區域內的微分方程和邊界條件，用數學分析方法求解微分方程的邊值問題，得出的解答是精確的函數解；2、變分法（能量法）：根據變形體的能量極值原理，導出彈性力學的變分方程，并進行求解。所得解大多是近似的。3、差分法：將導出的微分方程及邊界條件化為差分方程（代數方程）進行求解，是微分方程的近似數值解法。彈性