第4章桿件變形分析4.1桿件軸向拉壓變形4.3積分法求梁彎曲變形4.4疊加法求梁彎曲變形4.5提高梁彎曲剛度的一些措施目錄14.2圓桿扭轉變形·剛度條件§1桿件軸向拉壓變形1.縱向變形

22.橫向變形泊松比橫向應變上述比例關系成立的應力條件：單向應力狀態，線彈性范圍內.

當時當時33.正應變與正應力的關系——虎克定律前面已知:當EA---抗拉(壓)剛度應用：（1）當FN、EA在分段內不變化時（2）當FN(x),A(x)取dx段后再積分。（3）利用桿件的變形可計算節點的位移。E---彈性模量同一材料制成的拉壓桿，正應變隨截面位置的變化——由正應力確定當

時解:內力計算FN(x)=F+gAxFxF應力計算變形計算※注意內力為x的函數已知:F,l,A,E,g，求：例題1.14例題1.2

AB長2m,面積為200mm2。AC面積為250mm2。E=200GPa。F=10kN。試求節點A的位移。解：1)計算軸力。（設斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節點A為研究對象2)根據胡克定律計算桿的變形。AF300斜桿伸長水平桿縮短53)節點A的位移（以切代弧）AF30067§2圓桿扭轉變形

·剛度條件1.扭轉變形②若兩截面間值變化，則應分段應用上式任意相距

dx

兩截面間相對扭轉角相距

l兩截面間相對扭轉角①若兩截面間值均不變(常數):l代數求和（離散變化）或積分（連續變化）x8階梯形圓軸,求解：T（N·m）[例2.1]（思考：代數和＋－？）1400620ACB1400N·m620N·m780N·m9ACBLM已知m[例2.2]xxT(x)解：T圖前已解出：dx(微段dx

的相對扭轉角）(A-B相對扭轉角=無數微段相對扭轉角集合）求A、B間相對扭轉角鉆桿，（已知L

、G、IP

）設工件阻力矩m沿桿長度均勻分布.（思考:如何求A-C之間相對扭轉角?）mdφ10單位扭轉角：2.剛度條件GIp反映截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面抗扭剛度（許用單位扭轉角）剛度條件

軸類零件除滿足強度條件外，還不應有過大的扭轉變形，如：工程中扭轉變形可通過單位扭轉角控制

車床絲杠、磨、鏜床傳動軸若扭角過大，則易影響進刀或引起扭振，影響加工精度、光潔度11500400P1P3P2

ACB

[例2.3]某傳動軸設計要求轉速n=500r/min，輸入功率P1=368KW，輸出功率分別P2=147KW,P3=221KW，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m

，試確定：①AB

段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應為多少？解：①扭矩圖Tx–7.024–4.21(kNm)7.0244.212.814③主動輪與從動輪如何安排合理？12

.由剛度條件：綜上：②全軸選同一直徑時.由強度條件：–7.024–4.21G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m(kNm)T13Tx–4.21(kNm)2.814T–7.024–4.21(kNm)500400

ACB

500400

ACB

③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應

該換位.7.0244.212.8147.0244.212.814換位后,扭矩圖所示,軸此時最大直徑為75mmx14（連續光滑)①轉角②撓度撓曲線撓度－轉角關系：截面形心x方向位移極微小,忽略不計(小變形)彎曲前后，橫截面始終垂直于軸線——

（導數之幾何意義）截面繞中性軸轉過的角度.截面形心的豎向位移,截面間夾角＝軸線間夾角逆時為正向上為正.1.梁的撓度和轉角§3積分法求梁彎曲變形

15

曲率-曲線

微分關系：略去高階小量2.撓曲線近似微分方程(考慮全梁各個截面)xo

中性層曲率半徑M(x)>0＋－號—與坐標取向、有關彎矩符號規定——二階撓曲近似微分方程

16撓曲線近似微分方程：再積分一次撓度方程：二階線性非齊次——逐次積分，降階積分一次轉角方程：3.用積分法求彎曲變形

17

積分常數由梁支承條件和連續條件確定：（-彈簧變形）裂斷1)支承條件2)連續條件AAAAA分界點A

18ABqC

[例3.1]求轉角和撓度方程，并求最大轉角和撓度（θ）dxdwEI=（梁EI已知）1）列撓曲微分方程解3）定積分常數支承條件連續條件2）積分代入ABqC4）轉角方程和撓度方程5）最大轉角和最大撓度∴1）各段M(x)按同一側算；若遵循：各積分常數將兩兩相等2）積分時均不打開括號（

x－a）19

20b*[例3.2]求梁轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和撓度（EI已知，l=a+b，a>b

）解1）求反力,分段：2）彎矩、微分方程并積分3）定積分常數連續條件支承條件02=)(lwlFb(1)（2）(1)（2）(1)（2）

214）轉角方程和撓度方程代入解出1）各段M(x)按同一側算；若遵循二規律：可得各積分常數兩兩相等2）積分時均不打開括號（

x－a）B

225）最大轉角和撓度分析

wmax

位置：……結論:對簡支梁，荷載作用點對wmax

位置影響不大.b=0,b=l/2,其余當在二者之間；且wmax與跨中w相比誤差不超過3％bx=0.5l.x=0.577l;(令)不論荷載作用在何處（只要同向），均可認為wmax

發生在跨中。§4疊加法求梁彎曲變形設某梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為q

，撓度為w，則有：若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉角為，撓度為，則有：7-423

載荷較多時，積分法計算繁雜——疊加法較簡便待定積分常數較多（n段2n個常數）若干個載荷（包括外力偶、分布力）作用時，小變形，材料線彈性——M與F成正比（w、θ

）是荷載（

F、M、q）的一次（線性）函數各載荷單獨作用產生的位移彼此獨立，互不影響由于梁的邊界條件不變，因此24由彎矩的疊加原理知：所以，重要結論：若干個載荷共同作用產生的位移（撓度或轉角），（變形疊加原理）線性函數的疊加原理（各簡單荷載下梁的w、θ——P83表）等于各載荷分別單獨作用位移的代數和

25梁受力如圖，q、l、EI均已知,求C

截面撓度wC

；B截面轉角B1）載荷分解2）查表得三情形下wC

、B解qlql/2ABCl/2ql2qqll/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx[例1]ql2

263）疊加，將各載荷作用結果求和

qlql/2ABCl/2ql2qqlql2l/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx[例2]求圖示懸臂梁的yc組合方法一：增減載荷法CABCBAC（1）CB（2）27先假設BC段剛性，只有AB段變形再考慮BC段的變形(AB段剛性)ABCBACCAB=+牽帶位移組合法二：逐段剛化法28F1)B2)ABqC解F=qa懸臂梁受力如圖示,q、l、EI均已知.求B截面轉角、撓度,梁上載荷分成1）2）AC變形不受BC影響（自由且無外力）查表1）[例3]BC本身無變形2）分兩段分析：但有剛體位移（隨C剛體轉動）3）疊加

qaaABC（無M/零曲率）,29[例4]F=qaaDaaBAq解疊加法求,先將載荷分成情形1、2DBAF1)qDBA2)挑臂對內跨變形無影響1）2）3）疊加

BD位移由兩部分組成：+自身變形（形似懸臂）挑臂隨內跨作剛體轉動30

31DBAq2）討論:疊加法求變形有什么優缺點？qaaaa

321.剛度條件建筑鋼梁的許可撓度：機械傳動軸的許可轉角：精密機床的許可轉角：§5梁剛度條件·提高剛度措施

331）由撓度表中查B處轉角：解2）由剛度條件定軸徑：alCBAdF[例5.1]已知鋼制圓軸左端受力

F＝20kN，a＝1m，l＝2m，E=206GPa。軸承B處許可轉角θ

=0.5°

根據剛度要求確定軸直d.根據要求軸須有足夠