材料成型計算機應用軟件楊敏手機-mail:miny@第一章有限元分析理論基礎第二章ANSYS基本使用方法第三章梁、支架結構的靜力線性分析第四章平面問題靜力線性分析第五章板、殼類結構靜力線性分析第六章三維實體結構靜力線性分析第七章結構靜力非線性分析第一章有限元分析理論基礎1.有限元分析基礎知識有限元是一門以結構力學和彈性力學為理論基礎，以計算機為媒體，以有限元程序為主體，對大型結構工程的數值計算方法。有限元法：利用數學近似的方法對真實物理系統（幾何和載荷工況）進行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統。目的：在工程設計階段分析應力和應變是否滿足工程的要求。物理系統舉例

幾何體

載荷

物理系統結構熱電磁真實系統有限元模型有限元模型

有限元模型是真實系統理想化的數學抽象。定義自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一個物理場的響應特性。結構DOFs結構 位移熱

溫度電 電位流體壓力

磁 磁位方向 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ節點和單元(1)節點:

空間中的坐標位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:

每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。作為一個整體，單元形成了整體結構的數學模型。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節點連接，并承受一定載荷。載荷載荷直齒圓柱齒輪輪齒應力分析（a）有限元模型（b）最大切應力等應力線3維實體的4面體單元劃分平面的三角形單元劃分3維實體的6面體單元劃分單元（element)：網格。節點(node)：網格間相互聯結交點。邊界(boundary)：網格與網格的交界線。節點和單元(2)信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。分離但節點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進行節點合并處理）具有公共節點的單元之間存在信息傳遞

...AB........AB...1node2nodes有限元的核心思想是結構的離散化，就是將實際結構假想地離散為有限數目簡單單元的組合體，實際結構的物理性能可以通過對離散單元進行分析，得出滿足工程精度的近似結果來替代對實際結構的分析。外力：作用在物體外部的力。（重力等）內力：在外力作用下，物體內部不同部分之間的相互作用力。物體橫截面上的合力。位移：在外力作用下物體的整體變形量。桿件：長度遠遠大于橫截面高度的構件。結構力學：研究由許多桿件組成的桿系的內力，位移。材料性質的簡化：一般均假設為連續、均勻、各向同性、完全彈性或彈塑性。1.1、力學基本概念的介紹應力：物體橫截面上單位面積上的內力。應力=內力/橫截面面積應變：單位長度上的位移。應變=位移/構件長度彈性階段：去除外力物體還能恢復到外力作用前的形狀。例：彈簧彈塑性階段：去除外力物體不能恢復到外力作用前的形狀。例：拉面彈性力學：研究非桿件（板，殼等）物體在彈性階段的應力，應變。例：黑板，雞蛋殼板：厚度不大于寬度十分之一的構件。膜：厚度不大于寬度100分之一的結構。強度：物體能夠承受的最大應力。（用于校核結構的安全性）剛度：物體產生的最大位移。（用于校核結構的適用性）有限元分析(FEA，FiniteElementAnalysis)即使用有限元方法來分析靜態或動態的物體或系統。1.1.1結構的簡化1)支座的簡化(1)活動鉸支座（滾軸支座、輥軸支座）FAAAAFAy

結構的約束，自由度(2)固定鉸支座（不動鉸支座）FAFAyFAxAAAAFAy

FAx(3)固定支座(4)定向支座（滑動支座，雙鏈桿支座）AAAMAFAxFAyFAyMAMA2)結點的簡化(1)剛結點：其變形特征和受力特點是，匯交于結點的各桿端之間不能發生相對轉動；剛結點處不但能承受和傳遞力，而且能承受和傳遞力偶。A角度

不變

FAyFAyFAxFAxMAMA(2)鉸結點：其變形特征和受力特點是，匯交于結點的各桿端可以繞結點自由轉動；在鉸結點處，只能承受和傳遞力，而不能傳遞力偶。FAyAFAyFAxFAxA角度可變(3)組合結點（又稱不完全鉸結點或半鉸結點）：在同一結點上，部分剛結，部分鉸結。組合結點

A3)荷載與變形：

靜力載荷、動力載荷，表面載荷、內載荷，分布載荷、集中載荷，內力、位移，應力、應變等。

1).

靜力荷載：其大小、方向和位置不隨時間變化或變化極為緩慢，不會使結構產生顯著的振動，因而可略去慣性力的影響。恒載以及只考慮位置改變而不考慮動力效應的移動荷載都是靜力荷載。

2).

動力荷載：隨時間迅速變化的荷載，使結構產生顯著的振動，因而慣性力的影響不能忽略，如往復周期荷載（機械運轉時產生的荷載）、沖擊荷載（爆炸沖擊波）和瞬時荷載（地震、風振）等。桁架：桁架由直桿組成，所有結點都為理想鉸結點。當僅受結點集中荷載作用時，其內力只有軸力（拉力和壓力）。

1.1.2基本結構單元1)桿單元 二力桿單元位移、力，自由度2)梁單元 位移、力（力矩）自由度梁：梁是一種受彎構件，其軸線通常為直線。梁有單跨的和多跨的。其內力一般有彎矩和剪力，以彎矩為主。3)剛架單元剛架：剛架由梁和柱組成，結點多為剛結點。其內力一般有彎矩、剪力和軸力，以彎矩為主。

位移、力（力矩）自由度三節點三角形單元4)平面問題單元單元形狀、節點數目、節點自由度3)空間單元20節點6面體單元1.2有限元法分析計算的思路和步驟：1.2.1物體離散化將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，這一步又稱作單元剖分或網格劃分。離散后單元與單元之間利用單元的節點相互連接起來；單元節點的設置、性質、數目等應視問題的性質，描述變形形態的需要和計算進度而定。單元劃分后，有限元分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式聯接成的離散物體。用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情況相符合。真實的二次曲線.節點單元二次曲線的線性近似

(不理想結果).2節點單元DOF值二次分布..1節點單元線性近似(更理想的結果)真實的二次曲線.....3網格劃分的好壞將直接影響到計算結果的準確性和計算進度，甚至會因為網格劃分不合理而導致計算不收斂。網格的劃分主要取決于專業知識和經驗積累。一個水平高的FEA工程師，80%的時間是用在網格劃分上。對于一般的問題，各種FEA軟件均能自動的進行合理的網格劃分。Hypermesh是目前最好的劃分網格工具。1.2.2單元特性分析1）選擇求解方法節點位移法是選擇節點位移作為基本未知量的求解方法；節點力法是選擇節點力作為基本未知量的求解方法；混合法是取一部分節點力和一部分節點位移作為基本未知量的求解方法。位移法易于實現計算自動化，因而在有限單元法中位移法應用范圍最廣。當采用位移法時，物體與結構物離散化之后，就可把單元中的一些物理量如：位移、應變和應力由節點位移來表示。這時可以對單元中位移的分布采用一些能逼近原函數予以描述，通常，有限元法中我們將位移表示成坐標變量的簡單函數，這些函數就成為位移模式或位移函數。2）分析單元的力學性質根據單元的材料性質、形狀、尺寸、節點數目、位置及其含義等，找出單元節點力和節點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。節點位移節點力取決于材料性質、形狀、尺寸qq3）計算等效節點力：將外在的負載力等效到各個節點上。物體離散化后，假定力是通過節點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節點上去，也就是用等效的節點力來代替所有作用在單元上得力。彈性體有限元模型1.2.3單元組集利用結構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程。對由各個單元組成的整體進行分析，建立節點外載荷與結點位移的關系，以解出節點位移，這個過程為整體分析。i節點的節點力：i節點的平衡方程：集中力單元節點力將所有單元組合起來得到整體的方程：[K]{q}={F}

[K]——整體剛度矩陣；{q}——全部結點位移組成的列陣；{F}——全部結點荷載組成的列陣。

在位移法中，只有{δ}是未知的，求解該線性方程組就可得到各結點的位移。將結點位移代入相應方程中可求出單元的應力分量。有限元法不僅可以求結構體的位移和應力，還可以對結構體進行穩定性分析和動力分析。例如，結構體的整體動力方程：

[M]{q}+[C]{q}+[K]{q}={F}

[M]——整體質量矩陣；[C]——整體阻尼矩陣；[K]——整體剛度矩陣；{q}——整體結點位移向量；{F}——整體結點荷載向量。

求出結構的自激振動頻率、振型等動力響應，以及動變形和動應力等。1.2.4求解未知節點位移可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。傳統有限元分析的數值計算方法之中，有直接計算法（DirectSolver）與迭代法（Iterative）兩種。由于在過去的經驗中，迭代法一直無法直接而有效的保證數值計算的收斂性，因此，直接計算法在多數有限元分析軟件中，仍然是一種主流的計算方法。1.2.5有限元法的過程2

結構靜力分析的有限元單元法2.1.1直接方法直接方法是直接應用物理概念來建立單元的有限元方程和分析單元特性的一種方法。這種方法僅能用于簡單形狀單元，如梁單元。2.1單元特性的導出方法找出所劃分的單元的剛度矩陣。一般說來，建立剛度矩陣的方法有：1）直接方法；（2）虛功原理法；（3）能量變分原理法；（4）迦遼金法。平面鋼架和它的計算模型EI:梁的抗彎剛度；A:截面面積。對于平面彎曲問題，每個點處的位移有兩個，即撓度和轉角，相應的節點力有剪應力和彎矩。對圖(b)所示的支承點I,j它們的節點位移和節點力可分別寫成：vi

、θzi、vj、θzj和Fyi、Mzi、Fyj、Mzj。寫成矩陣形式為：qe=[vi

θzivjθzj]Tfe=[FyiMziFyjMzj]FyiMziFyjMzjk11k12k12k14k21k22k22k24k31k32k32k34k41k42k42k44vyiθzivjθ

zj=fe=KeqeKe稱為單元剛度矩陣。單元剛度矩陣中任一元素kij表示j號自由度對i號節點力的貢獻。由功的互等定理有kij=kji，單元剛度矩陣是對稱的對上面的平面彎曲問題，可以計算出各kij的數值。假設：Vi=1,θzi

=vj=θzj=0Vi=Fyil3/(3EI)-Mzil2/(2EI)=1θzi=-Fyil2/(2EI)+Mzil/(EI)=0Fyi=12EI/l3=k11,Mzi=6EI/l2=k21Fyi=-Fyj,Mzj=Fyil-Mzi得Fyj=-12EI/l3=k31,Mzj=6EI/l2=k41假設：θzi=1,Vi=vj=θzj=0同理可得K12=6EI/l2k22=4EI/lk32=-6EI/l2K42=2EI/l類似地可求得K13=-12EI/l3k23=-6EI/l2k33=12EI/l3K43=-6EI/l2K14=6EI/l2k24=2EI/lk34=-6EI/l2K44=4EI/l

126l-126l

6l4l2-6l2l2Ke=EI/l3-12-6l12-6l6l2l2-6l4l2再考慮單元的梁端軸向位移和梁端軸向力關系，有：Fxi=（EA/l）ui-（EA/l）ujFxj=-（EA/l）ui+（EA/l）uj2.1.2虛功原理法以平面問題的三角形單元為例，說明其方法步驟。1）設定位移函數設三節點三角形單元內的位移函數為：d（x,y)=[u(x,y)v(x,y)]T

它是未知的。當單元很小時，單元內一點的位移可以通過節點的位移插值來表示。假設單元內的位移為x,y的線性函數，得u(x,y)=a1+a2x+a3yV(x,y)=a4+a5x+a6yui=a1+a2xi+a3yivi=a4+a5xi+a6yiuj=a1+a2xj+a3yjvj=a4+a5xj+a6yjuk=a1+a2xk+a3ykvi=a4+a5xk+a6ykuiviujvjukvk為了能用單元節點位移qe表示單元內某點位移d,即把d(x,y)表達成節點位移插值函數的形式，應解出a=C-1q

e。用矩陣求逆法求出A是三角形的面積

1xi

yi2A=1xjyj

=(xj-xi)(y

k-yj)-(x

k-xj)(y

j-yi)1xkykai=xjyk-xkyjaj=xkyi-xiykak=xiyj-xjyibi=yj-ykbj=yk-yibk=yi-yjci=xk-xjcj=xi-xkck=xj-xi為不使A為負值，i,j,k

的順序必須按逆時針方向標注。把a的表達式代入得Ni0Nj0Nk00Ni0Nj0Nk

d=NqeNi=(ai+bix+ciy)/2ANj=(aj+bjx+cjy)/2ANk=(ak+bkx+cky)/2A2）由位移函數求應變由彈性力學可知3）根據虎克定律，通過應變求應力4）由虛功原理求單元的剛度矩陣虛功原理：當結構受載荷作用處于平衡狀態時，在任意點給出的節點虛位移下，外力（節點力）Fe及內力σ所作的虛功之和應等于零，即：δWF+δWσ=0設單元節點上任意虛位移為：單元內各點相應的虛位移為δu,δv和虛應變為：單元節點力的虛功：內力虛功：V-單元體積。代入B及D，得平面應力問題三角形單元剛度矩陣為：2.2

用三角形單元進行靜力分析的實例例：如圖所示的一平面墻梁。載荷沿梁的上邊均勻分布，其單位長度上的均布載荷p=100N/cm，假定μ=0，墻梁的厚度t=0.1cm。在不計自重情況下，試求其位移和應力。1)單元劃分圖中節點3，4處于墻梁的對稱軸線上，由于結構與受力的對稱性，節點3，4在x方向無位移。作用在上邊的均布載荷轉移到1，4節點上，其值為300N。2）計算單元剛陣對于單元1對于單元23）組成整體剛度矩陣（或總體剛度矩陣）按節點位移序號組成整體結構的剛度矩陣4）邊界條件處理對稱軸上u3=u4=0；u2=ν2=0;剛度矩陣縮減為：節點力列陣f=[0-30000000-300]T縮減為fr=[0-3000-300]T5)線性方程組的建立與求解將fr，Kr之值代入fr=Krqr，得6)單元應力分量的計算單元的應力公式為：對單元1對單元28）單元應力分量的計算單元的應力公式為：7）線性方程組的建立與求解將fr，Kr之值代入fr=Krqr，得3有限元分析方法的發展歷史在大力推廣CAD技術的今天，從自行車到航天飛機，所有的設計制造都離不開有限元分析計算，FEA在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。國際上早在20世紀50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發具有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局（NASA）在1965年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統公司開發的NASTRAN有限元分析系統。該系統發展至今已有幾十個版本，是目前世界上規模最大、功能最強的有限元分析系統。目前應用較多的通用有限元軟件如下表所列：另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結構分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動力學分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結構分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件MSC-NASTRAN軟件在航空航天領域有著很高的地位，目前世界上規模最大的有限元分析系統。ANSYS軟件致力于耦合場的分析計算，能夠進行結構、流體、熱、電磁四種場的計算。ADINA由于其在非線性求解、流固耦合分析等方面的強大功能，迅速成為有限元分析軟件的后起之秀，現已成為非線性分析計算的首選軟件。4國際上有限元分析方法的發展趨勢

4.1

與CAD軟件的無縫集成許多商業化有限元分析軟件都開發了和著名的CAD軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE軟件為了實現和CAD軟件的無縫集成而采用了CAD的建模技術，如ADINA軟件由于采用了基于Parasolid內核的實體建模技術，能和以Parasolid為核心的CAD軟件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）實現真正無縫的雙向數據交換。4.2更為強大的網格處理能力(技術難題，關鍵步驟)有限元法求解問題的基本過程主要包括：分析對象的離散化、有限元求解、計算結果的后處理三部分。結構離散后的網格質