第二章z變換2.1引言2.2z變換的定義及收斂域2.3z反變換2.4z變換的基本性質和定理2.5z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關系2.6序列的傅里葉變換2.7傅里葉變換的一些對稱性質2.8離散系統的系統函數及頻率響應2/3/20231回顧：2.7傅里葉變換的一些對稱性質1、序列實部和虛部的傅里葉變換序列實部的傅里葉變換等于序列傅立葉變換的共軛對稱分量；序列j倍虛部傅里葉變換等于傅立葉變換的共軛反對稱分量。2、實序列的傅里葉變換的對稱性

實部是ω的偶函數，虛部是ω的奇函數；幅度是ω的偶函數，相位是ω的奇函數。3、實序列偶對稱分量和奇對稱分量的傅里葉變換

序列偶對稱分量的傅里葉變換=傅里葉變換的實部；序列奇對稱分量的傅里葉變換=j*傅里葉變換的虛部。2/3/202322.8離散系統的系統函數及頻率響應一、系統函數二、因果穩定系統（從z變換的收斂域中判斷）三、系統函數和差分方程的關系(從差分方程中可求H(z))四、系統的頻率響應的意義五、頻率響應的幾何確定六、IIR系統和FIR系統2/3/20233一、系統函數在線性移不變系統中，h(n)表示系統的單位沖激響應，它反映了系統的特性。

H(z)稱作線性移不變系統的系統函數。2/3/20234從上面兩式可以看出：

H(z)可以通過輸入輸出序列的z變換求出，對H(z)作反變換后即可求出h(n)。

令，得h(n)的傅立葉變換（系統的頻率響應）。

在單位圓上的系統函數就是系統的頻率響應。2/3/20235二、因果穩定系統（從z變換的收斂域中判斷）

回顧因果穩定的線性移不變系統的充要條件是？單位抽樣響應是因果序列且絕對可和，即：序列絕對可和，其z變換收斂域則必須包括。單位圓2/3/20236

所以：一個因果穩定系統的系統函數H(z)的收斂域必須在從單位圓到∞的整個z域內收斂。

或：系統函數的全部極點都必須在單位圓內。判斷系統因果穩定的方法有幾種？2/3/20237三、系統函數和差分方程的關系(從差分方程中可求H(z))

線性移不變系統常用差分方程表示：取z變換得：可直接從差分方程寫出2/3/20238分析：在已知收斂域的條件下系統的特性由系數bm、ak決定。在已知收斂域的條件下系統的特性由系數cm、dk決定。注：僅有差分方程，不能唯一確定系統2/3/20239四、系統的頻率響應的意義系統單位抽樣響應h(n)的傅立葉變換稱作系統頻率響應。

對于線性移不變系統：2/3/202310對分析：也就是說，其輸出序列的傅立葉變換(頻譜)等于輸入序列的傅立葉變換(頻譜)與頻率響應的乘積。寫成極坐標的形式：2/3/202311若輸入為正弦信號，輸出也為正弦信號。2/3/202312五、頻率響應的幾何確定1、頻率響應的零極點表達式2/3/2023132/3/2023142、幾點說明

(1)表示原點處零極點，它到單位圓的距離恒為1，故對幅度響應不起作用只是給出線性相移分量ω(N-M)。

(2)單位圓附近的零點對幅度響應的谷點的位置與深度有明顯影響，當零點位于單位圓上時，谷點為零。零點可在單位圓外。

(3)單位圓附近的極點對幅度響應的峰點位置和高度有明顯影響。極點在圓外，系統不穩定。2/3/202315零點在單位圓上0和pi處；極點在處。2/3/202316[例2-14]：設一階系統的差分方程為:

，a為實數,

求系統的頻率響應。[解]:

對差分方程兩邊取z變換:2/3/202317

是因果穩定的系統嗎？單位抽樣響應？這是一因果系統，其單位抽樣響應為這個單位抽樣響應的非零值的個數是有限的嗎？如果一個離散時間系統的單位抽樣響應h(n)延伸到無窮長,這樣的系統稱作IIR系統。2/3/202318而頻率響應為:幅度響應為:相位響應為:2/3/2023192/3/2023202/3/202321

現在分析模擬頻率和數字頻率之間的對應關系根據采樣定理：信號最高頻率及模擬、數字頻率之間的關系：可知：上例中，0<a<1時，系統呈低通特性，當-1<a<0,系統呈高通特性。2/3/202322[例2-15]：設系統的差分方程為(橫向濾波器):

求系統的頻率響應。[解]:

對差分方程兩邊取z變換:2/3/202323

這個z變換既有零點又有極點：從收斂域來看：是不是因果穩定的系統？2/3/202324作z變換，可求h(n).這個單位抽樣響應的非零值的個數是有限的嗎？如果一個離散時間系統的單位抽樣響應h(n)是有限長,這樣的系統稱作FIR系統。2/3/202325

（圖形見下頁）2/3/2023262/3/202327六、IIR系統和FIR系統1、無限長單位沖激響應(IIR)系統

如果一個離散時間系統的單位抽樣響應h(n)延伸到無窮長,即n→∞時,h(n)仍有值,這樣的系統稱作IIR系統。能否從H(z)或差分方程中直接判斷出來？2/3/202328

有反饋的運算結構稱為“遞歸型”結構；IIR系統只能用“遞歸型”結構實現。2/3/202329IIR系統的分類：（1）全極點系統（自回歸系統、AR系統）系統函數的分子只有系數b0（沒有零點）。（2）零極點系統（自回歸滑動平均系統、ARMA系統）系統函數的分子有零點的IIR系統。2/3/2023302、有限長單位沖激響應(FIR)系統

h(n)為有限長序列的系統。這種系統沒有輸出到輸入的反饋，系統總是穩定的。2/3/202331FIR系統又稱全零點系統（滑動平均系統、MA系統）。為什么稱為滑動平均？

FIR系統可以用“非遞歸型”結構實現，若采用零極點相消的方法，也可以用“遞歸型”結構實現。2/3/202332回顧：2.8離散系統的系統函數及頻率響應一、系統函數

H(z)稱作線性移不變系統的系統函數。在單位圓上的系統函數就是系統的頻率響應。二、因果穩定系統（從z變換的收斂域中判斷）或：系統函數的全部極點都必須在單位圓內。判斷系統因果穩定的方法有三種。2/3/202333三、系統函數和差分方程的關系(從差分方程中可求H(z))四、系統的頻率響應的意義2/3/202334五、頻率響應的幾何確定

單位圓附近的零點對幅度響應的谷點的位置與深度有明顯影響，當零點位于單位圓上時，谷點為零。零