增分點 簡化解析幾何運算的 5個技巧中學解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，用方程的觀點來研究曲線，體現了用代數的方法解決幾何問題的優越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至會中止解題的過程，達到“望題興嘆”的地步．特別是高考過程中，在規定的時間內，保質保量完成解題的任務，計算能力是一個重要的方面．為此，從以下幾個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優化思維過程．巧用定義，揭示本質定義是導出其性質的“發源地”，解題時，應善于運用圓錐曲線的定義，以數形結合思想為指導，把定量的分析有機結合起來，則可使解題計算量簡化，使解題構筑在較高的水平上．2[典例]如圖，F1，F2是橢圓C1：x＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，4C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.2B.336C.2D.2[方法演示]解析：由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，設雙曲線 C2的實半軸長為 a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，|AF1|＋|AF2|＝4，可得|AF2|－|AF1|＝2a，解得a2＝2，22|AF1|＋|AF2|＝12，6故a＝2.所以雙曲線C2的離心率e＝2＝2.答案：D[解題師說]本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立 |AF1|，|AF2|的等量關系，從而快速求出雙曲線實半軸長 a的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量．[應用體驗]1．拋物線y2＝4mx(m＞0)的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若點A(－m,0)，則|PF||PA|的最小值為________．解析：設點P的坐標為(xP，yP)，由拋物線的定義，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)222|PF|2xP＋m2111＋yP＝(xP＋m)＋4mxP，則|PA|＝P＋m2＋4mx＝4mxP≥4mxP＝(當且x1＋xP＋m21＋2xP·m2僅當xP＝m時取等號)，所以|PF|≥2，所以|PF|的最小值為2.|PA|2|PA|2答案：22設而不求，整體代換對于直線與圓錐曲線相交所產生的中點弦問題，涉及求中點弦所在直線的方程，或弦的中點的軌跡方程的問題時，常常可以用“代點法”求解．22[典例]已知橢圓x2y2baB兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的標準方程為()x2y2x2y2A.45＋36＝1B.36＋27＝122D.x22x＋y＝1＋y＝1C.2718189[方法演示]解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，22x1y1a2＋b2＝1，①x22y22②a2＋b2＝1，x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2＝0，①－②得2＋2aby1－y222所以kAB＝bx1＋x2bx1－x2＝－a2y1＋y2＝a2.20＋1 1 b 1又kAB＝3－1＝2，所以a2＝2.2 2 2又9＝c＝a－b，2 2x y所以橢圓 E的方程為 ＋ ＝1.答案：D[解題師說]本題設出A，B兩點的坐標，卻不求出A，B兩點的坐標，巧妙地表達出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關系，從而快速解決問題．[應用體驗]122xy2．過點M(1,1)作斜率為－2的直線與橢圓C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于________．22x1y1解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則a2＋b2＝1，22x2y2a2＋2＝1，b∴x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y2＝0，a2＋b2y1－y22x1＋x2∴x－x＝－b2·＋y.2a211∵y1－y2＝－1，x＋x＝2，y＋y＝2，x∴－b21222＝－，∴a＝2b.a2又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴c＝2.a22即橢圓C的離心率 e＝2.答案：

22巧用“根與系數的關系 ”，化繁為簡某些涉及線段長度關系的問題可以通過解方程、求坐標，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關的點的同名坐標為方程的根，由根與系數的關系求出兩根間的關系或有關線段長度間的關系．后者往往計算量小，解題過程簡捷．x22[典例]已知橢圓4＋y＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點．當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由．[方法演示]解：(1)直線AM的斜率為 1時，直線 AM的方程為 y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－6，所以M－6455，5.設直線AM的斜率為k，直線AM的方程為y＝k(x＋2)，y＝kx＋2，聯立方程 x24＋y2＝1，化簡得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.16k2則xA＋xM＝1＋4k2，16k2216k22xM＝－x－22－8k2A1＋4k＝2－1＋4k＝1＋4k.2k2－8同理，可得xN＝k2＋4.由(1)知若存在定點，則此點必為P－6，0.5證明如下：2－8k2因為kMP＝yMk1＋4k2＋25k6＝2－8k26＝－2，xM＋52＋44k1＋4k5同理可計算得kPN＝5k2.4－4k所以直線MN過x軸上的一定點P－6，0.5[解題師說]2－8k2本例在第(2)問中可應用根與系數的關系求出xM＝1＋4k2，這體現了整體思路．這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設而不求，大大降低了運算量．[應用體驗]．已知橢圓：x2y2＞＞0)的離心率為1，且經過點P1，3，左、右焦點分3Cab1(ab22別為F1，F2.(1)求橢圓C的方程；(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF2B的內切圓半徑為32，求以7F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．c 1 2 2 2 2解：(1)由＝，得a＝2c，所以a＝4c，b＝3c，將點P1，3的坐標代入橢圓方程得c2＝1，2故所求橢圓方程為x2＋y2＝1.3由(1)可知F1(－1,0)，設直線l的方程為x＝ty－1，代入橢圓方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，顯然判別式大于0恒成立，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的內切圓半徑為r0，則有y1＋y2＝6t2，y1y2＝－92，r0＝32，4＋3t4＋3t7所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝12|F1F2|·|y1－y2|＝12|F1F2|·y1＋y22－4y1y2＝12t2＋14＋3t2.111|AF2|r0而S△AF2B＝|AB|r0＋|BF2|r0＋22212r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)12r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)1132122，＝r0·4a＝×8×＝7227212 t＋1 12 2 2所以 4＋3t2＝7，解得t＝1，2因為所求圓與直線 l相切，所以半徑 r＝ ＝ 2，2t＋1所以所求圓的方程為 (x－1)2＋y2＝2.借“曲線系”，理清規律利用曲線系解題，往往簡捷明快，事半功倍，所以靈活運用曲線是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一．[典例]x2y2＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝3x，它的一個焦點已知雙曲線a2－b2在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為()22B.x22x－y＝1－y＝1A.361089272222x－y＝1D.x－y＝1C.10836279[方法演示]22解析：由雙曲線xy＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝3x，可設雙曲線的方a2－b2程為x2－y2＝λ(λ＞0)．322xy2因為雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點在拋物線y＝24x的準線上，所以F(－6,0)是雙曲線的左焦點，即λ＋3λ＝36，λ＝9，22所以雙曲線的方程為x－y＝1.927答案：B[解題師說]本題利用了共漸近線系雙曲線方程，可使問題馬上得到解決．避免了復雜的判斷、可能的分類討論、繁雜的解方程組，事半功倍．[應用體驗]4．圓心在直線x－y－4＝0上，且經過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點的圓的方程為()22A．x＋y－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0解析：選A設經過兩圓的交點的圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋6x＋λy－4＋28λ6＝0，1＋λ1＋λ1＋λ其圓心坐標為－3，－3λ1＋λ1＋λ，又圓心在直線x－y－4＝0上，所以－3＋3λ－4＝0，1＋λ1＋λ解得λ＝－7，故所求圓的方程為

x2＋y2－x＋7y－32＝0.巧引參數，方便運算換元引參是一種重要的數學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關系能夠相互聯系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍．常見的參數可以選擇點的坐標、直線的斜率、直線的傾斜角等．在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件．x2y2[典例]設橢圓a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．若|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞3.[方法演示]證明：法一：依題意，直線OP的方程為y＝kx，設點P的坐標為(x0，y0)．y0＝kx0，22由條件，得x0y0a2＋b2＝1，2 2ab消去y0并整理，得x0＝k2a2＋b2.①由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，2222，得(x0＋a)＋kx0＝a整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0.－2a而x0≠0，于是x0＝1＋k2，代入①，整理得 (1＋k2)2＝4k2ab2＋4.又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞3.法二：依題意，直線OP的方程為y＝kx，可設點P的坐標為(x0，kx0)．由點P在橢圓上，得x02k2x02a2＋b2＝1.222x0kx0因為a＞b＞0，kx0≠0，所以a2＋a2＜1，即(1＋k2)x20＜a2.②由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，22－2a，整理得(1＋k)x0＋2ax0＝0，于是x0＝21＋k代入②，得(1＋k2)·4a222＜a2，1＋k解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：設P(acosθ，bsinθ)(0≤θ＜2π)，則線段OP的中點Q的坐標為acosθ，bsinθ.22|AP|＝|OA|?AQ⊥OP?kAQ×k＝－1.又A(－a,0)，所以k＝bsinθ，AQ2a＋acosθ即bsinθ－akAQcosθ＝2akAQ.從而可得|2akAQ|≤b2＋a2kAQ2＜a1＋kAQ2，解得|kAQ|＜3，故|k|＝1＞3.3|kAQ|[解題師說]求解本題利用橢圓的參數方程，可快速建立各點之間的聯系，降低運算量．[應用體驗]x2y2F1，F2，且離心率為1，5．(2018長·春質檢)橢圓2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為2ab點P為橢圓上一動點，△F1PF2面積的最大值為3.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的左頂點為A1，過右焦點F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點，連接A1A，A1B并延長分別交直線x＝4于R，Q兩點，問―→―→RF2·QF2是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．解：(1)已知橢圓的離心率為1，不妨設c＝t，a＝2t，2則b＝3t，其中t＞0，當△F1PF2面積取最大值時，點P為短軸端點，因此1·2t·3t＝3，解得t＝1，2則橢圓的方程為x2＋y2＝1.3由(1)可知F2(1,0)，A1(－2,0)．設直線AB的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x＝my＋1，聯立x2y2可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，＋＝1，436m則y1＋y2＝2，①4＋3m9y1y2＝4＋3m2，②直線AA1的方程為y＝y1(x＋2)，x1＋2直線BA1的方程為y＝y2(x＋2)，x2＋2則R4，6y1，Q，6y2，x1＋24x2＋2―→6y1―→6y2，F2R＝3，2，F2Q＝3，x2＋2x1＋―→―→6y16y2＝6y1·6y2＋9＝36y1y2＋9，則F2R·F2Q＝9＋x1＋·22x2＋2my1＋3my2＋3my1y2＋3my1＋y2＋9―→―→將①②兩式代入上式，整理得 F2R·F2Q＝0，―→―→即F2R·F2Q為定值0.1．設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()32A.3B.32C.2D．1解析：選C如圖所示，設P(x0，y0)(y0＞0)，則y20＝2px0，2y0即x0＝2p.―→ ―→設M(x′，y′)，由PM＝2MF，p得x′－x0＝22－x′，y′－y0＝20－y′，x′＝p＋x0，3化簡可得y0y′＝3.y0∴直線OM的斜率為k＝3y0＝2p≤2p＝2＝2p時取等＝22p＋x0p＋y02p＋y022p22(當且僅當y032py0號)．2．設雙曲線x2＋y2＝1的一條漸近線為y＝－2x，且一個焦點與拋物線y＝1x2的焦點相ab4同，則此雙曲線的方程為()522252A.x－5y＝1B．5y－x＝144y＝－2x，C．5x2－5y2＝1D.5y2－5x2＝1442解析：選D 因為x＝4y的焦點為(0,1)，因為雙曲線的一條漸近線為所以設雙曲線的方程為y2－4x2＝λ(λ＞0)，即y2x2λ4－＝1，則λ＋＝1，λ＝，λλ454所以雙曲線的方程為5y2－5x2＝1.422x2y2F1(－c，0)，F2(c,0)，P為雙3．已知雙曲線a－b＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為―→―→3212，則該雙曲線的離心率的取曲線上任一點，且PF1·PF2最小值的取值范圍是－c，－c42值范圍為()A．(1，2]B．[2，2]C．(0，2]D．[2，＋∞)解析：選B 設P(x0，y0)，―→―→則PF1·PF2＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x2－c2＋y2＝a21＋y20－c2＋y2，0 0 2 0b上式當y0＝0時取得最小值a2－c2，根據已知－3c2≤a2－c2≤－1c2，422所以1c2≤a2≤1c2，即2≤c2≤4，即2≤c≤2，42aa所以所求離心率的取值范圍是[2，2]．24的直線交拋物線于―→＝4．過拋物線y＝2px(p＞0)的焦點F，斜率為3A，B兩點，若AF―→)λFB(λ＞1)，則λ的值為(A．5B．445C.3D.2解析：選B根據題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)，―→―→pp，由AF＝λFB，得－x1，－y1＝λx2－，y222故－y＝λy，即λ＝－y1.12y2設直線AB的方程為y＝4p，3x－2聯立直線與拋物線方程，消去232＝0.x，得y－py－p2故y1＋y2＝32p，y1y2＝－p2，2則y1＋y2＝y1＋y2＋2＝－9，y1y2 y2 y1 4即－λ－1＋2＝－9.λ 4又λ＞1，解得λ＝4.5．設直線l與拋物線 y2＝4x相交于A，B兩點，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點 M，且M為線段AB的中點．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)2222解析：選D設Ay1，y1，By2，y2，My1＋y2，y1＋y2，C(5,0)為圓心，當y1≠－y24482時，kAB＝＋y＋y4，kCM＝42y122，由kAB·kCM＝－1?y12＋y22＝24，所以M3，y12，又r2y1＋y2y1＋y2－4022y1＋y221222222224t＋(2r2＝|CM|＝4＋＝10＋y1y2，所以(2r－20)＝y1y2，所以y1，y2是方程t－22－20)2＝0的兩個不同的正根，由＞0得2＜r＜4.所以r的取值范圍是(2,4)．6．中心為原點，一個焦點為F(0,52)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標1為2，則該橢圓方程為()2x2＋2y2＝1B.x2＋y2＝1A.75257525x2y22x22y2C.25＋75＝1D.25＋75＝1解析：選C由已知得c＝52，2y設橢圓的方程為a2－50＋a2＝1，x2y22＋2＝1，聯立a－50ay＝3x－2，222222－50)＝0，設直線y＝3x－2與消去y得(10a－450)x－12(a－50)x＋4(a－50)－a(a橢圓的交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＝12a2－50由根與系數關系得10a2－450，由題意知x＋x＝1，即12a2－50210a2－450＝1，解得a＝75，12所以該橢圓方程為y2＋x2＝1.752527．已知雙曲線C：x－y2＝1，點M的坐標為(0,1)．設P是雙曲線C上的點，Q是點P2關于原點的對稱點．記―→―→λ＝MP·MQ，則λ的取值范圍是________．解析：設P(x0，y0)，則Q(－x0，－y0)，λ＝―→―→＝(x，y－1)·(－x，－y－1)＝－x2－y2＋1＝－32＋2.0000002x0MQ因為|x0|≥ 2，所以λ≤－1，所以λ的取值范圍是 (－∞，－1]．答案：(－∞，－1]2 28．已知AB為圓x＋y＝1的一條直徑，點P為直線的最小值為________．解析：由題意，設 A(cosθ，sinθ)，P(x，x＋2)，則B(－cosθ，－sinθ)，―→∴PA＝(cosθ－x，sinθ－x－2)，―→PB＝(－cosθ－x，－sinθ－x－2)，

―→―→x－y＋2＝0上任意一點，則PA·PB―→―→∴PA·PB＝(cosθ－x)(－cosθ－x)＋(sinθ－x－2)·(－sinθ－x－2)2 2 2 2＝x＋(x＋2)－cosθ－sinθ＝2x2＋4x＋32(x＋1)2＋1，當且僅當x＝－1，即P(－―→―→1，1)時，PA·PB取最小值1.答案：1x＝2pt2，A作l9．設拋物線(t為參數，p＞0)的焦點為F，準線為l.過拋物線上一點y＝2pt的垂線，垂足為B.設C7，AF與BC相交于點E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面積為2p，032，則p的值為________．2解析：由x＝2pt，2y＝2pt(p＞0)消去t可得拋物線方程為y＝2px(p＞p，|AB|＝130)，∴F，0|AF|＝|CF|＝p，可得A(p，2p)．222易知△AEB∽△FEC，|AE|＝|AB|＝1，|FE||FC|2故S△ACE＝1△ACF＝1×3p×2p×1＝22＝32，3S322p2∴p＝6.∵p＞0，∴p＝ 6.62210．已知離心率為的橢圓xyF，過F且與x軸垂直的32＋2＝1(a＞b＞0)的一個焦點為ab3直線與橢圓交于A，B兩點，|AB|＝3.求此橢圓的方程；已知直線y＝kx＋2與橢圓交于C，D兩點，若以線段CD為直徑的圓過點E(－1,0)，求k的值．c6222解：(1)設焦距為2c，∵e＝a＝3，a＝b＋c，∴b＝323，b＝a3.由題意可知a3b＝1，a＝3，∴橢圓的方程為 x2＋y2＝1.3將y＝kx＋2代入橢圓方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直線與橢圓有兩個交點，所以222＞1.＝(12k)－36(1＋3k)＞0，解得k設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x＋x＝－12k2，x1x2＝92121＋3k1＋3k.若以CD為直徑的圓過E點，―→―→則EC·ED＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝9k2＋112k2k＋1＋5＝0，1＋3k2－1＋3k27 2解得k＝，滿足k＞1.x2 y211.平面直角坐標系 xOy中，橢圓C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的離心率是 3，拋物線 E：x2＝2y的焦點F是C的一個頂點．2求橢圓C的方程；(2)設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線 l與C交于不同的兩點 A，B，線段AB的中點為D.