第十三章熱學專題強化十四應用氣體實驗定律解決“三類模型問題”專題解讀1.本專題是氣體實驗定律在玻璃管液封模型、汽缸活塞類模型、變質量氣體模型中的應用，高考在選考模塊中通常以計算題的形式命題.2.學好本專題可以幫助同學們熟練的選取研究對象和狀態變化過程，掌握處理三類模型問題的基本思路和方法.3.本專題用到的相關知識和方法有：受力分析、壓強的求解方法、氣體實驗定律等.研透命題點1.三大氣體實驗定律(1)玻意耳定律(等溫變化)：p1V1＝p2V2或pV＝C(常數).命題點一“玻璃管液封”模型能力考點師生共研模型構建2.利用氣體實驗定律及氣態方程解決問題的基本思路3.玻璃管液封模型求液柱封閉的氣體壓強時，一般以液柱為研究對象分析受力、列平衡方程，要注意：(1)液體因重力產生的壓強大小為p＝ρgh(其中h為至液面的豎直高度)；(2)不要漏掉大氣壓強，同時又要盡可能平衡掉某些大氣的壓力；(3)有時可直接應用連通器原理——連通器內靜止的液體，同種液體在同一水平面上各處壓強相等；(4)當液體為水銀時，可靈活應用壓強單位“cmHg”等，使計算過程簡捷.類型1單獨氣體問題例1

(2017·全國卷Ⅲ·33(2))一種測量稀薄氣體壓強的儀器如圖1(a)所示，玻璃泡M的上端和下端分別連通兩豎直玻璃細管K1和K2.K1長為l，頂端封閉，K2上端與待測氣體連通；M下端經橡皮軟管與充有水銀的容器R連通.開始測量時，M與K2相通；逐漸提升R，直到K2中水銀面與K1頂端等高，此時水銀已進入K1，且K1中水銀面比頂端低h，如圖(b)所示.設測量過程中溫度、與K2相通的待測氣體的壓強均保持不變.已知K1和K2的內徑均為d，M的容積為V0，水銀的密度為ρ，重力加速度大小為g.求：(1)待測氣體的壓強；圖1答案解析解析水銀面上升至M的下端使玻璃泡中氣體恰好被封住，設此時被封閉的氣體的體積為V，壓強等于待測氣體的壓強p.提升R，直到K2中水銀面與K1頂端等高時，K1中水銀面比頂端低h；設此時封閉氣體的壓強為p1，體積為V1，則由力學平衡條件得p1＝p＋ρgh ③整個過程為等溫過程，由玻意耳定律得pV＝p1V1 ④聯立①②③④式得(2)該儀器能夠測量的最大壓強.答案解析解析由題意知h≤l ⑥聯立⑤⑥式有該儀器能夠測量的最大壓強為變式1

(2015·全國卷Ⅱ·33(2))如圖2，一粗細均勻的U形管豎直放置，A側上端封閉，B側上端與大氣相通，下端開口處開關K關閉；A側空氣柱的長度為l＝10.0cm，B側水銀面比A側的高h＝3.0cm.現將開關K打開，從U形管中放出部分水銀，當兩側水銀面的高度差為h1＝10.0cm時將開關K關閉.已知大氣壓強p0＝75.0cmHg.(1)求放出部分水銀后A側空氣柱的長度；答案解析圖2答案12.0cm解析以cmHg為壓強單位.設A側空氣柱長度l＝10.0cm時的壓強為p；當兩側水銀面的高度差為h1＝10.0cm時，空氣柱的長度為l1，壓強為p1.由玻意耳定律得pl＝p1l1

①由力學平衡條件得p＝p0＋h ②打開開關K放出水銀的過程中，B側水銀面處的壓強始終為p0，而A側水銀面處的壓強隨空氣柱長度的增加逐漸減小，B、A兩側水銀面的高度差也隨之減小，直至B側水銀面低于A側水銀面h1為止.由力學平衡條件有p1＝p0－h1 ③聯立①②③式，并代入題給數據得l1＝12.0cm ④(2)此后再向B側注入水銀，使A、B兩側的水銀面達到同一高度，求注入的水銀在管內的長度.答案解析答案13.2cm解析當A、B兩側的水銀面達到同一高度時，設A側空氣柱的長度為l2，壓強為p2.由玻意耳定律得pl＝p2l2 ⑤由力學平衡條件有p2＝p0 ⑥聯立②⑤⑥式，并代入題給數據得l2＝10.4cm ⑦設注入的水銀在管內的長度為Δh，依題意得Δh＝2(l1－l2)＋h1 ⑧聯立④⑦⑧式，并代入題給數據得Δh＝13.2cm.類型2關聯氣體問題例2

(2016·全國卷Ⅲ·33(2))一U形玻璃管豎直放置，左端開口，右端封閉，左端上部有一光滑的輕活塞.初始時，管內汞柱及空氣柱長度如圖3所示.用力向下緩慢推活塞，直至管內兩邊汞柱高度相等時為止.求此時右側管內氣體的壓強和活塞向下移動的距離.已知玻璃管的橫截面積處處相同；在活塞向下移動的過程中，沒有發生氣體泄漏；大氣壓強p0＝75.0cmHg.環境溫度不變.(保留三位有效數字)答案解析答案144cmHg

9.42cm圖3解析設初始時，右管中空氣柱的壓強為p1，長度為l1；左管中空氣柱的壓強為p2＝p0，長度為l2.活塞被下推h后，右管中空氣柱的壓強為p1′，長度為l1′；左管中空氣柱的壓強為p2′，長度為l2′.以cmHg為壓強單位.由題給條件得p1＝p0＋(20.0－5.00)cmHg＝90cmHg

l1＝20.0cm ①由玻意耳定律得p1l1S＝p1′l1′S ③聯立①②③式和題給條件得p1′＝144cmHg ④依題意p2′＝p1′ ⑤由玻意耳定律得p2l2S＝p2′l2′S ⑦聯立④⑤⑥⑦式和題給條件得h≈9.42cm.變式2如圖4所示，由U形管和細管連接的玻璃泡A、B和C浸泡在溫度均為0℃的水槽中，B的容積是A的3倍.閥門S將A和B兩部分隔開.A內為真空，B和C內都充有氣體.U形管內左邊水銀柱比右邊的低60mm.打開閥門S，整個系統穩定后，U形管內左右水銀柱高度相等.假設U形管和細管中的氣體體積遠小于玻璃泡的容積.(1)求玻璃泡C中氣體的壓強(以mmHg為單位)；答案解析圖4答案180mmHg解析在打開閥門S前，兩水槽水溫均為T0＝273K.設玻璃泡B中氣體的壓強為p1，體積為VB，玻璃泡C中氣體的壓強為pC，依題意有p1＝pC＋Δp ①式中Δp＝60mmHg.打開閥門S后，兩水槽水溫仍為T0，設玻璃泡B中氣體的壓強為pB，依題意，有pB＝pC ②玻璃泡A和B中氣體的體積V2＝VA＋VB ③根據玻意耳定律得p1VB＝pBV2 ④聯立①②③④式，并代入已知數據得(2)將右側水槽中的水從0℃加熱到一定溫度時，U形管內左右水銀柱高度差又為60mm，求加熱后右側水槽的水溫.答案解析答案364K解析當右側水槽的水溫加熱至T′時，U形管左右水銀柱高度差為Δp，玻璃泡C中氣體的壓強pC′＝pB＋Δp ⑥聯立②⑤⑥⑦式，并代入題給數據得T′＝364K.汽缸活塞類問題是熱學部分典型的物理綜合題，它需要考慮氣體、汽缸或活塞等多個研究對象，涉及熱學、力學等物理知識，需要靈活、綜合地應用知識來解決問題.1.一般思路(1)確定研究對象，一般地說，研究對象分兩類：一類是熱學研究對象(一定質量的理想氣體)；另一類是力學研究對象(汽缸、活塞或某系統).(2)分析物理過程，對熱學研究對象分析清楚初、末狀態及狀態變化過程，依據氣體實驗定律列出方程；對力學研究對象要正確地進行受力分析，依據力學規律列出方程.(3)挖掘題目的隱含條件，如幾何關系等，列出輔助方程.(4)多個方程聯立求解.對求解的結果注意檢驗它們的合理性.命題點二“汽缸活塞類”模型能力考點師生共研模型構建2.常見類型(1)氣體系統處于平衡狀態，需綜合應用氣體實驗定律和物體的平衡條件解題.(2)氣體系統處于力學非平衡狀態，需要綜合應用氣體實驗定律和牛頓運動定律解題.(3)兩個或多個汽缸封閉著幾部分氣體，并且汽缸之間相互關聯的問題，解答時應分別研究各部分氣體，找出它們各自遵循的規律，并寫出相應的方程，還要寫出各部分氣體之間壓強或體積的關系式，最后聯立求解.說明當選擇力學研究對象進行分析時，研究對象的選取并不唯一，可以靈活地選整體或部分為研究對象進行受力分析，列出平衡方程或動力學方程.類型1單獨氣體問題例3

(2015·全國卷Ⅰ·33(2))如圖5，一固定的豎直汽缸由一大一小兩個同軸圓筒組成，兩圓筒中各有一個活塞.已知大活塞的質量為m1＝2.50kg，橫截面積為S1＝80.0cm2；小活塞的質量為m2＝1.50kg，橫截面積為S2＝40.0cm2；兩活塞用剛性輕桿連接，間距保持為l＝40.0cm；汽缸外大氣的壓強為p＝1.00×105Pa，溫度為T＝303K.初始時大活塞與大圓筒底部相距

，兩活塞間封閉氣體的溫度為T1＝495K.現汽缸內氣體溫度緩慢下降，活塞緩慢下移.忽略兩活塞與汽缸壁之間的摩擦，重力加速度大小g取10m/s2.求：圖5(1)在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間，汽缸內封閉氣體的溫度；答案解析答案330K末狀態V2＝lS2(2)缸內封閉的氣體與缸外大氣達到熱平衡時，缸內封閉氣體的壓強.答案解析答案1.01×105PaT3＝T＝303K，解得p2＝1.01×105Pa.解析對大、小活塞受力分析則有m1g＋m2g＋pS1＋p1S2＝p1S1＋pS2可得p1＝1.1×105Pa變式3如圖6所示，兩端開口的汽缸水平固定，A、B是兩個厚度不計的活塞，可在汽缸內無摩擦滑動，面積分別為S1＝20cm2，S2＝10cm2，它們之間用一根水平細桿連接，B通過水平細繩繞過光滑的輕質定滑輪與質量為M＝2kg的重物C連接，靜止時汽缸中的氣體溫度T1＝600K，汽缸兩部分的氣柱長均為L，已知大氣壓強p0＝1×105Pa，取g＝10m/s2，缸內氣體可看做理想氣體.(1)活塞靜止時，求汽缸內氣體的壓強；答案解析圖6答案1.2×105Pa解析設靜止時汽缸內氣體壓強為p1，活塞受力平衡p1S1＋p0S2＝p0S1＋p1S2＋Mg代入數據解得p1＝1.2×105Pa(2)若降低汽缸內氣體的溫度，當活塞A緩慢向右移動

時，求汽缸內氣體的溫度.答案解析答案500K解析由活塞受力平衡可知缸內氣體壓強沒有變化，設開始溫度為T1，變化后溫度為T2，由蓋—呂薩克定律得代入數據解得T2＝500K.類型2關聯氣體問題例4

(2017·全國卷Ⅰ·33(2))如圖7，容積均為V的汽缸A、B下端有細管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細管的中部，A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動的活塞(質量、體積均可忽略).初始時，三個閥門均打開，活塞在B的底部；關閉K2、K3，通過K1給汽缸充氣，使A中氣體的壓強達到大氣壓p0的3倍后關閉K1.已知室溫為27℃，汽缸導熱.(1)打開K2，求穩定時活塞上方氣體的體積和壓強；答案解析圖7解析設打開K2后，穩定時活塞上方氣體的壓強為p1，體積為V1.依題意，被活塞分開的兩部分氣體都經歷等溫過程.由玻意耳定律得p0V＝p1V1

①(3p0)V＝p1(2V－V1) ②聯立①②式得p1＝2p0 ④(2)接著打開K3，求穩定時活塞的位置；答案解析答案B的頂部解析打開K3后，由④式知，活塞必定上升.設在活塞下方氣體與A中氣體的體積之和為V2(V2≤2V)時，活塞下氣體壓強為p2，由玻意耳定律得(3p0)V＝p2V2

⑤由⑤式得由⑥式知，打開K3后活塞上升直到B的頂部為止；(3)再緩慢加熱汽缸內氣體使其溫度升高20℃，求此時活塞下方氣體的壓強.答案解析答案1.6p0將有關數據代入⑦式得p3＝1.6p0變式4

(2014·新課標全國Ⅱ·33(2))如圖8所示，兩汽缸A、B粗細均勻，等高且內壁光滑，其下部由體積可忽略的細管連通；A的直徑是B的2倍，A上端封閉，B上端與大氣連通；兩汽缸除A頂部導熱外，其余部分均絕熱，兩汽缸中各有一厚度可忽略的絕熱輕活塞a、b，活塞下方充有氮氣，活塞a上方充有氧氣.當大氣壓為p0、外界和汽缸內氣體溫度均為7℃且平衡時，活塞a離汽缸頂的距離是汽缸高度的

，活塞b在汽缸正中間.(1)現通過電阻絲緩慢加熱氮氣，當活塞b恰好升至頂部時，求氮氣的溫度；圖8答案解析答案320K解析活塞b升至頂部的過程中，活塞a不動，活塞a、b下方的氮氣經歷等壓變化，設汽缸A的容積為V0，氮氣初態的體積為V1，溫度為T1，末態體積為V2，溫度為T2，按題意，汽缸B的容積為

，則由蓋—呂薩克定律有：由①②③式及所給的數據可得：T2＝320K ④(2)繼續緩慢加熱，使活塞a上升，當活塞a上升的距離是汽缸高度的

時，求氧氣的壓強.答案解析解析活塞b升至頂部后，由于繼續緩慢加熱，活塞a開始向上移動，直至活塞上升的距離是汽缸高度的

時，活塞a上方的氧氣經歷等溫變化，設氧氣初態的體積為V1′，壓強為p1′，末態體積為V2′，壓強為p2′，由所給數據及玻意耳定律可得p1′V1′＝p2′V2′ ⑥分析變質量氣體問題時，要通過巧妙地選擇研究對象，使變質量氣體問題轉化為定質量氣體問題，用氣體實驗定律求解.(1)打氣問題：選擇原有氣體和即將充入的氣體作為研究對象，就可把充氣過程中氣體質量變化問題轉化為定質量氣體的狀態變化問題.(2)抽氣問題：將每次抽氣過程中抽出的氣體和剩余氣體作為研究對象，質量不變，故抽氣過程可以看成是等溫膨脹過程.(3)灌氣問題：把大容器中的剩余氣體和多個小容器中的氣體整體作為研究對象，可將變質量問題轉化為定質量問題.(4)漏氣問題：選容器內剩余氣體和漏出氣體整體作為研究對象，便可使問題變成一定質量氣體的狀態變化，可用理想氣體的狀態方程求解.命題點三“變質量氣體”模型能力考點師生共研模型構建例5如圖9所示，一太陽能空氣集熱器，底面及側面為隔熱材料，頂面為透明玻璃板，集熱器容積為V0.開始時內部封閉氣體的壓強為p0，經過太陽暴曬，氣體溫度由T0＝300K升至T1＝350K.(1)求此時氣體的壓強；圖9答案解析(2)保持T1＝350K不變，緩慢抽出部分氣體，使氣體壓強再變回到p0.求集熱器內剩余氣體的質量與原來總質量的比值.解析抽氣過程可等效為等溫膨脹過程，設膨脹后氣體的總體積為V2，由玻意耳定律可得p1V0＝p0V2答案解析變式5某自行車輪胎的容積為V，里面已有壓強為p0的空氣，現在要使輪胎內的氣壓增大到p，設充氣過程為等溫過程，空氣可看做理想氣體，輪胎容積保持不變，則還要向輪胎充入溫度相同、壓強也是p0、體積為________的空氣.√答案解析課時作業1.如圖1所示，在長為l＝57cm的一端封閉、另一端開口向上的豎直玻璃管內，用4cm高的水銀柱封閉著51cm長的理想氣體，管內外氣體的溫度均為33℃.現將水銀徐徐注入管中，直到水銀面與管口相平，此時管中氣體的壓強為多少？接著緩慢對玻璃管加熱升溫至多少時，管中剛好只剩下4cm高的水銀柱？(大氣壓強為p0＝76cmHg)1234答案解析圖1答案85cmHg

318K5解析設玻璃管的橫截面積為S，初態時，管內氣體的溫度為T1＝306K，體積為V1＝51S，壓強為p1＝80cmHg.當水銀面與管口相平時，水銀柱高為H，則管內氣體的體積為V2＝(57－H)S，壓強為p2＝(76＋H)cmHg.由玻意耳定律得p1V1＝p2V2，代入數據，得H2＋19H－252＝0，解得H＝9cm或H＝－28cm(舍去)所以p2＝85cmHg12345答案解析12342.(2017·河南六市一聯)如圖2所示，在兩端封閉的均勻半圓管道內封閉有理想氣體，管內有不計質量可自由移動的活塞P，將管內氣體分成兩部分，其中OP與管道水平直徑的夾角θ＝45°.兩部分氣體的溫度均為T0＝300K，壓強均為p0＝1.0×105Pa.現對管道左側氣體緩慢加熱，管道右側氣體溫度保持不變，當可動活塞緩慢移到管道最低點時(不計摩擦).求：(1)管道右側氣體的壓強；圖2答案1.5×105Pa5解析對于管道右側氣體，由于氣體做等溫變化，有：p0V1＝p2V2解得p2＝1.5×105Pa12345(2)管道左側氣體的溫度.答案900K解析對于管道左側氣體，根據理想氣體狀態方程，有V2′＝2V1′當活塞P移動到最低點時，對活塞P受力分析可得出兩部分氣體對活塞的壓強相等，則有p2′＝p2解得T＝900K答案解析123453.(2017·安徽江南十校聯考)如圖3所示，一圓柱形汽缸沿水平方向固定在桌面上，一定量的理想氣體被活塞封閉其中，已知汽缸壁導熱良好，活塞可沿汽缸壁無摩擦滑動.開始時氣體壓強為p，活塞內表面相對汽缸底部的距離為L，外界溫度為T0，現用一質量為m的重錘通過不可伸長的輕質細繩跨過光滑輕質滑輪水平連接活塞，重新平衡后，重錘下降h.求：(已知外界大氣的壓強始終保持不變，重力加速度大小為g)(1)活塞的橫截面積S.圖3答案解析12345解析由玻意耳定律可知pLS＝p1(L＋h)S活塞受力平衡，有p1S＝pS－mg聯立方程可得12345(2)若此后外界的溫度變為T，則重新達到平衡后汽缸內氣柱的長度為多少？答案解析1234解析由蓋—呂薩克定律有54.如圖4甲所示，左端封閉、內徑相同的U形細玻璃管豎直放置，左管中封閉有長為L＝20cm的空氣柱，兩管水銀面相平，水銀柱足夠長.已知大氣壓強為p0＝75cmHg.(1)若將裝置緩慢翻轉180°，使U形細玻璃管豎直倒置(水銀未溢出)，如圖乙所示.當管中水銀靜止時，求左管中空氣柱的長度；圖4答案20cm或37.5cm答案解析12345解析將裝置緩慢翻轉180°，設左管中空氣柱的長度增加量為h，由玻意耳定律得p0L＝(p0－2h)(L＋h)解得h＝0或h＝17.5cm則左管中空氣柱的長度為20cm或37.5cm12345(2)若將圖甲中的閥門S打開，緩慢流出部分水銀，然后關閉閥門S，右管水銀面下降了H＝35cm，求左管水銀面下降的高度.答案10cm答案解析1234解析若將題圖甲中閥門S打開，緩慢流出部分水銀，然后關閉閥門S，右管水銀面下降了H＝35cm，設左管水銀面下降的高度為l，由玻意耳定律得p0