本章除研究流體運動學之外，還將同時分析一些動力學的量。如流體微團的質量，作用在流體上的各種力等，即研究流體動力學。因為在研究時不考慮流體中的粘性，所以也叫理想流體運動學。3.1壓強和壓強梯度力

1.作用于流體上的力

在流體中任選一體積，則作用上的所有外力可分為二類：一類是作用于內所有流體微團（元）上的力，其大小與流體的質量成正比，我們稱之為質量力（或體積力）。例重力，引力等都是質量力。

:單位質量上的質量力，:有限體積上的質量力

另一類是與界面s接觸的流體或固體作用于表面s上的力。我們稱之為表面力。例壓力、摩擦力都是表面力。:單位面積上的表面力;

:包含的有限曲面s上的表面力

一般情況下，表面力都可以分解成：沿法線方向的法應和沿切線方向的切應力。對于理想流體,切應力為零,只需考慮法向應力。而且對于理想流體，因只能承受壓力而不能承受拉力，所以理想流體中的法向應力就是壓力，其方向與反向。sC.H.3理想流體動力學

的周圍流體對的表面有作用力；反之，內流體對周圍流體亦有反作用力。:外作用在面上的應力;:內流體于面上的應力

則據牛頓第三定律，有：

2.壓強（單位面積上的法向表面力）

對于理想流體，無切應力存在，所以在流體內部，應力處處與它所作用的面垂直，且指向的負向。壓強數學表示：對于理想流體，實驗說明，流體內部任一點的壓強（數值）與計算該點的壓強時所取表面的方向無關。因此，理想流體壓力的大小與作用面的方向無關，僅決定于該點的位置和所考慮的時間。壓力可表示為坐標和時間的函數，即：

3.表面力合力的性質：壓強梯度力于理想流體中任取一平行六面體。各面分別垂直于坐標軸。各邊為dx,dy,dz。因在理想流體中，作用該體積面上的表面力就是壓力。

BACEDFHGzyxdxdzdyD’考慮垂直于x軸的兩個平面上的壓力之合力:作用在ABCD上的壓力:作用在EFGH上的壓力:作用在這兩個面上表面力的合力為：

D’:作用于垂直于軸的各兩個平面上表面力的合力：作用于整個體積表面上的表面力之合力為：作用于單位體積上表面力的合力為稱之為壓強梯度力:3.2理想流體運動方程式封閉組1.歐拉型運動方程式BACEDFHGzyxdxdzdyD’D’:1)表面力：x,y,z方向表面力的合力分別為：2)質量力：若作用單位質量上的質量力在x,y,z軸上的投影為X,Y,Z,則作用在上六面體上的質量力在x,y,z軸上的投影為：

據牛頓第二定律，馬上可得運動方程：

其向量形式為：3)慣性力：歐拉型運動方程式2.封閉方程組歐拉方程中:包含八個物理量通常質量力已知的，而且大都是重力,剩下五個未知數,求解需要五個方程，有四個方程，即三個運動方程（標量形式）及一個連續方程：

方程組不封閉。只能增加一個假設，以便使方程組封閉。例：1)假定流體不可壓且均質，即：2)假定流體是正壓:3)斜壓流場:引入新的變量，需引入所的方程，利用熱力學中有關定律。例對于理想氣體，其狀態方程為：其中R為氣體常數，T為絕對溫度,需考慮熱力學第一定律。

3.定解條件

1)初始條件初始條件就是初始時刻時，流體運動應滿足的初始狀態

其中f是給定的已知函數。對于定常運動，流場上各點的物理量都不隨時間改變,就不須要也不能給出初始條件。

2)邊界條件邊界條件指的是反映流體運動方程組的解在邊界上應滿足的條件。在流體動力學中，邊界條件起著重要的作用。一般來說，邊界及邊界條件是多種多樣的。在我們流體力學中，最常見的有：(1)運動邊界的運動學邊界條件運動邊界的方程為。特征：對于這種邊界，可近似地認為：流體質點一旦在邊界上，它就永遠留在邊界上而不離開（邊界總是由相同的流體質點組成）。換言之：于邊界上流體質點的法向速度與邊界本身移動的法向速度相同。

數學表示：例對于海-氣界面，即自由海面，是一個運動邊界，其方程可寫成：自由海面的運動學邊界條件可寫成：(2)固定邊界的運動學條件固定邊界的方程可寫成:即邊界不隨時間而變。對于這種邊界，有一個重要的客觀現實：即流體不可能穿過邊界(不考慮海水的滲透等)，即流體質點的法向速度應為零:(3)運動邊界的動力學邊界條件這個問題比較復雜，在此僅給出運動邊界上的壓力條件。在運動界面，如海-氣界面，即自由海面上，流體壓力等于大氣壓，即：大氣壓

例：一垂直折管ABC，管截面相同，在C點裝有開關，管中充滿不可壓均質液體，求當C點開關打開后管內各點的壓強分布及流體的運動規律。解：

初始條件：邊界條件：銜接條件：據垂直管及水平管的運動方程，分別對y及x積分便有：xyoABCAB=a,BC=b

3.4運動方程的積分普遍定理

1.動量定理

在流場中取一控制體,將歐拉運動方程乘以后對體積積分，即：表明，內的動量時變化率（實質微商）就等于質量力與表面力的總合。利用連續方程，經一系列演算可得：動量定理可以敘述如下：作用在控制體內流體上的合外力加上單位時間內通過控制面流入的流體動量就等于控制體內的動量對時間的變化率。定常運動:

忽略質量力：s例

不可壓流體定常流過等截面彎管，管截面積為a，求流體作用于彎管上的力解：已知進出口截面流動均勻，若彎管水平放置，則可忽略質量力（重力）。且已知在兩截面上的速度、壓強等分別為

由于管子截面均勻，據連續方程可知因運動定常，所以動量定理可寫成：其中取控制面如圖：管子對流體的作用力于x、y方向的投影分別為：

-便是流體對管子的作用力s1s22.能量定理

用速度點乘運動方程:然后對進行體積分，經一系列演算后可得：式中T=動能勢能：體積內總動能與勢能本械能在運動過程中的變化率；：體積膨脹時壓力所作的功率單位時間內體積膨脹時壓力所作的功率與表面壓力所作功率之和就等于體積內總能量的隨體變化率。對于不可壓縮流體:如流體邊界為固體邊界面,

=0=常數s

例用能量定律求直角管ABC中流體的運動規律解1.分析C點打開后，于t時刻管內水柱如圖，S=Syo+Sxo+Ss(2)y=yo,p=po;x=xo,p=po,xo=a+b–yo;t=0,yo=a,y’o=0(3)流體均質不可壓，密度為常數，(4)管子截面相同，所以管內各處速度值相同。

2.求解能量方程=0據初值確定A=a，B=0x0xyoABCAB=a,BC=b

3.伯努利定理對于正壓理想流體，若質量力有勢，且運動定常，則對運動方程積分一次可導出伯努利方程（或伯努利積分、伯努利定理）:q為流線（或渦線）上的速度項，，常數對流線（或渦線）成立。

證明：據場論知識，有：歐拉方程可變成：蘭姆-葛羅米柯方程因質量力有勢，因運動定常，因流體正壓,

蘭姆-葛羅米柯方程可改寫為：由伯努利于1783年導出的，故稱為伯努利積分或伯努利方程（定理）。

單位質量的動能、勢能及壓力能之和于一流線或渦線上為常數

若質量力為重力，，且流體均質不可壓，即伯努利方程可簡寫成：例小孔出流有一很大容器盛滿著水，在容器側面距水平h處的器壁上有一小孔，水從小孔流入大氣，求小孔射流的流速V。解1.分析

(1)大容器，小孔出流，自由面下降慢，可視為定常；(2)流體均質不可壓，密度為常數；(3)重力為唯一質量力；

2.求解伯努利方程取一流線過A、B兩點，在A、B處壓力均為大氣壓,即小孔處流速與質點自液面自由下落到達小孔時的速度相同。通常稱作托里切利公式（注：該式是按理想流體計算的，對于實際流體，由于粘性、射流的速度要小一些）。如果管嘴是圓形的，則射流速度為理想流體射流速度的0.98左右。ABh