二、交錯級數及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第一節（2）一、正項級數及其審斂法常數項級數的審斂法

第四章一、正項級數及其審斂法若則稱為正項級數

.注意到：1.部分和數列單調遞增2.單調有界數列存在極限定理1.

正項級數收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數列有界,故從而又已知故有界.單調遞增,收斂,也收斂.證:“”“”發散1.

有界判別法例1.

證明：正項級數收斂.證明：已知則，有故有界.則收斂.定理2(比較審斂法)設且存在對一切有(1)若強級數則弱級數(2)若弱級數則強級數則有收斂,也收斂;發散,也發散.是兩個正項級數,(常數k>0),由有界判別法出發不僅能判斷級數斂散性還可以給出新的判別方法。2.

比較判別法及其極限形式都有證:設對一切分別表示弱級數和強級數的部分和,則有因在級數前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨(1)若強級數則有因此對一切有由定理1可知,也收斂.收斂,弱級數則有(2)若弱級數因此這說明強級數也發散.發散,說明：1.

比較判別法僅適用于正項級數；2.

不等式條件可以從某一個N后都滿足就行；3.常用的參考級數常用的不等式例2.

討論p

級數(常數p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調和級數由比較審斂法可知p

級數發散.發散,2)若因為當故考慮強級數的部分和故強級數收斂,由比較審斂法知

p

級數收斂.時,2)若注1：調和級數與p級數是兩個常用的比較級數.注

若存在對一切注2：一個級數斂散性同一個廣義積分聯系起來了.證明級數發散.證:

因為而級數發散根據比較審斂法可知,所給級數發散.例3時，有（通項的極限不是0）例4判別斂散性（A）收斂（B）發散#2014021901例4判別斂散性（A）收斂（B）發散#2014021902例4判別斂散性證：而收斂。故原級數收斂。而收斂。故原級數收斂。例5若收斂，則與收斂。證明：收斂，收斂。都收斂，而與收斂。用比較法關鍵1：找到不等式2：找到可比的已知斂散性級數為了應用上方便，給出下面比較法的極限形式定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數同時收斂或發散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

設兩正項級數滿足(1)當0<l<∞

時,證:

據極限定義,由定理

2

可知同時收斂或同時發散;(3)當l=∞時,即由定理2可知,若發散,(1)當0<l<∞時,(2)當l=

0時,由定理2知收斂,若特別取可得如下結論:對正項級數是兩個正項級數,(1)當0≤l<∞

時,則(2)當

0＜l≤∞時，則注1.若，則同斂散。2.設分別為通項的分母，分子關于n的最高次數，則收斂。發散。例6.

判別級數的斂散性.（A）收斂（B）發散#2014021903～例6.

判別級數的斂散性.解:

根據比較審斂法的極限形式知的斂散性.例7.

判別級數（A）收斂（B）發散#2014021904的斂散性.例7.

判別級數解:根據比較審斂法的極限形式知～例8.

判別級數的斂散性.解：討論：（1）若極限為0，此時只能判斷收斂性，（2）若極限為正無窮，此時只能判斷發散性，取則對于注意到1：用比較法得事先取定一個合適的已知斂散性的級數；2：一個級數的斂散性應與其本身項有關。常用比值法與根值法判斷速度。3.

積分審斂法－－－－廣義積分斂散性與無窮級數斂散性聯系適用：通項單調減少！定理3.

積分審斂法設通項滿足若存在單調減函數，使則級數與廣義積分有相同斂散性．例9.

討論級數的斂散性.解:

設

當時，是正值遞減函數，且記發散．收斂；當時，發散；當