第十章計數原理和概率第10課時正態分布1．了解正態分布在實際生活中的意義和作用．2．了解正態分布的定義，正態曲線的特征，會求服從正態分布的隨機變量的概率．3．記住正態總體在區間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)上取值的概率，并能在一些簡單的實際問題中應用該原則．請注意正態分布的考查為客觀題，考查正態分布曲線的特點，3σ原則，難度不大．1．正態曲線及性質(1)正態曲線的定義．(2)正態曲線的特點．①曲線位于x軸

與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線

對稱；④曲線與x軸之間的面積為

；⑤當σ一定時，曲線隨著

的變化而沿著x軸移動；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ

，曲線越“高瘦”，σ

，曲線越“矮胖”．上方x＝μx＝μ

1μ越小越大2．正態分布(1)正態分布的定義及表示．若對于任何實數a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝

，則稱X的分布為正態分布，記作

．X～N(μ，σ2)(2)正態分布的三個常用數據．①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝

；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝

；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝

.0.68260.95440.99741．(課本習題改編)把一正態曲線C1沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到一條新的曲線C2，下列說法不正確的是(

)A．曲線C2仍是正態曲線B．曲線C1，C2的最高點的縱坐標相等C．以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2D．以曲線C2為概率密度曲線的總體的均值比以曲線C1為概率密度曲線的總體的均值大2答案C解析只改變均值，不改變方差，所以選C.答案A解析∵f(x)圖像的對稱軸為x＝μ，∴由圖像知選項A適合．3．(2015·皖南十校聯考)已知隨機變量ξ服從正態分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝(

)A．0.6

B．0.4C．0.3 D．0.2答案C解析由P(ξ<4)＝0.8知P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，故P(0<ξ<2)＝0.3.故選C.4．某市進行一次高三教學質量抽樣檢測，考試后統計的所有考生的數學成績服從正態分布．已知數學成績平均分為90分，60分以下的人數占10%，則數學成績在90分至120分之間的考生人數所占百分比約為(

)A．10% B．20%C．30% D．40%答案D5．(2015·邯鄲一中期末)某種品牌攝像頭的使用壽命(單位：年)服從正態分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.8，使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時安裝了兩個該種品牌的攝像頭，則在4年內這兩個攝像頭都能正常工作的概率為________．題型一正態分布的性質探究1解決此類問題的關鍵是正確理解函數解析式與正態曲線的關系，掌握函數解析式中參數的取值變化對曲線的影響．思考題1A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3

，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3【答案】

D

例2

(1)(2014·廣州調研)已知隨機變量x服從正態分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，則P(5<x<6)等于(

)A．0.1358

B．0.1359C．0.2716 D．0.2718題型二服從正態分布的概率計算【答案】

B

(2)設X～N(5,1)，求P(6<X<7)．【解析】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4<X<6)＝0.6826，P(3<X<7)＝0.9544，∴P(3<X<4)＋P(6<X<7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如圖，由正態曲線的對稱性可得P(3<X<4)＝P(6<X<7)．【答案】

0.1359

探究2關于正態總體在某個區間內取值的概率求法：(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. (1)(2015·湖北八校聯考)已知隨機變量ξ服從正態分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.954 B．0.977C．0.488 D．0.477【解析】由隨機變量X服從正態分布N(0，σ2)可知正態密度曲線關于y軸對稱，而P(X>2)＝0.023，則P(X<－2)＝0.023，故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝0.954.【答案】

A思考題2(2)設X～N(1,22)，試求：①P(－1<X≤3)；②P(3<X≤5)；③P(X≥5)．【解析】

∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.①P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.【答案】①0.6826②0.1359③0.0228例3

(2014·新課標全國Ⅰ理)從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：題型三正態分布的應用(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，從而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件產品的質量指標值位于區間(187.8,212.2)的概率為0.6826，依題意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.探究3正態分布的特點可結合圖像記憶，并可根據μ和σ的不同取值得到不同的圖像，特別地，當μ＝0時，圖像關于y軸對稱．

設在一次數學考試中，某班學生的分數服從X～N(110，202)，且知滿分150分，這個班的學生共54人．求這個班在這次數學考試中及格(不小于90分)的人數和130分以上的人數．【思路】要求及格的人數，即求出P(90≤X≤150)，而求出概率需將問題化為正態變量幾種特殊值的概率形式，然后利用對稱性求解．思考題3【答案】及格45人，130分以上9人3．若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.4．在實際問題中進行概率、百分比計算時，關鍵是把正態分布的兩個重要參數μ，σ求出，然后確定三個區間(范圍)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)與已知概率值進行聯系求解．1．(2015·湖南長沙模擬)設隨機變量X～N(2,32)，若P(X<c)＝P(X>c)，則c等于(

)A．0

B．1C．2 D．3答案C解析由正態分布的性質及圖像關于x＝μ對稱可知c＝2.2．(2015·山東文登統考)已知隨機變量ξ服從正態分布N(0，σ2)，則“P(－2≤ξ≤2)＝0.9”是“P(ξ>2)>0.04”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A答案C解析由題意知，μ＝0，σ＝1，所以曲線關于x＝0對稱，根據正態曲線的對稱性，可知P1＝P2.4．燈泡廠生產的白熾燈壽命為X(單位：h)，已知X～N(1000,302)，要使燈泡的平均壽命為1000h的概率為99.74%，問燈泡的最低使用壽命應控制在________h以上．答案910解析因為燈泡壽命X～N(1000,302)，故X在(1000－3×30,1000