1第2章線性系統理論2主要內容2.1基本概念2.2狀態空間表達式的建立2.3線性變換2.4運動分析2.5綜合問題2.6狀態重構與狀態觀測器2.7最優控制32.5綜合問題42.5綜合問題本節主要內容是極點配置，通過設計反饋控制來改善系統極點的分配，達到改善系統相應特性的目的。根軌跡法：只改變一個參數，在根軌跡上選擇極點，不能做到按需要任意配置。系統反饋控制的分類：1按照反饋信號的來源或引出點分2

按照反饋信號的作用點或注入點分

（1）狀態反饋

（2）輸出反饋（1）反饋至狀態微分處（2）反饋至控制輸入處52.5綜合問題一、

狀態反饋與極點配置三、輸出反饋與極點配置二、

狀態重構與狀態觀測器設計四、降維狀態觀測器的概念62.5綜合問題1、反饋至狀態微分處2、反饋至控制輸入處一、

狀態反饋與極點配置72.5綜合問題1、反饋至狀態微分處狀態反饋兩種基本形式：（1）狀態反饋至控制輸入處特點：系統無需可控可觀便可以任意配置耦合極點，且設計上只須將狀態反饋陣與原有的系統矩陣合并即可。能夠實現這種反饋控制的系統極少。配置后系統的可控性與可觀性可能改變。2、反饋至控制輸入處原系統方程狀態向量x通過待設計的狀態反饋矩陣k，負反饋至控制輸入處，于是

（2）狀態反饋至狀態微分處（下面要重點講）82.5綜合問題從而構成了狀態反饋系統。

狀態反饋至控制輸入狀態反饋系統方程證明

這里以SISO系統進行證明。設SISO系統可控，通過

程化為可控標準型，有

設計定理：

引入反饋后，系統可控性不變，閉環極點可任意配置的充要條件

（可觀性可能改變）。這種系統很少。

92.5綜合問題在變換后的狀態空間內，引入狀態反饋陣這里分別由引出反饋系數，故變換后的狀態動態方程為102.5綜合問題式中顯見仍為可控標準型，故引入狀態反饋，系統可控不變。其閉環特征方程為于是，適當選擇，可滿足特征方程中n個任意特定系統的要求，因而閉環極點可任意配置。充分性得證。

再證必要性。設系統不可控，必有狀態變量與輸入u無關，不可能實現全狀態反饋。于是不可控子系統的特征值不可能重新配置，傳遞函數不反映不可控部分的特性。必要性得證。112.5綜合問題對在變換后狀態空間中設計的k應換算回到原狀態空間中去，由于故

對原受控系統直接采用狀態反饋陣k，可獲得于式(6—1)相同的特征值，這是因為線性變換后系統特征值不變。

實際求解狀態反饋陣時，并不一定要進行到可控標準型的變換，只需校驗系統可控，計算特征多項式

和特征值，并通過與具有希望特征值的特征多項式相比較，便可確定k陣。

狀態反

因為非奇異線性變換后傳遞函數矩陣不變，故原系統的傳遞函數矩陣為另外需注意:

饋系統仍是可控標準型。122.5綜合問題而狀態反饋系統的傳遞矩陣為顯然，的分子相同，例2.28設系統傳遞函數為

試用狀態反饋使閉環極點配置在－2，－1。解

單輸入-單輸出系統傳遞函數無零極點對消，故可控可觀測。其可控標準型實現為132.5綜合問題（）狀態反饋矩陣為

態反饋系統特征方程為

期望閉環極點對應的系統特征方程為由兩特征方程同冪項系數應相同，可得

即

系統反饋陣

將系統閉環極點配置在－2，－1。

例2.29設受控系統狀態方程為，試用狀態反饋使閉環極點配置在－1。解

由系統矩陣為對角陣，顯見系統可控，但不穩定。設反饋控制律為，，則142.5綜合問題閉環特征多項式為

因此，

最后，閉環系統的狀態方程為

例2.30設受控系統傳遞函數為，綜合指標為：①超調量：；

②峰值時間：；③系統帶寬：；④位置誤差。152.5綜合問題解

1）如圖所示，本題要用帶輸入變換的狀態反饋來解題，原系

AvS(A,B,C)KU圖8-24帶輸入變換的狀態反饋系統統可控標準型動態方程為

2）根據技術指標確定希望極點

系統有三個極點，為方便，選一對主導極點，另外一個為可忽略影響的遠162.5綜合問題極點。由第三章，上述指標計算公式如下：

式中，分別為阻尼比和自然頻率。將上述數據代入，從前兩個指標可以分別求出：；代入帶寬公式，可求得；綜合考慮響應速度和帶寬要求，取。于是，閉環主導極點為，取非主導極點為。

3）

確定狀態反饋矩陣

k狀態反饋系統的特征多項式為

由此，狀態反饋矩陣

172.5綜合問題

4）確定輸入放大系數狀態反饋系統閉環傳遞函數為

因此由，可以求出

二、輸出反饋與極點配置

輸出反饋至控制輸入

1、輸出反饋至控制輸入

182.5綜合問題如上頁圖所示，閉環系統式中，h為

輸出反饋陣。

原系統其中

輸出至輸入的反饋不會改變原系統的可控性和可觀測性。只要輸出是儀器傳感器測得，系統總是可以實現的。注意：2、輸出反饋至狀態微分處

輸出反饋至狀態微分處

192.5綜合問題原系統如上頁圖所示，閉環系統式中，h為

輸出反饋陣

設計定理：輸出反饋至狀態微分處定理

用輸出至狀態微分的反饋任意配置閉環極點的充要條件是系統可觀測提示：此定理可用對偶定理來證明。定理的證明也可以用與狀態反饋配置極點定理證明類似的步驟進行。202.5綜合問題三、狀態重構與狀態觀測器設計

反饋控制類型（方法）反饋控制能力反饋設計可實現性閉環極點任意配置條件狀態反饋至狀態微分處很強極差無狀態反饋至控制輸入處強差系統可控輸出反饋至控制輸入處強差系統可觀輸出反饋至狀態微分處

弱好可控可觀＋足夠的輸入與輸出，一般情況不能任意配置極點

輸出到狀態觀測器再到控制輸入強好系統可控可觀注意：從輸出引反饋信號和從輸入引反饋信號總是可行的。212.5綜合問題1、全維狀態觀測器及其狀態反饋系統組成結構原系統模擬系統設計原理：

設計H陣，將反饋引入狀態觀測器，使和盡快衰減至零。

（6－2）用全維狀態觀測器實現狀態反饋原理222.5綜合問題2、狀態觀測器的分析與設計由圖（6－2），全維狀態觀測器狀態方程為

故有，

式中，稱為觀測器系統矩陣，H為維矩陣。為了保證狀態反饋系統正常工作，

必須滿足

狀態誤差向量的狀態方程為

其解為

232.5綜合問題當時，恒有，輸出反饋不起作用；當時，有，輸出反饋便起作用，這時只要觀測器的極點具有負實部，狀態誤差向量總會按指數衰減，衰減速率取決于觀測器的極點配置。

設計定理

若系統可觀測，則可用全維觀測器

來給出狀態估值，矩陣H可按極點配置的需要來設計，以決定狀態估計誤差衰減的速率。實際選擇H陣參數時，既要防止狀態反饋失真，又要防止數值過大導致飽和效應和噪聲加劇等，通常希望觀測器的響應速度比狀態反饋系統的響應速度快3～10倍為好。

提示：設計過程與方法與輸出反饋到狀態微分的系統相同242.5綜合問題例2.31設受控對象傳遞函數為

，試設計全維狀態觀測器，將其極點配置在－10，－10。

解

該單輸入－單輸出系統傳遞函數無零極點對消，故系統可控可觀測。若寫出其可控標準型實現，則有

由于

，輸出反饋H為矩陣。全維觀測器的系統矩陣為觀測器的特征方程為

期望特征方程為

由特征方程同冪系數相等可得

分別為由引至

的反饋系數。一般來說，如果給定的系統模型是傳遞函數，建議按可觀標準型實現較好，這樣觀測器的極點總可以任意配置，從而達到滿意的效果，若用可控標準型實現，則觀測器設計往往會失敗。252.5綜合問題

狀態反饋子系統的動態方程為全維狀態觀測器子系統的動態方程為3、狀態重構反饋系統分析與設計故復合系統動態方程為由于，

可以得到復合系統的另外一種形式。262.5綜合問題由式（6－3）

，可以導出復合系統傳遞函數矩陣為

利用分塊矩陣求逆公式

則

272.5綜合問題式（6－3）右端正是引入真實狀態作為反饋的狀態反饋系統

的傳遞函數矩陣。該式表明復合系統與狀態反饋系統具有相同的傳遞特性，與觀測器的部分無關，可用估值狀態代替真實狀態作為反饋。從維復合系統導出了傳遞函數矩陣，這是由于不可控造成的。復合系統的特征值多項式為

282.5綜合問題該式表明復合系統特征值是由狀態反饋子系統和全維狀態觀測器的特征值組合而成的，且兩部分特征值相互獨立，彼此不受影響，因而狀態反饋矩陣K和輸出反饋矩陣H，可根據各自的要求來獨立進行設計，故有下列定理。

設計定理

若受控系統S可控可觀測，用狀態觀測器估值形成狀態反饋時，其系統的極點配置和觀測器設計可分別獨立進行。即K與H的設計可分別獨立進行.4、降維狀態觀測器的概念

當狀態觀測器估計狀態向量維數小于受控對象狀態向量維數時，稱為降維狀態觀測器。使用場合：一是系統不可觀測；二是不可控系統的狀態反饋控制設計；三是希望簡化觀測器的結構或減小狀態估計的計算量。292.5綜合問題例2.32已知

和

,試設計特征值為－2的降維狀態觀測器。

解

(1)檢查受控系統可觀測性

系統不可觀測，實際上正是不可觀測。(2)考慮到可通過