第45講橢圓及其與直線的位置關系一、知識聚焦1直線與橢圓位置關系的判定聯立橢圓方程和直線方程，消去y整理得關于x的一元二次方程，即Ax2+Bx+C=0(A≠0)，.直線與橢圓的位置關系見表451.2直線被橢圓截得的弦長公式設直線與橢圓交于，兩點，則(k為直線斜率).3解決直線與橢圓位置關系問題時的方法解決直線與橢圓的位置關系問題時常利用數形結合法、韋達定理(根與系數的關系)、整體代入、設而不求等思想方法.二、精講與訓練核心例題1(1)求過橢圓內一點P(1，1)且被該點平分的弦所在的直線方程.(2)求橢圓上的點到直線l:3x2y16=0的最短距離，并求取得最短距離時橢圓上的點的坐標.(3)已知直線y=kx+4交橢圓于A，B兩點，O是坐標原點，若，求該直線方程.(4)在直線xy+9=0上取一點M，過點M且與橢圓共焦點作橢圓C，問點M在何處時，橢圓C的長軸最短?并求此時的橢圓方程.解題策略第(1)問，求符合條件的直線方程，由于直線過點P(1，1)，則只需要求出另一個條件，通常求直線的斜率，設所求直線的點斜式方程，則可聯立方程組，運用方程理論(韋達定理，中點坐標公式等)求解.第(2)問，與橢圓上的動點有關，故可利用橢圓的參數方程(實質也是三角換元法)，把關于x，y的二元函數轉化為關于θ的一元函數.將代數問題轉化為三角問題處理，從而化繁為簡，當然本題也可以用幾何方法求出與已知直線平行，又與橢圓相切的直線方程，轉化為直線與橢圓的位置關系問題.第(3)問，直線方程與橢圓方程聯立消元轉化為關于x或y的二次方程，由，可以聯想到的二次方程的兩根之和形式，從而把關于x和y的二次方程轉化為的二次方程，這是整體思想的巧妙應用.第(4)問，顯然橢圓的兩焦點分別為F1(1，0)，F2(1，0)，所求橢圓經過點M，并且長軸最短，即|MF1|+|MF2|最小，可通過求F1關于直線xy+9=0的對稱點F'1，連接FlF2，F'1F2與直線xy+9=0的交點即為M點，當然也可以運用與已知橢圓共焦點的橢圓系，當M為橢圓系與直線xy+9=0的切點時滿足條件，消元后用△=0求得λ的值從而得到所求的橢圓方程，后一解法讀者可試著自行探究.解:(1)設滿足題設要求的直線l的方程為.由方程組，得，設直線l與橢圓的交點坐標為，，.由P(1，1)是線段AB的中點，得=2，故=2，解得k=.∴直線l的方程為x+2y3=0.(2)設橢圓上的任意一點為.則點M到直線l的距離d=∴當時，d有最小值.此時橢圓到直線的最短距離為此時橢圓上點的坐標為.(3)設,由整理得方程兩邊同除以得由韋達定理知,得.所求直線方程為.（4）已知橢圓焦點分別為,設所求橢圓方程為關于直線的對稱點為如圖所示直線與直線的交點即為所求點.直線的方程為,由解得點的坐標為.這時.則,故橢圓方程為.【變式訓練(1)】已知橢圓上的動點和橢圓內一定點為其右焦點,求的最大值和最小值.【變式訓練(2)】設是橢圓的左、右焦點,弦過,求的面積的最大值.【核心例題2】已知直線與橢圓相交于兩點,與軸相交于例題點.(1)若,且,求實數的值.(2)若,求面積的最大值,及此時橢圓的方程.【解題策略】第(1)問,直線的凃率確定,直線與橢圓交于兩點,則,的長可用弦長公式表示,運用韋達定理使轉化為關于的方程,解方程即可求得的值.第(2)問,由求出兩點橫坐標之間關系并用參數表示,而,進一步表示為的函數,運用基本不等式求的最大值,由此時的值確定參數的值,從而得到橢圓方程.【解】(1)設由得，判別式解得（2）由得，由條件知點從而代入得即顯然.當且僅當取等號.故的面積最大值為，此時橢圓的方程為變式訓練已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為且,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程.(2)過點的直線與橢圓相交于兩點,且的面積為,求以為圓心且與直線相切的圓的方程.【核心例題3】已知?圓分別為其左、右焦點,直線過點,交橢圓于,兩點.(1)若直線垂直于軸,求.（2）當且點在軸上方時,求兩點的坐標.（3）若直線交軸于點,直線交軸于點,則是否存在直線,使得若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.【解題策略】這是一道探究橢圓與直線位置關系的題目,涉及求弦長、點的坐標以及探究符合條件的直線是否存在等一系列問題,通常解析幾何題的計算量一般都比較大,但如果方法得當,能較大減少計算量,比如第問,若設出點的坐標,根據,有,展開后與橢圓方程聅立解之,運算量肯定大;若由,利用勾股定理求解,會相對簡潔一些;若能運用橢圓的定義,則運算量更小.第問,已知直線：在軸上的截距,相比將方程設為,方程設為可避免分類討論,運算量也小,如果能挖掘題中的幾何特征,則解題過程更為簡潔.【解】（1）由題意得,即.直線的方程為把代入求得的坐標為（2）【解法一】設則解得.直線的方程為由得故兩點的坐標為.【解法二】設則代入化簡得以下同【解法一】.【解法三】設則在中，由橢圓定義可得解得為橢圓上頂點,即,以下同【解法一】（3）如圖所示,設,顯然直線的方程不為可設直線的方程為,聯立方程組得..由直線的方程為,得,同理得.【解法一】由得又由韋達定理得解得故存在直線使得【解法二】由得即即即解得故存在直線使得.【變式訓練】（2020年高考數學江蘇春第18題)如圖所示,在平