期末高數復習資一、二重積分的計算將已給的二次積分的積分限得出相應的二重積分的積分區域,并畫出草圖按相反順序寫出相應的二次積分注： f(x,y)在考慮的區域上連續時，二次積分才可以交換積分次序在直角坐標系下計算三重積分思想是在直角坐標系下將三重積分化為三次積注注：當被積函數僅與z有關，且截面知時，用截面法比較簡單注：利用柱面坐標系計算三重積分通常是先積z,再積ρ，后積θf(x2+y2+z2)的形式時，用球坐標系計算三重積分更簡便。第十章.一一．曲線積分：性質大部分與一次積分相同f(x,yf(x,y)dsβφ(t),ψ φ'2(t)+ψ第二類曲線積分（對坐標的積分{ 第一類曲線積分（{ 第一類曲線積分（對弧長的積分∫αP(x,y)dx+Q(x,y)dy 設夾角為θ就可得出兩者轉化關系。0當β∫Lf(x,y)ds=∫αf(x,g(x))1β當曲線弧置于空間坐標系中，即 ∫f(x,y,z)ds=∫βf(φ(t),ψ(t),ω(t))φ'2(t)+ψ'2(t) 第二類曲線積分：積分曲線與其路徑無關,計算方法的常用變換：當β∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫α(P(x,g(x))β將曲線弧置于空間坐標系中，即 設閉區 由分段光滑的曲 圍成 函數 上具有一階續偏導數,則有 （其中L是 是u的全微分。即是du=解法是：將全微分從(0,0)積到（xy。計算,其中 L為一條無重點,分段光滑且不經過原點的連續閉曲線,L求L

(xy)dx+(x+y)dy,LAa,0)y=bx2+y2

a-到a-a的弧段a{二．曲面{第一類曲面積分（對面積第二類曲面積分（對坐標第二類曲面積分（對坐標 例題 ________,其中 是柱面 被平面 設空間閉區域 由分片光滑的閉曲面Σ圍成,函數、、在 上具有一階連續偏導數 則有公式或stokes公式Green

求向量,穿過曲 :為立方 的全表面,流向外側的通量第十一 無窮級一.常數項級1、數項級數的基本性質2、正項級數的審斂法步驟（先預估級數收斂性向數 un，先看limun=0是否成立（級數收斂的必要條件n 用limun+1=L（比值審斂法）或 （0nnn→∞ 3、任意項級數斂散性的判定A、（1）任意項級數 un，先看是否滿足limn

考慮正項級數∑∞|un|（利用絕對收斂的性質，原數列也收斂

nn

(-1)n-1u滿n （2）lim則級數收斂，和S≤u，|rn|≤ nn nn

n -n(1)∑(2n2+lnn+1)n+1n

∑(nn

n

n n

=nn

22 2n2+n+1nn2n2+n(nlim(1+1)n

=e<3,故limun+1= ,得n→∞ 1n(13(1(13(1lim3(1+n)2=1。所以級數 發散，級數 nn n

∑n=1(1

∑n=1(n+1)n由lim = n→∞n

1(1 un n（1+n）單調遞增且有界 n

1n≥1，故un1≥un>0∞

(1n注：此題還可用拉阿伯判別法：若有l∞n(uun-1=L,其中0≤Ln項級數∑∞un當L>1時收斂，1時發散，L=1nex=1+

x3+…,-∞<x<∞可得e

，由 ∑n=1e-n （n→∞）的高階無窮小，α>0，因（e（elime-n n→∞

二．冪級冪級 求冪級數的和函 應1.⑵收斂半徑如果其中 則R為冪函數的收斂半徑。注：求收斂域還需將區間端點代入原級數，判斷此時級數的斂散性 例1.求的收斂解1：令，則化 得則發散；發散，所以收斂域為 即，后面步驟同解1⑶運算見書本212頁213冪函數的和函 在其收斂域I上連續冪函數的和函 ，逐項積分后所得冪級數的和函 在其收斂區 變量替換法——通過變量替換化為一較簡單的冪級數拆項法——將冪級數分拆成兩個（或幾個）簡單冪級數的和逐項求導法——通過逐項求導得出另一冪級數而此冪級數的和 例2：求冪函數的收斂域與和函 設， 時，有，..所以又綜上 = 的和則 代入（，其中為拉格朗日余項 ，介 ⑵展開方法（無論怎樣，先求收斂域，求出展開式后，寫出x范圍求，若x=0處某階導數不存在，就停止求C.寫出麥克勞林級數，d.判別在，，，，，x例4：將函數展開成 又，；，所 三.傅里葉級：f(x)

∞ n

ancosnπx+bnsin

（x 其中

=1∫Lan

L-L

L∫-Lbn=1L

nLxdxL∫- L=π

0 =1∫π 0n =1∫πf(xn bn=1∫πf(x)sinnxdxπ-2、(收斂定理,展開定理設f(x)2p的周期函數,并滿足狄利克雷Dirichlet)條件在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點 F(x)=a0

n 3（1）正弦級數（即f（x）為奇函數a0bn=2∫πf(x)sinπ余弦級 an=2∫πf(x)cosπbn=：L2x

4、cos

=（-1、將函數f(x)=1-x2(0≤x≤π)∞（-1）n1∑n 先作圖，將函數f(x)=1-x2(0≤x≤π) =1 2 π∫-π1-xdx=2- an=∫π1-x2cosnxdx=（-1）n-1

bnπn πn=1-3π2=1-3π2（-1）n-1cos，(0≤xn 2令x=0，f(0)=1，所以∞（-1）n-1 ∑n 第十二章.微分一．可分離變量(1)形 的微分方程，稱為可分離變量的方程.該微分方程的特⑵求解方 可分離變量的微分方的求解方法,一般有如下兩步第一步:，第二步:兩邊積 第三步:計算上述不定積分，得通解.）例2 的解． 分離變量 , 為任意常數1.一階線性微分定義：形 的方程,稱為一階線性方程,其 已知函數 時, 時, 為非齊次線性方程即令為非齊次線性方程的解,代入 代入得通解上式稱為一階線性非齊次程的通解公式。上述求解方法稱為常數變易法,根據所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解(將所求出的齊次方程的通解中的任意常數C改為