初中數學專題復習一全等三角形一.知識點結構梳理及解讀.全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。.全等三角形性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等.三角形全等的判定：（1）邊邊邊（SAS）:三邊對應相等的兩個三角形全等。（2）角邊角（SAS）：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。（3）角邊角（ASA）：兩邊和他們的夾角對應相等的兩個三角形全等。角角邊（AAS）：兩個角和其中的一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（4）斜邊，直角邊（HL）：斜邊和直角邊對應相等的兩個三角形全等。.角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。2.角平分線的判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。三角形三條內角平分線交于一點，且這一點到三角形三邊的距離相等。二、找全等三角形的方法（1）從結論出發，看要證明相等的線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）從已知出發，看可以確定哪兩個三角形全等；（3）從條件和結論綜合考慮，看能一同確定哪兩個三角形全等；（4）考慮輔助線，構造全等三角形。三.全等三角形中幾個重要結論（1）全等三角形對應角的平分線、中線、高分別相等（對應元素都分別相等）（2）在一個三角形中，等邊對等角，反過來，等角對等邊；等腰三角形三線合一；等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍；等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高；等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高。（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這條邊的對角等于90°；Rt030°角的對邊等于斜邊的一半，反之，Rt力中如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊的對角是30°。（4）三角形三內角平分線交于一點（這點叫三角形的內心，這點到三角形三邊的距離相等）三角形兩外角平分線與第三內角平分線交于一點（這點叫三角形的旁心，這點到三角形三邊所在直線的距離相等），到三角形三邊所在直線等距離的點有四個例1.如圖：BE、CF相交于點D,DE，AC,DF，AB,垂足分別為E、F,且DE二DF。求證：AB二AC。例2.【變式1】如圖：BELAC,例2.【變式1】如圖：BELAC,CF±AB,BM=AC,CN=AB。求證：(1)AM=AN；(2)AM±ANO例3.【變式2】如圖：NBAC=90°,CE，BE,AB=AC,NABE二NCBE,求證：BD=2EC。例4.(24例4.(24題)在4ABC中，NACB=90°,AC=BC,分線交BD于點Eo(1)求證：BC=CD；(2)求證:BC+CE=AB過C作CD〃AB交NABC的平分線于點D,ZACB的平,E為AB中點，例5(2015級一中七下).已知兩個全等的等腰直角△ABC、^DEF,,E為AB中點，線段DE，EF分別交線段CA，CB(或它們所在直線)于M、N.(1)如圖l所示放置，當線段EF經過4ABC的頂點C時，點N與點C重合，線段DE交AC于M,求證：AM=MC；(2)如圖2所示放置，當線段EF與線段BC邊交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN,EC,請探究AM,MN,CN之間的等量關系，并說明理由；(3)如圖3所示放置，當線段EF與BC延長線交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN,EC,請猜想AM,MN,CN之間的等量關系，不必說明理由.例6(2016級南開七下)。已知，在等腰RtAABC中，ZABC=90。,AB=CB,D為直線AB上一點，連接CD,過C作CE±CD，且CE=CD，連接DE,交AC于F。(1)如圖1,當D、B重合時，求證：EF=BF。(2)如圖2,當D在線段AB上，且/DCB=30。時，請探究DF、EF、CF之間的數量關系，并說明理由。(3)如圖3,在(2)的條件下，在FC上任取一點G,連接DG,作射線GP使/DGP=60。，交/DFG的角平分線于點Q，求證：FD+FG=FQ。圖1 圖圖1 圖2 圖3三角形中常見輔助線的作法1、延長中線構造全等三角形例1：如圖1,已知448（3中，AD是^ABC的中線，AB=8,AC=6,求AD的取值范圍.易得△ADB04ADB，，4B’DC是等腰三角第5易得△ADB04ADB，，4B’DC是等腰三角第5題形，于是結論可證.例5：如圖5,已知四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線交EF的延長第1題 第2題 第3題2、引平行線構造全等三角形例2：如圖2,已知△ABC中，AB=AC,D在AB上，E是AC延長線上一點，且BD=CE,DE與BC交于點F.求證：DF=EF.（提示：此題輔助線作法較多，如：①作DG〃AE交BC于G； ②作EH〃BA交BC的延長線于H；再通過證三角形全等得DF=EF.）3、作連線構造等腰三角形例3：如圖3,已知RTAACB中，ZC=90°,AC=BC,AD=AC,DELAB,垂足為D,交BC于E.求證：BD=DE=CE.（提示：連結DC,證4ECD是等腰三角形.）4、利用翻折，構造全等三角形.例4：如圖4,已知△ABC中，NB=2NC,AD平分NBAC交BC于D.求證：AC=AB+BD.提示：將4ADB沿AD翻折，使B點落在AC上點B'處，再證BD=BZD=BZC,第4題5、作三角形的中位線貝UOE〃AB,OF〃CD,線于點M、N.求證：NBME=NCNE.提示：連結AC并取中點O,貝UOE〃AB,OF〃CD,故N1=NBME,N2=NCNE.、 且OE=OF,故N1=N2,可得證.

綜合練習題1：（2014中考）如圖，已知448（3和4ABD均為等腰直角三角形，NACB=NBAD=90邊AC上任意一點（點P不與A、C兩點重合），作PEXPB交AD于點E,交AB于點F.(1)求證：NAEP:NABP.（2）猜想線段PB、PE的數量關系，并證明你的猜想.（3）若P為AC延長線上任意一點（如圖②），PE交DA的延長線于點E,其他條件不變，（2）中的結論是否成立？請證明你的結論.否成立？請證明你的結論.綜合練習題2：如圖，點E在AD上,AABC和^BDE都是等邊三角形.猜想：BD、CD、AD三條線段之間的關系，并說明理由.綜合練習題3：點P為線段AB的中點，分別過線段AB的端點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點C、D,連接PC、PD.（1）當直線l過線段AB的中點P,如圖1,猜想PC、PD的數量關系（直接寫出你的猜想）；（2）當直線l過線段AB上的任一點，如圖2,猜想PC、PD的數量關系并加以證明；（3）當直線l過線段AB的延長線上的任一點，按照題意畫出圖形，并判斷4PCD的形狀（不必證明）.

綜合練習題4：（2014?宿遷）如圖，已知4840和ABCE均為等腰直角三角形，NBAD=NBCE=90°,點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM