度量空間與連續映射2章第它們的定義域和值域從數學分析中已經熟知單變量和多變量的連續函數，都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分.在這一章中我們將連續首先將連續函數的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，然函數的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續映射（參見§2.1）.隨給出拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射（參見§2.2）.后將兩者再度抽象，后再逐步提出拓撲空間中的一些基本問題如鄰域，閉包，內部，邊界，基和子基，序列等等.度量空間與連續映射§2.1本節重點：掌握拓撲學中度量的概念及度量空間中的連續映射的概念.注意區別：數學分析中度量、連續映射的概念與本節中度量、連續映射的概念.應細細體會證明的方法.注意，在本節的證明中，R-Rf：首先讓我們回憶一下在數學分析中學習過的連續函數的定義.函數沖，使〉00，存在實數5eR稱為在點處是連續的，如果對于任意實數8>孔a0|x-得對于任何xeR，當|f（x）-f（）|<8.在這個定義中只涉及時|<5,有兩個實數之間的距離（即兩個實數之差的絕對值）這個概念；為了驗證一個函而與實數的數在某點處的連續性往往只要用到關于上述距離的最基本的性質，其它性質無關，關于多元函數的連續性情形也完全類似.以下，我們從這一考.察出發，抽象出度量和度量空間的概念，zeX，，xy是一個集合，定義2.1.1設Xp：XXX—R.如果對于任何有頁40共**頁1第（1） （正定性），P（x,y）N0并且p（x,y）=0當且僅當x=y；（2） （對稱性）P（x,y）=P（y,x）；（3） （三角不等式）P（x,z）Wp（x,y）+P（y,z）則稱P是集合X的一個度量.如果P是集合X的一個度量，稱（X，P）是一個度量空間，或稱X是一個對于P而言的度量空間.有時，或者度量P早有約定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，這時我們稱X是一個度量空間.此外，對于任意兩點x，yeX，實數P（x，y）稱為從點x到點y的距離.著重理解：度量的本質是什么？例2.1.1實數空間R.對于實數集合R，定義P：RXR—R如下：對于任意x，yeR，令P（x，y）=|x-y|.容易驗證P是R的一個度量，因此偶對（R，P）是一個度量空間.這個度量空間特別地稱為實數空間或直線.這里定義的度量P，稱為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱R為實數空間.（今后我們說實數空間，均指具有通常度量的實數空間.）維歐氏空間.例2.1.2n對于實數集合R的n重笛卡兒積玲=RXRX-XRa%玲（）x=XfR如下：對于任意P定義,：OiRy=,令' ' ）=yxp（,頁40共*頁2第反*是的一個度量，因此偶容易驗證（詳見課本本節最后部分的附錄）PaH,p）是一個度量空間.（這個度量空間特別地稱為n維歐氏空間.對這里定^ ,稱為義的度量P的通常度量，并且常常略而不提，逕稱為n維歐氏空間.2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面.（今后說通常度量，均指滿足這種公式的度量）例2.1.3Hilbert空間H.記H為平方收斂的所有實數序列構成的集合，即3 trb，…）|＜8}=（x=（H定義P如下：對于任意乩,知'…乃，乃,…質-y尸 （X--y-）2=（）EH），yx=（丫」i''（x,y）=令p山盤''（即驗證＜8）以及驗證P是說明這個定義是合理的H的一個度量，均請參見課本本節最后部分的附錄.偶對（H，P）是一個度量空間.這個度量空間特別地稱為Hilbert空間.這里定義的度量P稱為H的通常度量，并且常常略而不提，逕稱H為Hilbert空間.例2.1.4離散的度量空間.設（X，p）是一個度量空間.稱X，p）是離散的，或者稱P是X西xEX，存在一個實數＞0使得P（的一個離散度量，如果對于每一個x，y）西yex，x尹y，成立.＞對于任何頁40共**頁3第例如我們假定X是一個集合，定義P：XXX-R使得對于任何x，yex，有Vxr（x,y）=P容易驗證P是X的一個離散的度量，因此度量空間（X，p）是離散的.通過這幾個例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實數.離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會發現它的性質是簡單的.定義2.1.2設（X，p）是一個度量空間，xex.對于任意給定的實數e＞0，集合（yEX|p（x，y）＜e}乩⑴），或，稱為一個以x為中心以8為半徑的球形鄰記作B（x，e域,簡稱為x的一個球形鄰域，有時也稱為x的一個e鄰域.此處的球形鄰域是球狀的嗎？定理2.1.1度量空間（X，P）的球形鄰域具有以下基本性質：（1）每一點x￡X，至少有一個球形鄰域，并且點x屬于它的每一個球形鄰域;（2） 對于點x￡X的任意兩個球形鄰域，存在x的一個球形鄰域同時包含于兩者；（3） 如果yex屬于xGX的某一個球形鄰域，則y有一個球形鄰域包含于x的那個球形鄰域.證明：（1）設xEX.對于每一個實數e>0，B（x，e）是乂的一個球形鄰域，所以x至少有一個球形鄰域；由于P（x，x）=0,所以x屬于它的每一個球形鄰域.頁4o共*頁4第句叫，）是x^XB（x（2）如果B（x的兩個球形鄰域，任意選取實，）和數句,母}min{，則易見有￡>0，使得eV^句，）EB（x，））B（x，eB（x匚即B（x，e）滿足要求.呵呵）.顯然.>0.如果xp（，yzEB，（3）設yEB（xe=）.令e-句，），則（y句）Vxy，）+p）+p（y，x=e（（（z，x）Wpz，ypq，y）e）.這證明B（eB（x，）.，所以zEB（xc定義2.1.3設A是度量空間X的一個子集.如果A中的每一個點都有一個球形鄰域包含于A（即對于每一個aEA，存在實數e>0使得B（a，e）匚A，則稱A是度量空間X中的一個開集.注意：此處的開集僅是度量空間的開集.例2.1.5實數空間R中的開區間都是開集.設a，bER，aVb.我們說開區間（a，b）=（xER|aVxVb}是R中的一個開集.這是因為如果xE（a，b），若令e=min（x-a，b-x}，則有B（x，e）（a，b）.也同樣容易證明無限的開區間匚（a，8）={xER|x>a}，（—8，b）=（xER|xVb}（—8,8）=R都是R中的開集.然而閉區間[a，b]={xER|aWxWb}頁40共**頁5第卻不是R中的開集.因為對于aE[a，b]而言，任何e>0,B（x，e）[a,b]都不成立.類似地，半開半閉的區間匚（a，b]={xER|aVxWb}，[a，b）={xER|aWxVb}無限的閉區問[a，8）={xER|xNa},（—8，b]={xER|xWb}都不是R中的開集.定理2.1.2度量空間X中的開集具有以下性質：0本身和空集都是開集；X（1）集合（2）任意兩個開集的交是一個開集；（3）任意一個開集族（即由開集構成的族）的并是一個開集.證明根據定理2.1.1（1）X中的每一個元素x都有一個球形鄰域，這個球形鄰域當然包含在X。滿足開集的條件；空集X中不包含任何一個點，也自然地可以認為中，所以它滿足開集的條件.的一個球形鄰x如果xeunv，則存在U設和V是X中的兩個開集.（2）安E].根據V，的一個球形鄰域B（x）包含于域B（x，）包含于U，也存在xq，（xe）同時包含于BB（2），x有一個球形鄰域（x，）和B定理2.1.1呵，)，因此(X句攵,)UAVB(x,B(x,)EB(xe)匚匚由于UEV中的每一點都有一個球形鄰域包含于unv,因此unv是一個開集.頁40共*頁6第*任口蟲yA中的開集構成的子集族.如果，則存在是一個由X3)設*A(44玲&A有一個球形鄰域包含于是一個開集，所以由于E*x使得，顯xEU血岫H。血岫龍然這個球形鄰域也包含于中的一個開集..這證明是X此外，根據定理2.1.1(3)可見，每一個球形鄰域都是開集.球形鄰域與開集有何聯系？為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點推廣.定義2.1.4設x是度量空間X中的一個點，U是X的一個子集.如果存在一個開集V滿足條件：xeVU，則稱U是點x的一個鄰域.匚下面這個定理為鄰域的定義提供了一個等價的說法，并且表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情.定理2.1.3設x是度量空間X中的一個點.則X的子集U是x的一個鄰域的充分必要條件是x有某一個球形鄰域包含于U.證明如果U是點x的一個鄰域，根據鄰域的定義存在開集V使得x￡VU，又根據開集的定義，x有一個球形鄰域包含于V，從而這個球形鄰域匚也就包含于U.這證明U滿足定理的條件.反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U是x的鄰域.現在我們把數學分析中的連續函數的概念推廣為度量空間之間的連續映射.頁40共心頁7第互沖f(如果對于)是兩個度量空間，f:X-Y，EX以及定義2.、1.5,設乂、和丫氣沖氣3)，，存在6的某一個球形鄰域B)，的任何一個球形鄰域B(f(),沖知而)，則稱映射在點處是連續的.()，6))，8B(使得f(Bf(匚如果映射f在X的每一個點xeX處連續，則稱f是一個連續映射.以上的這個定義是數學分析中函數連續性定義的純粹形式推廣.因為如果知Qi在點f處連續，可以說成：和Y設P中的度量，則和分別是度量空間X對于任意給定的實數e>0，存在實數6>0使得對于任何x^X只要P(x，尚尚x^B(,6)便有)<5(即氣知0f(f(x)EB(.(即(f(x),f())e)).<e)，下面的這個定理是把度量空間和度量空間之間的連續映射的概念推廣為拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射的出發點.以及GX?X-Y則下述條件Y是兩個度量空間，f：和定理2.1.4設X：和(*2)*(1)和(2)分別等價于條件(1)知)f處是連續的；在點(1知際的每一個鄰域的原象是的一個鄰域；(1)*f()(2)f是連續的；(2)*Y中的每一個開集的原象是X中的一個開集.片()的一個鄰域.根令U為f成立.1)蘊涵()*:設(1)1證明條件(知知)，e)包含于B(fU(.由于f)有一個球形鄰域2.1.3據定理，f(%處是連續的，所以在點有一個球形鄰域廣1如此知((BfBeB(fB))，5(()，).然而，(()使得，5f匚頁40共*頁8第廣氣)，所以()，eU)(匚廣】廣】知氣）是）B）,這證明（（U（U的一個鄰域.，6匚氣（fl）*成立.任意給定）的一個鄰條件（1）*蘊涵（1）.設條件（廣f礪沖，根據定理2.1.3是（的一個鄰域.f（）,e域B（ef（）,）,）則（B-口沖）包含于6（,有一個球形鄰域BjT氣 （）.f）,e（B（知血知（f（B在點處連續.因此，6））B（f（）,e）.這證明fu中的一個開集，為Y*?設條件（2）成立.令V2條件（）蘊涵（2）J』是一個開集，所Vx）ey.由于）.對于每一個xeu,我們有f（U（=VxU是1）*,）的一個鄰域.由于以V是f（xf在每一點處都連續，故根據（由U=UxeUUx.U.易見Ux的一個鄰域.于是有包含x的某一個開集Ux使得匚U是一個開集.都是開集，根據定理2.1.2，于每一個Ux）的x是f（2）*成立，對于任意xeX,設U條件（2）*蘊涵（2）.設（尸廣】根.U）（（的一個開集x）VU.從而VxE）f一個鄰域，即存在包含（匚匚廠尸x的一個鄰域，對于U據條件（2）*,（V）是一個開集，所以）是x（是任意選取的，所以處連續.由于點x在點*成立，于是fx）而言，條件（1f是一個連續映射.從這個定理可以看出：度量空間之間的一個映射是否是連續的，或者在某一點處是否是連續的，本質上只與度量空間中的開集有關（注意，鄰域是通過開集定義的）.這就導致我們甩開度量這個概念，參照度量空間中開集的基本）建立拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射的概念性質（定理2.1.2作業：P471.2.3.4.頁40共**頁9第拓撲空間與連續映射§2.2：本節重點.并在此空間上建立起來的連續映射的概念拓撲與拓撲空間的概念，：注意區別.拓撲空間的開集與度量空間開集的異同；連續映射概念的異同現在我們遵循前一節末尾提到的思路，即從開集及其基本性質（定理2.1.2）出發來建立拓撲空間的概念.TT滿足如下X是一個集合，定義2.2.1設X的一個子集族.如果是條件：0tE（；lX）,TT；（2）若A,BEAEB￡,則戛匚二ULJ心/eT（3）若t是X的一個拓撲.則稱tt）是一個拓撲空間，或x如果，是集合X的一個拓撲，則稱偶對（TT是一個相對于拓撲而言的拓撲空間；此外稱集合的每一個元素都叫做Xtt^.即：AEA是開集.）或（開集XX拓撲空間（，）中的一個（此定義與度量空間的開集的性質一樣嗎？留給大家思考）經過簡單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊涵著：有限多個開集的交仍是開集，條件（3）蘊涵著：任意多個開集的并仍是開集.頁40共*頁10第現在首先將度量空間納入拓撲空間的范疇.扃中的所有開集構為由P）是一個度量空間?令定義X2.2.2設（X,扁扃的一個拓撲.我們稱2.1.2）是，（X為成的集族.根據定理，X的X由.此外我們約定：如果沒有另外的說明，我們提到度度量P誘導出來的拓撲扃）的拓撲時，指的就是拓撲；在稱度量空間（X，X，pp）為拓撲量空間（扃空間時，指的就是拓撲空間（X，）氐'Rn空），HilbertR因此，實數空間，n維歐氏空間（特別，歐氏平面間H都可以叫做拓撲空間，它們各自的拓撲便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定義的各自的度量所誘導出來的拓撲.例2.2.1平庸空間.0TT是X，｝.容易驗證，設X是一個集合.令的一個拓撲，稱之為二｛XT）為一個平庸空間.在平庸空間（；并且我們稱拓撲空間（X，乂，的乂平庸拓撲。T）中，有且僅有兩個開集，即X本身和空集.例2.2.2離散空間.TP（X），即由XX是一個集合.令二的所有子集構成的族.容易驗證，設TT）為一X；并且我們稱拓撲空間（，的一個拓撲，稱之為X的離散拓撲是XT）中，X的每一個子集都是開集.在離散空間（X，個離散空間.0T=｛，｛a｝，｛a，b｝，｛a，｛a，bc｝.令，b，c｝）.=2.2.3例設XTT）是一個拓撲空間.這個拓撲X的一個拓撲，因此（，容易驗證，是乂空間既不是平庸空間又不是離散空間.頁40共**頁11第例2.2.4有限補空間.設X是一個集合.首先我們重申：當我們考慮的問題中的基礎集自明時，我們并不每次提起.因此在后文中對于X的每一個子集A，它的補集X-A我們我寫為.令U'0X|T=｛U的一個有限子集）U｛是X）匚T是X的一個拓撲：先驗證曰0工-；另外，根據定義便有￡T.）XET（因為=）（1T如果A和B之中有一個是空集，則AEBET,假定A（2）設A，BE和B（Rc3》月「T.的一個有限子集，所以AEBE是都不是空集.這時X=7；-（0）MT,顯然有）設（3.令5^對月=耳月與三。，則如果口如月=心住/=。5（u庭=X任意選取.這時是設5熾T的一個有限子集，所以P是X的一個拓撲，稱之為3）,X的有限補拓根據上述（1）,（2）和（P）稱為一個有限補空間.，撲.拓撲空間（X例2.2.5可數補空間.設X是一個集合.令U10T的一個可數子集}U{X）={UX|是匚T是X2.2.4通過與例中完全類似的做法容易驗證（請讀者自證）的一個T）稱為一個可數補空間.，的可數補拓撲.拓撲空間（拓撲，稱之為XX頁40共*頁12第一個令人關心的問題是拓撲空間是否真的要比度量空間的范圍更廣一點？換句話就是問：是否每一個拓撲空間的拓撲都可以由某一個度量誘導出來？P使）是一個拓撲空間.如果存在X的一個度量設（X,p定義2.2.3烏PP）是一個P誘導出來的拓撲可度量化空，則稱（得拓撲X,即是由度量間.根據這個定義，前述問題即是：是否每一個拓撲空間都是可度量化空間？每一個只含有限個點的度量空間作為拓撲可以看出，和從§2.1中的習題23空間都是離散空間.然而一個平庸空間如果含有多于一個點的話，它肯定不是中給出的那個空間只含有三個點，2.2.3離散空間，因此它不是可度量化的；例拓撲空間是比可度量空間的但不是離散空間，也不是可度量化的.由此可見，進一步的問題是滿足一些什么條件的拓撲空間是可度量化的？這范圍要廣泛.是點集拓撲學中的重要問題之一，以后我們將專門討論.現在我們來將度量空間之間的連續映射的概念推廣為拓撲空間之間的連續映射.U定義2.2.4是兩個拓撲空間，f:X-Y.如果中每一個開集Y設X和YjT的一個連續映射，或簡稱Xf是中的一個開集，則稱X到Y（的原象U）是映射三連續.按這種方式定義拓撲空間之間的連續映射，明顯是受到了§2.1中的定理2.1.4的啟發.并且那個定理也保證了：當X和Y是兩個度量空間時，如果f:X-Y是從度量空間X到度量空間Y的一個連續映射，那么它也是從拓撲空間X到拓撲空間Y的一個連續映射，反之亦然.（按照約定，涉及的拓撲當然都是指誘導拓撲）頁40共**頁13第但所指出的卻是連續映射的最重要的下面的這個定理盡管證明十分容易，性質.都是拓撲空間.則，Y和ZX定理2.2.1設演是一個連續映射；1:X-X）恒同映射：（也是連續映射.和g：Y-Z都是連續映射，則gof:X-Z（2）如果玖—丫虹/已寫尸⑶=圣寫演l連續.），所以證明（）設2f:X-Y,g:Y一Z都是連續映射（以片與,（EV（礦）=廠（廣W））已弓連續.這證明gof如在線性代數中我們考在數學科學的許多學科中都要涉及兩類基本對象?慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學中考慮各自的圖形和各自的變換等等.并且對于后群論中的同構，者都要提出一類來予以重視，例如線性代數中的（線性）同構，集合論中的一一映射，以及初等幾何學中的剛體運動（即平移加旋轉）等等.我們現在已經提出了兩類基本對象，即拓撲空間和連續映射.下面將從連續映射中挑出重要的一類來給予特別的關注.是一個一一映射，f：X-YY設X和是兩個拓撲空間.如果2.2.5定義/T和f是一個同胚映射或同胚.都是連續的，則稱：Y-X并且f定理2.2.2設X都是拓撲空間.則Y和Z,凝:X-X）恒同映射（1是一個同胚；了7）如果f：X-Y（:Y-X也是一個同胚；2是一個同胚，則頁40共*頁14第:X-Z也是一個同胚.：Y-Z都是同胚，^Qgof（3）如果f：X—Y和g2.2.1,定理證明以下證明中所涉及的根據，可參見定理.5.4..53和定理1.1俄=奴尸演演是一個一一映射，并且（1是同胚.），都是連續的，從而是一個一一映射，并且f和）設f：X-Y是一個同胚.因此f都（2（廣廠'y1也都是連續的，也是一個一一映射并且是連續的.于是和所以也是一個同胚.，f都是一一映射，并且因此f和gf）設：X-Y和g：Y-Z都是同胚.（3『i廣】和且gof射，并一因此gof也是一映，g續和都是連的?（g口刀一】=廣、廣gof是一個同胚.都是連續的.所以：X-Y，則f和Y是兩個拓撲空間.如果存在一個同胚設定義2.2.6X.同胚于YX是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X稱拓撲空間與拓撲空間Y粗略地說，同胚的兩個空間實際上便是兩個具有相同拓撲結構的空間.都是拓撲空間.則和Z設X，Y定理2.2.3X同胚；1）X與（同胚；Y與X同胚，則（2）如來X與YZ同胚.同胚，貝與ZX與同胚，）如果（3X與YY2.2.2直接得到.證明從定理在任意給定的一個由拓撲空間組成的族中，我們可以說：根據定理2.2.3，因而同胚關系將這個拓撲空兩個拓撲空間是否同胚這一關系是一個等價關系.間族分為互不相交的等價類，使得屬于同一類的拓撲空間彼此同胚，屬于不同類的拓撲空間彼此不同胚.頁40共**頁15第，如果為某一個拓撲空間所具有，則必為與其同胚P拓撲空間的某種性質.換言之，拓拓撲不變性質的任何一個拓撲空間所具有，則稱此性質P是一個撲不變性質即為同胚的拓撲空間所共有的性質.拓撲學的中心任務便是研究拓撲不變性質.至此我們已經做完了將數學分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續函數的概念，經由度量空間和度量空間之間的連續映射，一直抽象為拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射這樣一個在數學的歷史上經過了很長的一在數學的發展過程中對所研究的問題不斷地加以抽象這段時期才完成的工作.種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對象（或其中的某也正因為如此，是一個去粗取精的過程.一個方面）的精粹而進行的一次提升，新的概念和理論往往有更多的包容.一方面它使我們對“空間”和“連續”有更為純正拓撲學無疑也是如此，的認識，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間）.這一切讀者在學習的過程中必然會不斷地加深體會.作業：P552,5,6,8,9,10§2.3鄰域與鄰域系本節重點：掌握鄰域的概念及鄰域的性質；掌握連續映射的兩種定義；掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理2.3.1）.頁40共*頁16第我們在數學分析中定義映射的連續性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點處的連續性，然后再定義這個映射本身的連續性.然而對于拓撲空間的映射而言，先定義映射本身的連續性更為方便，所以我們先在§2.2中做好了；現在輪到給出映射在某一點處的連續性的定義了.在定理2.1.4中我們已經發現，為此只要有一個適當的稱之為“鄰域”的概念，而在§2.1中定義度量空間的鄰域時又只用到“開集”.因此我們先在拓撲空間中建立鄰域的概念然后再給出映射在某一點處的連續性的概念，這些概念的給出一點也不會使我們感到突然.P）是一個拓撲空間，xeX.如果U是X的一個子集，定義2.3.1設（X，P使得xeVU，則稱U滿足條件：存在一個開集V￡是點x的一個鄰域.點x匚的所有鄰域構成的x的子集族稱為點x的鄰域系.易見，如果U是包含著點x的一個開集，那么它一定是x的一個鄰域，于是我們稱U是點x的一個開鄰域.首先注意，當我們把一個度量空間看作拓撲空間時（這時，空間的拓撲是由度量誘導出來的拓撲），一個集合是否是某一個點的鄰域，無論是按§2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事.定理2.3.1拓撲空間X的一個子集U是開集的充分必要條件是U是它的每一點的鄰域，即只要x￡U，U便是x的一個鄰域.0是空集，以下證明充分性.如果U證明定理中條件的必要性是明顯的.0U尹.根據定理中的條件，當然U是一個開集.下設uU =比村國uUk疝。uUV7eu, 使得U?M故U二，根據拓撲的定義，U是一個開集.定理2.3.2概括了鄰域系的基本性質.頁40共**頁17第"訂是一個拓撲空間.記為點xeXX的鄰域系.則：定理2.3.2設UexeX，；并且如果尹，則（1）對于任何x^U；嘰U.Unve，VWU，則；（2）如果皿久VE并且U；V（3）如果，則UE匚旗久VW滿足條件：（a）VU和，則存在（b）（4）如果對于任何UW匚0VW.yWV，有久久0V■槌P且由定義，..?XW證明（1）,.?.，尹如果X,XW%，則xWUUWX上Uq匚U右村*。口XLVq匚PPP和使得W則存在設2（）U,VE.U.和€工任命□刑匚口「尸y也雙eUkT,Aunve成立.從而我們有，”舌"匚V盤WqETqxe程q匚U「xeU°uV…Ve巳UE,并且設3（）風兀匚uP.V滿足條件已經滿足條件（a）,根4（）設UE.令VE據定理2.3.1,它也滿足條件（b）.以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發來建立拓撲空間理論，這種做法在點集拓撲發展的早期常被采用.這種做法也許顯得自然一點，但不如現在流行的從開集概念出發定義拓撲來得簡潔.定理2.3.3設X是一個集合.又設對于每一點xeX指定了x的一個子"訂集族，并且它們滿足定理2.3.2中的條件（1）?（4）.則x有惟一的一?P子集族xEX，個拓撲T使得對于每一點在拓撲空間恰是點x（X，）中的鄰域系.（證明略）頁40共*頁18第現在我們來將度量空間之間的連續映射在一點處的連續性的概念推廣到拓撲空間之間的映射中去.定義2.3.2設X和Y是兩個拓撲空間，f:X-Y，xEX.如果尸的原象（U）是UxEX的一個鄰域，則稱映射ff（x）EY的每一個鄰域是一個在點x處連續的映射，或簡稱映射三在點x處連續.與連續映射的情形一樣，按這種方式定義拓撲空間之間的映射在某一點處的連續性也明顯地是受到了§2.1中的定理2.1.4的啟發.并且該定理也保證了：當X和Y是兩個度量空間時，如果f:X-Y是從度量空間X到度量空間Y的一個映射，它在某一點xEX處連續，那么它也是從拓撲空間X到拓撲空間Y的一個在點x處連續的映射；反之亦然.這里我們也有與定理2.2.1類似的定理.定理2.3.4設X，Y和Z都是拓撲空間.則見）恒同映射：XfX在每一點xEX（1處連續；（2）如果f：X-Y在點xEX處連續，g：Y-Z在點f（x）處連續，則gof：XfZ在x處連續.證明請讀者自己補上.以下定理則建立了“局部的”連續性概念和“整體的”連續性概念之間的聯系.定理2.3.5設X和Y是兩個拓撲空間，f：X^Y.則映射f連續當且僅當對于每一點xEX，映射f在點x處連續.證明必要性：設映射三連續，寸沱u時,w巳寫,己Vug居匚?一?廣沱耳」廣】（①丘久這證明f在點X處連續.頁40共**頁19第x處連續.充分性：設對于每一點xEX，映射三在點■wn寫mW畦廣切心已口川）=廣段）已"“?廣】?已&f連續.這就證明了作業：，掌握證明一個映射是否連續的方法.掌握證明一個子集是鄰域的方法§2.4導集，閉集，閉包本節重點：熟練掌握凝聚點、導集、閉集、閉包的概念；區別一個點屬于導集或閉包的概念上的不同；掌握一個點屬于導集或閉集或閉包的充要條件；掌握用“閉集”敘述的連續映射的充要條件.如果在一個拓撲空間中給定了一個子集，那么拓撲空間中的每一個點相對于這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進行分類處理.定義2.4.1設X是一個拓撲空間，入乂.如果點xEX的每一個鄰域U匚0，則稱點乂乂中異于的點，即Un（A-｛x｝是集合）^A的一個凝聚中都有A點或極限點.集合A的所有凝聚點構成的集合稱為A的導集，記作d（A）.如。=，）Un（A-｛x｝使得即存在x果xEA并且不是A的凝聚點，x的一個鄰域U的一個孤立點.為Ax則稱）：（牢記即頁40共*頁20第崩心E’m（冬⑴）=°在上述定義之中，凝聚點、導集、以及孤立點的定義無一例外地都依賴于它所在的拓撲空間的那個給定的拓撲.因此，當你在討論問題時涉及了多個拓撲而又談到某個凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對于哪個拓撲而言，不容許產生任何混淆.由于我們將要定義的許多概念絕大多數都是依賴于給定拓撲的，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心.某些讀者可能已經在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對歐氏空間有效的性質，例如歐氏空間中凝聚點的性質，對一般的拓撲空間都有效.以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象.例2.4.1離散空間中集合的凝聚點和導集.設X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集.由于X中的每一個單點集都是開集，因此如果x^X，則X有一個鄰域｛x｝，使得｛時-⑴）=9n源』（』），以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點，0）=.d（A從而A的導集是空集，即2.4.2例平庸空間中集合的凝聚點和導集.是X中的一個任意子集.我們分三種情形討論：設X是一個平庸空間，A。A顯然沒有任何一個凝聚點，亦即第1種情形：.這時A二。.（可以參見定理2.4.1中第（d（A）l=）條的證明.）氣

｛=A是一個單點集，令A第｝如果只有x￡X,x尹，點x2種情形：產占門(四-⑴)(時)K0，所以X,這時；因此x惟一的一個鄰域孔于而對.xed即(:X鄰惟的一域有A)然，聚個的是A一凝點頁40共**頁21第Xn(A-｛xQy)=0,', 所以=X-A.(A)d中的每一個點都包含點多于一個.請讀者自己證明這時X3種情形：A第X.(A)=是A的凝聚點，即d.則是一個拓撲空間，AX定理2.4.1設X匚0。 ()d；= (l))；)A(Bd(A)d蘊涵B(2匚匚)；)Ud(B(AUB)=d(Ad(3)A).(A))AUd(d(4)d(匚U，xeX和點x的任何一個鄰域證明(1)由于對于任何一點= 心0〉項、0)=0UE有xEd(A),UEUK?.?UE四-｛再)M0.如果BA(2)設.匚LU-⑴)h礦'乂后B).d(這證明了dA)(匚，(AUB)，)) (3根據(2，因為ABB)dAd()，d(AUB，所以有匚匚(AUB).)BAd從而()Ud(d^g)巖Ud(d^g)巖另一方面，如果pWm日 舟)=0mVc(B-3)=0mDc(AuE—⑴)=Dc((A—閔)_｛町))=(Z)CQ4-出｝))U(Z)C(3-=0=0=> B)=>d(^AuB)這是證明一個集合包含于另一個集合的另一(3綜上所述，可見()成立.佬月n無佬H)只要證方法：，要證即可.頁40共*頁22第口尸。門(』一｛對)=0mTczUn礦—｛紈=0■.■無任礦==Wc(d(A)-W)=0設：二工至四或uAu廿3)即(4)成立.定義2.4.2設X是一個拓撲空間，AX.如果A的每一個凝聚點都屬于匚A，則稱A(A)是拓撲空間X中的一個閉集.A，即d匚中的討論可見，離散空間中的任何一個子2.4.2例如，根據例2.4.l和例集都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集.A定理2.4.2設X是一個拓撲空間，A是一個閉集，當且僅當X.則A匚次是一個開集.的補集證明必要性：設A是一個閉集

PxE礦nj:隹A,-：d(A')cAWgnm口氏口廣口c(A—法))=0.'.UnA=0,nU匚R=AeT點eT,Wx舉孔UK,■.■A,riA=0,二*F』-｛町)=C3nx^d(A)充分性：設：」,』3)匚拓是一個閉集.A即中作為閉集的區間.2.4.3實數空間R例設a,b￡R,aVb.閉區間[a,b]是

實數空間R中的一個閉集，因為[a,[4句’的補集=(-8,a)E(b,8)是—個開集.b]頁40個開集.b]頁40共**同理，(-8,a],[b,頁23第8)都是閉集，(-8,8)=R顯然更是個閉任a)的一個凝聚點，但，b是(,b)卻不是閉集，因為aa集.然而開區間(a(a,b).同理區間(a,b],[a,b),(-8,&)和(b,8)都不是閉集.F為所有閉集構成的族.則：是一個拓撲空間.記X定理2.4.3設0F,1)XG(FF，則A,BGAUBE(2)如果&卷...孔飪心…皿丘尹(從而如果)恥匚Fnc虹町AeF。)如果乂 (3名0)條中，我們特別要求在此定理的第(3乂的原因在于當希0=時所涉及的交運算沒有定義.U'F｝其中，T為X的拓撲.|UG根據定理證明2.4.2,我們有T=m= =01(GT,.?.)?.?X,F，則、 (2)若ABE4序 二礦F7；=｛』'|AE瓦｝一7[uT,=>Um對*ET.(3)令：n門血再龍=門業否=(LJs打1yeK定理證明完成.總結：(1)有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集.其余情形不一定.(2)有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集.其余情形不一定.頁40共*頁24第定義2.4.3設X是一個拓撲空間,AX,集合A與A的導集d(A)的并匚萬^一或記作AUd(A)稱為集合A的閉包,ke/今0(注意：，與xGd(A)的區別容易看出)A=是閉集的充要條件是X的子集A定理2.4.4拓撲空間A而這又當且僅當d(A)集合A為閉集當且僅當證明：定理成立是因為：匚A=AUd(A)（1） 0=0;（2） 網匚云；=AuB-定理2.4.5設X是一個拓撲空間，則對于任意A,BGX，有：（4百=頁0是閉集.）成立是由于證明（1 （2）成立是根據閉包的定義.=G4u獄①）u（歸（3）成立是因為=網。萬4）成立是因為（冒=兀硝=兀。定=AUd（A）Ud（d（A））/=）=AUd（A在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理2.4.l中的第（3）條和第（4）條.頁40共**頁25第A的閉包都是閉集.A的任何一個子集定理2.4.6拓撲空間X4）直接推得.證明根據定理2.4.4和定理2.4.5（中所有的閉某構成的族，是由空間X2.4.7設X是一個拓撲空間，F定理A,有則對于X的每一個子集拓即集合a的閉包等于包含a的所有閉集之交.R包含于，而后者是一個閉集，由定理證明因為A2.4.4與定理2.4.5（4）門￡^0淑月Xg有AA^A，所以另一方面，由于是一個閉集，并且（“交”包含于形成交的任一個成員）綜合這兩個包含關系，即得所求證的等式.由定理2.4.7可見，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最小的閉集.在度量空間中，集合的凝聚點，導集和閉包都可以通過度量來刻畫.定義2.4.5設（X，P）一個度量空間.X中的點x到X的非空子集A的距離P（x，A）定義為p（x，A）=inf{p（x，y）|y^A}

根據下確界的性質以及鄰域的定義易見：P（x,A）=0當且僅當對于任意實數8>0,存在yCA使得P（x,y）<￡，換言之即是：對于任意B（x,頁40共*頁26第。0UEA尹有，x的任何一個鄰域，eU）EA尹，而這又等價于：、對于；）有B（x應用以上討論立即得到.定理2.4.9設A是度量空間（X,P）中的一個非空子集.則（1）x^d（A）當且僅當P（x,A-{x}）=0；A）xC當且僅當p（x,A）=0. （2以下定理既為連續映射提供了等價的定義，也為驗證映射的連續性提供了另外的手段.定理2.4.10設X和Y是兩個拓撲空間，f:X^Y.則以下條件等價:（l）f是一個連續映射；尸的原象（B）是一個閉集；B）Y中的任何一個閉集（2（3）對于X中的任何一個子集A,A的閉包的象包含于A的象的閉包，即『⑴匚而;⑷對于Y中的任何一個子集B,B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即.3是一個開集，因此根證明（1）蘊涵（2）.設BY是一個閉集.則匚廣L（9）=（廣），是X中的一個開集，因此據（1廣】中的一個閉集.是X（B）匚匚尸。W.?而k凸）,Af（.XA3⑵蘊涵（）設由于匚廣L（六塑沱處「3 u了（』）成立.），2根據（J「'（b）Y集合A設蘊涵（3）（4）X應用（3）即得匚匚u{頊唯））UJ（尸㈤）U』二廣"）u{頁40共**頁27第對中的一個閉集.則是Y.設U是中的一個開集.Y蘊涵（4）（l）此集合應用（4）:，證明一個子集是開集證明映射連續的方法有幾種?總結一下，到目前為止,？如何證明一個點是某個子集的凝聚點閉集的方法有幾種？作業:2P691.§2.6基與子基本節重點：掌握基與子基的概念，點的鄰域與基之間的關系；掌握基、子基與開集的關系；掌握如何用基表示開集.在討論度量空間的拓撲的時候，球形鄰域起著基本性的重要作用.一方面，每一個球形鄰域都是開集，從而任意多個球形鄰域的并也是開集；另一方面，假設U是度量空間X中的一個開集.則對于每一個xeu有一個球形鄰域B（X，U= ，因此u.這就是說，一個集合是某度量空間中的一個）^匚頁40共*頁28第開集當且僅當它是這個度量空間中的若干個球形鄰域的并.因此我們可以說，度量空間的拓撲是由它的所有的球形鄰域通過集族求并這一運算“產生”出來的.留意了這個事實，下面在拓撲空間中提出“基”這個概念就不會感到突然了.TBTT中）是一個拓撲空間，的一個子族.如果定義2.6.1設（X，是B中某些元素的并，即對于中的每一個開集）是的每一個元素（即拓撲空間如5T，存在UE使得每一個U=4鳥/BTB是拓撲空間X則稱的一個基.是拓撲的一個基，或稱按照本節開頭所作的論證立即可得：定理2.6.1一個度量空間中的所有球形鄰域構成的集族是這個度量空間作為拓撲空間時的一個基.特別地，由于實數空間R中所有開區間構成的族就是它的所有球形鄰域構成的族，因此所有開區間構成的族是實數空間R的一個基.至于離散空間，它有一個最簡單的基，這個基由所有的單點子集構成.下面的定理為判定某一個開集族是否是給定的拓撲的一個基提供了一個易于驗證的條件.月匚TBTB），則）的一個開集族（即定理2.6.2設，是拓撲空間（X是拓撲空間X的一個基當且僅當對于每一^個xEX和x的每一個鄰域.B的一個基，貝V是X證明設刁％匚吧==蟲身孔,'36=供目只根據基的定義，頁40共**頁29第mp產￡1匚Bm作虬匚PyA三區匚隊可知存在B這證明滿足定理中的條件.中的一個開集，則對于每一X另一方面，設定理中的條件成立.如果U是XEU,個「刀=L見BBXU是的一個基.中某些元素之并，從而是因此，在度量空間中，通過球形鄰域確定了度量空間的拓撲，這個拓撲以全體球是否一個集合的每一個子集族都可以確定一個拓撲形鄰域構成的集族作為基.以下定理告訴我們一個集合的什么樣的子集族可以以它為基？答案是否定的.成為它的某一個拓撲的基.B的一個子集族（即是集合2.6.3設X是一個集合，X定理BPB.如果滿足條件：（X））匚。血己/=工）（1； B5Bl,B2eB,如果（2）則對于任何則X的子集族= "8T}X|使得存在{U=cBB是如果X是集合X的惟一的一個以的一個子集族為基的拓撲；反之，B）.）和（X的某一個拓撲的基，則2一定滿足條件（1B的子集族滿足條件：對于任意值得注意的是，如果集合X用門勺弓尼BBB2.這時，e）.這種情形經常遇到?，必然滿足條件（有GB）.我們先驗證定理中給出的2滿足條件（1證明設X的子集族）和（T的一個拓撲：是X0=4思00.BTT而，所以ell（）根據條件（），Xe；由于匚頁40共*頁30第曷,％TB這是因為根據條件e，則（2e）我們先驗證：如果區-Em 匚,xe,2（），對于每一個存在由于召1門召廣u心門鳥wu心門與吧^匚用n電’啟ri月偵u心門與W^T現在設4巳Tn,8飛匚5mA=LJq。鳥，也三1-J鳧淄Q成立.因此4 =⑴。點Gl〉h（LL芬q）=|.據,°苛qI|弓q2b中某些元都是根據前說，上式中最后那個并集中的每一項4^^A.nA.eTB中某些元素之并，因此素之并，所以也是"T （3）設則歸已紜=Um耳召U =U（Ug』E）=U蹄LJ面點占已T上以TBTTX的一個拓撲.根據是拓撲的定義立即可見證明了的一個基.是集合尸B為它的一個基.根據基的定義，任何假設集合X以還有一個拓撲T3TBT,這證明必為另一方面，由于中某些元素的并，所以一個AeA匚尸TBTB是因此也是，所以如果Ae中的某些元素之并，則中某些元素之A匚TTTTTTAe是一個拓撲，所以.因此二并；由于.這說明以這又證明了匚B為基的拓撲是惟一的.BT*的一個基.由是X的某一個拓撲最后證明定理的后半段.設TBB之并.因此（1）X必為中的某些元素的并，故必為集族成立.設Xe*可知月門為弓門％"心TB.是x*.由于和的一個開鄰域，根據定理xe匚嘰已3使得2.6.2，存在住吧fEg這證明條件（2）成立.，頁40共**頁31第在定義基的過程中我們只是用到了集族的并運算，如果再考慮集合的有限交運算（注意拓撲只是對有限交封閉的，所以只考慮有限交），便得到“子基”這個概念.TT的一個子族.如果的所）是是一個拓撲空間，定義2.6.2設（X,有非空有限于族之交構成的集族，即日三｛團門&—"門如晃巴似9三12…也作Z十｝TT的一個子基，或稱集族的一個基，則稱集族是拓是拓撲是拓撲撲空間X的一個子基.例2.6.2實數空間R的一個子基.實數集合R的一個子集族猝=｛（a,8）|aER｝U｛（—8,b）|bER｝尊甲的一個子基.這是因為是實數空間的一個開集族，并且是實數空間RW的每一個有限非空子族之交的全體構成的集族恰好就是所有有限開區間構0職｛｝，顯然它是實數空間R成的族并上再并上的一個基.X是定理2.6.4設X的一個子集族（即是一個集合，呼甲T.如果以為子基.并且若令則X有惟一的一個拓撲p（x））匚"如必門…凸摭閔=1,2^...^eZJT=CIc5）則BTB滿足定理2.6.3中的條件（如定理中.容易驗證l）和證明令和呼TTB的一個子基.是），因此根據該定理，是的一個基，所以2（頁40共*頁32第尸7彩B以的一個拓撲，它以如果是X為一個子基，則根據子基的定義，尹T為基.根據定理2.6.3中的惟一性，我們有二映射的連續性可以通過基或子基來驗證.一般說來，基或子基的基數不大于拓撲的基數，所以通過基或子基來驗證映射的連續性，有時可能會帶來很大的方便.是兩個拓撲空間，f:XfY.則以下條件等價:和Y定理2.6.5設X連續;）f（l尸BB）是B，使得對于任何一個BE， （2）拓撲空間Y有一個基（X中的一個開集甲中的是有一個子基，使得對于任何一個（S）SEX原象（3）Y一個開集.的一Y3）是顯然的，因為Y的拓撲本身便是證明條件（l）蘊涵（個子基.俱）中的要滿足（3條件（3）蘊涵（2Y）.設是的拓撲的一個子基，求.根據定義，日三國門&C??凸摭閔辨H12…也住迎是Y的拓撲的一個基./俱知nE，我們有，其中，，i=1對于任何2,…，n廣鏘門必"門名）=廣'即門廣（昆）"^廣'（第 氣它是XX中的一個開集.個開集之交，因此是中nEB）中的2的拓撲的一個基，它滿足（是Y）.設條件（2）蘊涵（1中的一個開集，則是YU要求.如果35luB,a"=U心B:丁*=/^（U^食=LL球了「Pg）頁40共**頁33第是X中一族開集之并，所以是X中的一個開集.這證明f連續.對于局部情形，也有類似于基和子基的概念.的鄰域系.的子為2.6.3設Xx是一個拓撲空間，x￡X.記定義皿咯電V￡族如果滿足條件：對于每一個，存在UE,使得”占的x的一個鄰域基.是點x的的鄰域系的一個基,，VU或簡稱為點則稱匚嘰嘰如果滿足條件：子族每一個有限非空子族之交的全體構成的集族，即｛繩A叫□???C嘰網已嘰，/1,2，?宜EZQ是x的一個鄰域基，則稱此是點x的鄰域系的一個子基，或簡稱為點x的一個鄰域子基.顯然，在度量空間中以某一個點為中心的全體球形鄰域是這個點的一個鄰域基；以某一個點為中心的全體以有理數為半徑的球形鄰域也是這個點的一個鄰域基.鄰域基和鄰域子基的概念可以用來驗證映射在一點處的連續性.定理2.6.6設X和Y是兩個拓撲空間，f:X-Y，x￡X.則以下條件等價：(1)f在點x處連續；廣】阡㈤陽餌原象，(V)，使得對于任何f(x)(2)V￡有一個鄰域基；的一個鄰域；x是陽皿陽皿，原象f(x)(3)有一個鄰域子基，使得對于任何W￡是x的一個鄰域.(W))(證明略，子基與鄰域子基有以下關聯.基與鄰域基定理2.6.7X是一個拓撲空間，x&X.則設頁40共*頁34第的一個基，則B)如果是X(1烏B=(B￡|x￡B｝的一個鄰域基；是點x的一個子基，則是(2X)如果叫職=(S￡|x￡S｝x的一個鄰域子基.是點)(略證明作業：7.P821.4§2.7拓撲空間中的序列本節重點：掌握拓撲空間中序列的概念，及極限點的概念；掌握數學分析中的序列的性質與拓撲空間中的序列的性質有何不同；掌握不可數集中序列的特性；掌握點集的凝聚點與序列的極限點的關系.在讀者熟知的數學分析課程中，往往用序列收斂的概念作為出發點來刻畫集合的凝聚點，函數在某一點處的連續性等等.在這一節我們便會看到這種做法在一般的拓撲空間中并不可行；而要使得它變為可行的，則要對拓撲空間加以適當的限制.我們將來再研究這種限制加到什么程度為合適.頁40共**頁35第、S:—X，叫做是一個拓撲空間.每一個映射乂中的一定義2.7.1設X｛石｝TA-?｛而氐& ）或者干脆記作；或者,，個序列.我們常將序列S.記作｛由皿薄三我）室孔氣｛.有時我們也將記號其中｝,但這時要警惕不簡化為要與單點集相混.拓撲空間X中的一個序列實際上就是在X中按先后次序取到的一串點，這｛為｝按+可以僅由有限個點組成，當這個集合是些點可能重復.因此一個序列｛海氐4為一個常值序列.單點集時，我們稱序列儂｝國十的xX中的一個序列，x￡X.如果對于定義2.7.2是拓撲空間設｛為｝2&虬,xieU,i>U每一個鄰域，存在MMe時有則稱點x是序列，使得當0｝料的一個極限點（或極限），也稱為序列收斂于x,記作而氣或fx（i—8）=x lim如果序列至少有一個極限，則稱這個序列是一個收斂序列.拓撲空間中序列的收斂性質與以前我們在數學分析中熟悉的有很大的差別.例如，容易驗證平庸空間中任何一個序列都收斂，并且收斂于這個空間中的任何一個點.這時極限的惟一性當然無法保證了.:fX是X是一個拓撲空間,XS,中的兩個序列.如定義2.7.3設如〈的地屈、？+:即對于任意如果Nf,,（果存在一個嚴格遞增的映射花花^2勺,則稱序列是序列S的一個子序列.=N（）V，使得0SoNN則有｛而裳％凱那么序列假如我們將此定義中的序列自然可以記作S記作｛砌Eh土｛砌川心個點恰是序列第，也就是說，序列iiN第（）個點.頁40共*頁36第我們已經看到，我們以前熟悉的序列的性質有許多對于拓撲空間中的序列是不適合的.但總有一些性質還保留著，