PAGEPAGE6傾斜角與斜率一、選擇題1．下列四個命題中，正確的命題共有()①坐標平面內的任意一條直線均有傾斜角與斜率；②直線的傾斜角的取值范圍是[0°，180°]；③若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α；④若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα.A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]A[解析]序號正誤理由①、④×傾斜角為90°時，斜率不存在，故①、④不正確②×傾斜角的范圍是[0°，180°)，故②不正確③×雖然直線的斜率為tanα，但只有當α∈[0°，180°)時，α才是直線的傾斜角，故③不正確2．已知點A(1,2)，在x軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為135°，則點P的坐標為()A．(0,3) B．(0，－1)C．(3,0) D．(－1,0)[答案]C[解析]由題意可設P的坐標為(m,0)，則eq\f(0－2,m－1)＝tan135°＝－1，解得m＝3.3．若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°[答案]D[解析]如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.4．直線l的傾斜角是斜率為eq\f(\r(3),3)的直線的傾斜角的2倍，則l的斜率為()A．1 B．eq\r(3)C．eq\f(2\r(3),3) D．－eq\r(3)[答案]B[解析]∵tanα＝eq\f(\r(3),3)，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝eq\r(3).故選B．5．如下圖，已知直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2[答案]D[解析]可由直線的傾斜程度，結合傾斜角與斜率的關系求解．設直線l1，l2，l3的傾斜角分別是α1，α2，α3，由圖可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k1<0<k3<k2.6．已知點A(1,3)，B(－2，－1)．若過點P(2,1)的直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)[答案]D[解析]過點P(2,1)的直線可以看作繞P(2,1)進行旋轉運動，通過畫圖可求得k的取值范圍．由已知直線l恒過定點P(2,1)，如圖．若l與線段AB相交，則kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝eq\f(1,2)，∴－2≤k≤eq\f(1,2).[點評]確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素是：一個點P和一個傾斜角α，二者缺一不可．本題過點P(2,1)的直線的位置是不確定的，用運動變化的觀點看問題是數形結合的技巧．二、填空題7．求經過下列兩點的直線斜率，并判斷其傾斜角是0°，還是銳角、鈍角或直角．(1)C(18,8)，D(4，－4)，斜率為_________，傾斜角為_________；(2)C(－1,2)，D(3,2)，斜率為_________，傾斜角為_________；(3)C(0，－eq\f(1,b))，D(eq\f(1,a)，0)(ab<0)斜率為_________，傾斜角為_________.[答案](1)eq\f(6,7)銳角(2)00°(3)eq\f(a,b)鈍角8．設P為x軸上的一點，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的兩倍，則點P的坐標為_________.[答案](－5,0)[解析]設P(x,0)為滿足題意的點，則kPA＝eq\f(8,－3－x)，kPB＝eq\f(14,2－x)，于是eq\f(8,－3－x)＝2×eq\f(14,2－x)，解得x＝－5.三、解答題9．在同一坐標平面內，畫出滿足下列條件的直線：(1)直線l1過原點，斜率為1；(2)直線l2過點(3,0)，斜率為－eq\f(2,3)；(3)直線l3過點(－3,0)，斜率為eq\f(2,3)；(4)直線l4過點(3,1)斜率不存在．[解析]10．如右圖，菱形OBCD的頂點O與坐標原點重合，一邊在x軸的正半軸上．已知∠BOD＝60°，求菱形各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角及斜率．[分析]eq\x(\a\al(利用菱形的性質：對邊平,行且相等，對角線平分一,組內對角，兩條對角線互,相垂直))→eq\x(\a\al(求各直線,傾斜角))→eq\x(\a\al(利用斜率定,義求斜率))[解析]因為OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直線OD，BC的斜率角都是60°，斜率kOD＝kBC＝tan60°＝eq\r(3).因為OB與x軸重合，DC＝OB，所以直線OB，DC的傾斜角都是0°，斜率kOB＝kDC＝tan0°＝0.由菱形的性質，知∠COD＝30°，∠OBD＝60°，所以直線OC的傾斜角為30°，斜率kOC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)；直線BD的傾斜角為∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan120°＝－eq\r(3).規律總結：解決幾何圖形中直線的傾斜角與斜率的綜合問題時，要善于利用幾何圖形的幾何性質，解題時要注意傾斜角是幾何圖形中的夾角還是它的鄰補角；也可以利用經過兩點的直線的斜率公式，先求斜率，再求傾斜角．能力提升一、選擇題1．設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當0°≤α<135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾斜角為α－135°[答案]D[分析]畫出圖象輔助理解，由于條件中未指明α的范圍，所以需綜合考慮α的可能取值，以使旋轉后的直線的傾斜角在[0°，180°)內．[解析]根據題意，畫出圖形，如圖所示：因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知：當0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選D．規律總結：求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論．2．經過兩點A(2,1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1[答案]C[解析]設直線l的傾斜角為α，則kAB＝eq\f(m2－1,1－2)＝tanα＞0.∴1－m2＞0，解得－1＜m＜1.3．已知A(1,2eq\r(3)＋1)，B(－1,1)，若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則直線l的斜率為()A．1 B．eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．不存在[答案]B[解析]∵kAB＝eq\f(2\r(3)＋1－1,1－－1)＝eq\r(3)，∴直線AB的傾斜角為60°，則直線l的傾斜角為30°.其斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).4．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，若60°＜α＜135°，則k的取值范圍是()A．(－1，eq\r(3)) B．(－∞，－1)∪(eq\r(3)，＋∞)C．[－1，eq\r(3)] D．(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)[答案]B[解析]當60°＜α＜90°時，斜率的取值范圍是(eq\r(3)，＋∞)；當90°＜α＜135°時，斜率的取值范圍是(－∞，－1)，故選B．[點評]求斜率的范圍時，應把傾斜角的范圍分成兩部分，即0°≤α＜90°和90°＜α＜180°.二、填空題5．已知直線l1的斜率為eq\r(3)，若直線l2和l1關于y軸對稱，則直線l2的斜率為_________；若直線l2和l1關于直線y＝x對稱，則直線l2的斜率為_________.[答案]－eq\r(3)eq\f(\r(3),3)6．若三點A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝_________.[答案]eq\f(1,3)[解析]由于點A，B，C共線，則kAB＝kAC，所以eq\f(0－3,a－3)＝eq\f(b－3,0－3).所以ab＝3a＋3b.即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,3).三、解答題7．直線l的斜率為k＝1－m2(m∈R)，求直線l的傾斜角的取值范圍．[解析]k＝1－m2≤1，所以當k∈[0,1]時，傾斜角α∈[0，eq\f(π,4)]；當k∈(－∞，0)時，傾斜角α∈(eq\f(π,2)，π)，故傾斜角的范圍是[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π)．8．已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．[分析]結合圖形考慮，l的傾斜角應介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當l的傾斜角小于90°時，有k≥kPB；當l的傾斜角大于90°時，則有k≤kPA．[解析]如圖，由題意可知，直線PA的斜率kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，直線PB的斜率kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取