惠州市東江高級中學高二上學期月考一數學試題參考公式：線形回歸方程中系數計算公式其中表示樣本均值。一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．為了了解1200名學生對學校某項教改實驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統抽樣，則分段的間隔k為()．A．40B．30C解析系統抽樣也叫間隔抽樣，抽多少個就分成多少組，總數÷組數＝間隔數，即k＝eq\f(1200,40)＝30.2．(2023·全國新課標)執行右面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是()．A．120B．720C．1440D．5040解析執行程序輸出1×2×3×4×5×6＝720.答案B3.eq\x\to(x)是x1，x2，…，x100的平均值，a1為x1，x2，…，x40的平均值，a2為x41，…，x100的平均值，則下列式子中正確的是()．A.eq\x\to(x)＝eq\f(40a1＋60a2,100)B.eq\x\to(x)＝eq\f(60a1＋40a2,100)C.eq\x\to(x)＝a1＋a2D.eq\x\to(x)＝eq\f(a1＋a2,2)解析100個數的總和S＝100eq\x\to(x)，也可用S＝40a1＋60a2來求，故有eq\x\to(x)＝eq\f(40a1＋60a2,100).答案A4．從一批產品中取出三件產品，設A＝“三件產品全不是次品”，B＝“三件產品全是次品”，C＝“三件產品不全是次品”，則下列結論正確的是()．A．A與C互斥B．B與C互斥C．任何兩個均互斥D．任何兩個均不互斥答案B5．4張卡片上分別寫有數字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為()．A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析從4張卡片中取2張共有6種取法，其中一奇一偶的取法共4種，故P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案C6．10名工人某天生產同一零件，生產的件數是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設其平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有()．A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．c>b>a解析a＝14.7，b＝15，c＝17.答案D7．(2023·新課標全國高考)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()．A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析本小題考查古典概型的計算，考查分析、解決問題的能力．因為兩個同學參加興趣小組的所有的結果是3×3＝9(個)，其中這兩位同學參加同一興趣小組的結果有3個，所以由古典概型的概率計算公式得所求概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案A8．一次選拔運動員，測得7名選手的身高(單位：cm)分布莖葉圖為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(18,17))eq\a\vs4\al(01,03x89)記錄的平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數記為x，那么xA．5B．6C解析由莖葉圖可知eq\f(10＋11＋3＋x＋8＋9,7)＝7，解得x＝8.答案D9．一個游戲轉盤上有四種顏色：紅、黃、藍、黑，并且它們所占面積的比為6∶2∶1∶4，則指針停在紅色或藍色的區域的概率為()．A.eq\f(6,13)B.eq\f(7,13)C.eq\f(4,13)D.eq\f(10,13)解析由幾何概型的求法知所求的概率為eq\f(6＋1,6＋2＋1＋4)＝eq\f(7,13).答案B10．某調查機構調查了某地100個新生嬰兒的體重，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖(如圖所示)，則新生嬰兒的體重(單位：kg)在[3.2,4.0)的人數是()．A．30B．40C解析頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布，每個小矩形的面積等于樣本數據落在相應區間上的頻率，故新生嬰兒的體重在[3.2,4.0)(kg)的人數為100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.答案B二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)11．執行如圖所示的程序框圖，若輸入x＝10，則輸出y的值為________．解析當x＝10時，y＝4，不滿足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝4.當x＝4時，y＝1，不滿足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝1.當x＝1時，y＝－eq\f(1,2)，不滿足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝－eq\f(1,2).當x＝－eq\f(1,2)時，y＝－eq\f(5,4)，此時eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)＋\f(1,2)))＜1成立，跳出循環，輸出y＝－eq\f(5,4).答案－eq\f(5,4)12．某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學生進行投籃練習，每人投10次，投中的次數如下表：學生1號2號3號4號5號甲班67787乙班67679則以上兩組數據的方差中較小的一個為s2＝________.解析由題中表格得，eq\x\to(x)甲＝7，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)(12＋02＋02＋12＋02)＝eq\f(2,5)；eq\x\to(x)乙＝7，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)(12＋02＋12＋02＋22)＝eq\f(6,5).∵seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙).∴兩組數據的方差中較小的一個為s2＝seq\o\al(2,甲)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)13．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間（單位：小時）與當天投籃命中率之間的關系：時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為0.5；用線形回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為0.53．14．在區間(0,1)中隨機地取出兩個數，則兩數之和小于eq\f(6,5)的概率是________．解析設這兩個數為x，y則x＋y＜eq\f(6,5)，如圖所示：由幾何概型可知，所求概率為1－eq\f(\f(1,2)×\f(4,5)×\f(4,5),1)＝eq\f(17,25).答案eq\f(17,25)三、解答題(本大題共6小題，共80分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)某班50名學生某次測試中的數學、英語成績采用5分制統計如下表，如：數學5分英語5分的學生1人，若在全班學生中任選一人，且英語成績記為x，數學成績記為y.(1)求x＝1的概率；(2)求x≥3且y＝3的概率.yx數學5分4分3分2分1分英語5分131014分107513分210932分126011分00113解(1)由表知，x＝1的學生有0＋0＋1＋1＋3＝5名，∴x＝1的概率P1＝eq\f(5,50)＝eq\f(1,10)；(2)由表知，x≥3且y＝3的學生有0＋7＋1＝8名，∴x≥3且y＝3的概率為P2＝eq\f(8,50)＝eq\f(4,25).16．(本小題滿分13分)從含有兩件正品a，b和一件次品c的3件產品中每次任取一件，連續取兩次，(1)每次取出不放回；求取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率．(2)每次取出后放回；求取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率．解(1)每次取出不放回的所有結果有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，其中左邊的字母表示第一次取出的產品，右邊的字母表示第二次取出的產品，共有6個基本事件，其中恰有一件次品的事件有4個，所以每次取出不放回，取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)每次取出后放回的所有結果：(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)共有9個基本事件，其中恰有一件次品的事件有4個，所以每次取出后放回，取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率為eq\f(4,9).17．(13分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率．解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個．從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個．因此所求事件的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝eq\f(3,16).故滿足條件n＜m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).18．(14分)為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調查，測得身高情況的統計圖如下：(1)估計該校男生的人數；(2)估計該校學生身高在170～185cm(3)從樣本中身高在180～190cm之間的男生中任選2人，190cm解(1)樣本中男生人數為40，由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數為400.(2)由統計圖知，樣本中身高在170～185cm之間的學生有14＋13＋4＋3＋1＝35(樣本容量為70，所以樣本中學生身高在170～185cm之間的頻率f＝eq\f(35,70)＝0.5.故由f估計該校學生身高在170～185cm之間的概率p1＝0.5.(3)樣本中身高在180～185cm之間的男生有4人，設其編號為①②③④185～190cm之間的男生有2人，設其編號為從上述6人中任選2人的樹狀圖為：故從樣本中身高在180～190cm之間的男生中任選2人的所有可能結果數為15，至少有1人身高在185～190cm之間的可能結果數為9，因此，所求概率p2＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).19．(本小題滿分14分)某市統計局就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1000,1500))：(1)求居民月收入在[3000,3500)的頻率；(2)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數.解(1)月收入在[3000,3500)的頻率為0.0003×(3500－3000)＝0.15；(2)∵0.0002×(1500－1000)＝0.1，0．0004×(2000－1500)＝0.2，0．0005×(2500－2000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5所以，樣本數據的中位數2000＋eq\f(0.5－0.1＋0.2,0.0005)＝2000＋400＝2400(元)；20．(14分)某公司有一批專業技術人員，對他們進行年齡狀況和接受教育程度(學歷)的調查，其結果(人數分布)如表：學歷35歲以下35～50歲50歲以上本科803020研究生x20y(1)用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的專業技術人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人的學歷為研究生的概率；(2)在這個公司的專業技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個人中隨機抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為eq\f(5,39)，求x、y的值．解(1)用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個容量為5的樣本，設抽取學歷為本科的人數為m，∴eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.∴抽取了學歷為研究生的2人，學歷為本科的3人，分別記作S1、S2；B1、B2、B3.從中任取2人的所有基本事件共10個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，