線性離散系統的分析與校正第七章解法：（1）迭代法：從初值出發，按照差分方程一步步遞推出輸出序列。（2）z變換法：對差分方程兩端取z變換，并利用z變換的實數位移定理，得到z為變量的代數方程，然后對代數方程的解C(z)取z反變換，求得輸出序列c(k)。課前復習1、差分方程G(s)2、脈沖傳遞函數

所謂零初始條件，是指在t<0時，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為零。課前復習課前復習

例：已知差分方程如下，試用迭代法求出c(k),k=0,1,2,3,4;求出該離散系統脈沖傳遞函數。其中，r(k)=1,c(0)=0,c(1)=1。7.4離散系統的數學模型離散系統的數學定義線性常系數差分方程及其解法脈沖傳遞函數開環系統脈沖傳遞函數閉環系統脈沖傳遞函數1、有串聯環節時的開環系統脈沖傳遞函數（1）典型情況之一：串聯環節之間有采樣開關結論：被理想采樣開關隔開的n個線性環節串聯時，其脈沖傳遞函數為每個環節所對應的脈沖傳遞函數之積7.4.4、開環系統脈沖傳遞函數解：①（2）典型情況之二：串聯環節之間無采樣開關例：

:：7.4.4、開環系統脈沖傳遞函數∴

②

∴

7.4.4、開環系統脈沖傳遞函數2.帶有零階保持器的開環系統的脈沖傳遞函數零階保持器連續環節7.4.4、開環系統脈沖傳遞函數上式第二項可以寫為采樣后帶有零階保持器的系統的脈沖傳遞函數為7.4.4、開環系統脈沖傳遞函數例：采樣控制系統如圖所示，試求其脈沖傳遞函數。解：脈沖傳遞函數7.4.4、開環系統脈沖傳遞函數由于系統采樣開關配置的多樣性，故系統無唯一結構形式。（1）閉環離散系統的典型結構G(s)H(s)7.4.5、閉環系統脈沖傳遞函數閉環系統的特征方程：開環脈沖傳遞函數：應當注意：離散系統的閉環脈沖傳遞函數不能從對應的連續系統傳遞函數的z變換直接得到。7.4.5、閉環系統脈沖傳遞函數例、已知離散控制系統結構如上圖所示，前向傳遞函數，反饋傳遞函數，試計算系統的閉環脈沖傳遞函數。

解：

G(s)H(s)7.4.5、閉環系統脈沖傳遞函數（2）數字控制系統的典型結構E(s)7.4.5、閉環系統脈沖傳遞函數解：

例已知離散控制系統結構如圖所示，試計算系統的閉環脈沖傳遞函數。7.4.5、閉環系統脈沖傳遞函數

通過與上面類似的方法可以導出采樣器為不同配置形式的其它閉環系統脈沖傳遞函數。見課本P319。但只要誤差信號e(t)處沒有采樣開關，則輸入采樣信號r*(t)就不存在，此時不能寫出閉環系統對于輸入量的脈沖傳遞函數，而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數C(z)。7.4.5、閉環系統脈沖傳遞函數小結離散系統的數學定義線性常系數差分方程及其解法：迭代法、z變換法脈沖傳遞函數：定義，求法(定義、G(s)G(z))開環系統脈沖傳遞函數：有串聯環節、有零階保持器閉環系統脈沖傳遞函數7.5、離散系統的穩定性與穩態誤差

s域到z域的映射離散系統穩定的充要條件離散系統的穩定性判據離散系統的穩態誤差離散系統的穩定性的分析方法：將線性連續系統在s平面上分析穩定性的結果離散線性系統在z平面上的穩定性。一、s域到z域的映射關系7.5.1、s域到z域的映射回憶z變換的定義：令z=eTss域和z域的關系s域和z域的關系z=eTs令σ=0，相當于取s平面的虛軸，當ω從-∞變到∞時，映射到z平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓。s平面z平面7.5.1、s域到z域的映射當s平面上的點沿虛軸ω從-∞移到∞時，z平面上的點已經沿著單位圓轉過了無窮多圈。等σ曲線07.5.1、s域到z域的映射結論：s平面的虛軸的左半平面映射為z平面上單位圓的內部，右半平面映射為單位圓的外部。離散系統的穩定性定義：若離散系統在有界輸入序列的作用下，其輸出序列也是有界，則稱該離散系統是穩定的。線性定常連續系統穩定的充要條件：系統齊次方程的解是收斂的，或者系統特征方程根均具有負實部，或者系統傳遞函數的極點嚴格均在左半s平面。7.5.2、離散系統穩定的充要條件二、離散系統穩定的充要條件離散系統穩定的充要條件：從離散系統的差分方程的齊次解的收斂性，或者從z域中離散系統的特征方程的根的研究得到結論。1、離散系統穩定的充要條件（時域）--自學2、離散系統穩定的充要條件（z域）G(s)H(s)7.5.2、離散系統穩定的充要條件設特征方程的根（閉環極點）各不相同z1，z2，z3…….zn由s平面到z平面的映射關系s平面的左半平面對應的穩定區域：z平面上單位圓的內部；s平面的右半平面對應的不穩定區域：z平面上單位圓的外部；s平面的虛軸對應的臨界穩定：z平面上單位圓周。系統穩定的充分必要條件：離散特征方程的全部特征根都在單位圓內，即7.5.2、離散系統穩定的充要條件例：設典型離散系統采樣周期T=1(s)，試分析系統的閉環穩定性。解：開環脈沖傳遞函數特征方程結論：閉環系統不穩定。7.5.2、離散系統穩定的充要條件7.5.3、離散系統的穩定性判據連續系統的代數穩定判據—勞斯穩定判據判定：特征方程的根是否都在左半s平面？離散系統的穩定性判定：特征方程的根是否都在z平面的單位圓內？將勞斯判據用于離散系統的穩定性判定，首先要將z平面上的穩定域單位圓內新平面上的左半平面Z域w域1.W變換（雙線性變換）與勞斯穩定判據令注意到z和w都是復變量，則有顯然：考察上式：在z平面的單位圓上，滿足對應在w平面上：表明：w平面上的虛軸對應于z平面上的單位圓周。7.5.3、離散系統的穩定性判據Z平面單位圓內Z平面單位圓外w平面左半平面w平面右半平面勞斯穩定判據在離散系統中的應用：將離散系統在z域的特征方程變換為w域的特征方程，然后應用勞斯判據。7.5.3、離散系統的穩定性判據例：設閉環離散系統如圖所示，T=0.1(s)，試求系統穩定時K的極限值。解：7.5.3、離散系統的穩定性判據進一步整理后，w域的特征方程：勞斯表由勞斯穩定判據使系統閉環穩定的取值范圍極限增益7.5.3、離散系統的穩定性判據連續系統求穩態誤差的方法：（1）L變換的終值定理；（2）動態誤差系數法上述方法求離散系統穩態誤差由于離散系統的結構沒有規范的形式，誤差脈沖傳遞函數也沒有一般的計算公式。例如圖示系統7.5.5、離散系統的穩態誤差設系統的全部極點（即誤差脈沖傳遞函數的全部極點）均在z平面上的單位圓內。由z變換的終值定理求出系統在采樣時刻的終值誤差。穩態誤差：與系統自身的結構和參數、輸入序列的形式、采樣周期T有關。例1設圖中試求離散系統相應的穩態誤差。7.5.5、離散系統的穩態誤差系統閉環穩定。先判斷穩定性再求穩態誤差7.5.5、離散系統的穩態誤差如果希望求出其他結構形式離散系統的穩態誤差，或者希望求出離散系統在擾動作用下的穩定誤差，只要求出系統誤差的z變換函數E(z)，在離散系統穩定的前提下，同樣可以應用z變換的終值定理算出系統的穩態誤差。7.5.5、離散系統的穩態誤差7.5.6、離散系統的型別與靜態誤差系數離散系統的型別根據開環脈沖傳遞函數G(z)中z=1的極點個數來確定。ν=0,1,2..稱為0型、Ι型、ΙΙ型離散系統。在連續系統中，將開環傳遞函數G(s)具有s=0的極點數ν作為劃分系統型別的標準，ν=0,1,2..的系統稱為0型、Ι型、ΙΙ型等。1.單位階躍輸入時的穩態誤差0型系統I型及以上的系統靜態位置誤差系數G(Z)的極點，即，其分母為0，G(z)為無窮大。7.5.6、離散系統的型別與靜態誤差系數2.單位斜坡輸入時的穩態誤差0型系統II型及以上系統I型系統系統穩態誤差為有限值。系統穩態誤差為零。靜態速度誤差系數7.5.6、離散系統的型別與靜態誤差系數3.單位加速度輸入時的穩態誤差0型和I型系統II型系統系統穩態誤差為有限值。III型及以上系統系統穩態誤差為零。靜態加速度誤差系數7.5.6、離散系統的型別與靜態誤差系數不同型別單位反饋離散系統的穩態誤差0型與I型離散系統不能承