5-3.2、開環頻率特性曲線的繪制

一、開環幅相曲線的繪制

根據系統開環頻率特性的表達式可以通過取點、計算和作圖繪制系統開環幅相曲線。概略開環幅相曲線應反映開環頻率特性的三個重要因素：

1、開環幅相曲線的起點（ω

=0+）和終點（ω=

∞）。

2、開環幅相曲線與實軸的交點

設ω=ωx時，G(jωx)H(jω

x)的虛部為稱ωx為穿越頻率，而開環頻率特性曲線與實軸交點坐標值為：

例5-1設某0型系統的開環傳遞函數為

已知。試繪制系統的開環幅相頻率特性。

解

系統的開環頻率特性為

將上式作有理化處理

則：

而

將代入如上的實頻特性和虛頻特性以及幅頻特性和相頻特性的計算式中，當取不同的值時可得如表5-4所示的開環系統的頻率特性數據。

表5-4系統的頻率特性數據

利用上表中的數據在復平面上可繪出幅相頻率特性如圖5-25所示。

圖5-25例5-1系統的幅相頻率特性為精確求頻率特性和負虛軸的交點坐標，可令實部為0

從而可得的值，再將的值代入虛部方程即可求得曲線與虛軸的交點坐標。

例5-2設某Ⅰ型系統的開環傳遞函數為

試繪制系統的開環幅相頻率特性曲線。

解

該系統的開環頻率特性為

將上式進行有理化處理有

而

當ω＝0時表

明低頻率段的漸近線是一條過實軸－K(T1+T2)點且平行于虛軸的直線。

當ω→∞時

可見，此時高頻段是以－270°作為極限角而卷入坐標原點的。

完整的幅相頻率特性曲線如圖5-26所示。曲線從點[－K(T1+T2)，－

jω]出發，跨越負實軸進入第二象限，并以正虛軸為漸近線卷向坐標原點。為精確求得曲線與負虛軸的交點，可令虛頻特性為0，解之得交點角頻率將此值代入實頻特性表達式可求得曲線與實軸交點交點為：

圖5-26例5-2系統的幅相頻率特性

在繪制系統的開環極坐標時，應注意曲線所具有的一些特征。例如：當ω→0時低頻段曲線從何處出發？而當ω→∞時的高頻段特性曲線以什么姿態卷向原點？曲線在ω值為多大時跨越實軸或虛軸？跨越點的坐標值如何？等等。后兩個問題我們已經作過說明，下面討論前兩個問題。

設系統開環傳遞函數中含有V個積分環節，其相應的頻率特性為

式中當ω→0時低頻段表達式為

則

當ω→∞時的高頻段，由于所以

根據相角特性得當，特性曲線沿負虛軸卷向原點；當，特性曲線沿負實軸卷向原點；當，特性曲線沿正虛軸卷向原點；圖5-27極坐標圖的低頻段圖5-28極坐標的高頻段二、開環對數頻率特性的繪制

如圖5-29所示系統，其開環傳遞函數為則其對應的頻率特性為：圖5-29由兩個環節串聯而成的系統●由上可見，只要繪出各環節的對數幅頻特性分量，再將各分量的縱坐標相加，就可得到整個系統的開環對數幅頻特性。同理，將各環節的相頻特性分量相加，就成為系統的開環對數相頻特性。圖5-30兩環節系統的Bode圖含有多環節的系統的開環對數頻率特性的繪制思路：確定低頻漸近線的斜率和位置→確定線段交接的頻率以及交接后線段斜率的變化量→由低頻到高頻繪制開環系統的特性曲線。

1、低頻漸近線段的確定

前面我們已得到

則

上式是一個線性方程，易知直線的斜率為即低頻漸近線的斜率與系統階數V有關，如圖5-31。

圖5-31低頻段的斜率與位置的關系2、交接頻率及交接后斜率變化量的確定

對于式

其交接頻率分別為曲線經過時，斜率的變化量為+20dB/dec；

曲線經過時，斜率的變化量為-20dB/dec；曲線經過時，斜率的變化量為+40dB/dec；曲線經過時，斜率的變化量為-40dB/dec。依據如上分析，我們可歸納出繪制系統開環Bode圖的一般步驟和方法如下：

（1）將系統開環頻率特性寫成以時間常數表示、以典型環節頻率特性連乘的形式。

（2）求出各環節的交接頻率，并從小到大依次標在對數坐標圖的橫坐標上。（3）按傳遞系數K計算20lgK的分貝值，過ω=1這一點，繪出斜率為的直線，此即為低頻段的漸近線（或其延長線）。（4）從低頻漸近線開始，沿ω軸從左到右即沿著頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率，就按上述規律改變一次對數幅頻特性曲線的斜率，直至經過全部交接頻率為止。

（5）若有必要，可利用誤差曲線對幅頻特性的折線群加以修正，最終獲得精確的對數幅頻特性的光滑曲線。（6）對數相頻特性可直接利用相頻特性表達式逐點計算而得。對于式

其相頻表達式為

以及

例5-3某系統的開環傳遞函數為

試繪制系統的開環對數頻率特性。

解

將開環傳遞函數轉換為標準形式

其對應的頻率特性表達式為

（2）在處，（3）過點畫一條斜率為的斜線，以此作為低頻漸近線。

（4）因第一個交接頻率，故低頻漸近線畫至止，經過后曲線的斜率應為；當曲線延伸至第二個交接頻率時，斜率又恢復為直至時，曲線斜率再增加，變為的斜線。

根據上述分析可畫出系統的開環對數幅頻特性曲線如圖5-32所示。

直接繪制系統開環對數幅頻特性的步驟如下：

（1）交接頻率為

圖5-32例5-3系統的Bode圖表5-4例5-3系統開環相頻特性數據

系統開環對數相頻特性表達式為

逐點計算結果如表5-4所示。

00.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.0如圖5-32所示曲線穿越橫坐標時的頻率稱為截止頻率，又稱零分貝頻率，常用表示。

我們可以計算得到，其對應的相角為圖5-33例5-4系統的結構圖例5-4試繪制圖5-33所示系統的開環對數特性漸近線。

解

系統的開環傳遞函數為

其頻率特性表達式為

（3）畫分段折線，最終得如圖5-34所示的對數幅頻特性漸近線。

繪圖步驟：（1），找出各交接頻率（2）找點時，

圖5-34例5-4系統的對數幅頻特性三、最小相位系統、非最小相位系統和開環不穩定系統

三類開環傳遞函數：

（1）最小相位系統：傳遞函數的全部極點均位于s平面的左半部，而沒有零點落在右半s平面上，則這種傳遞函數稱為最小相位傳遞函數。具有最小相位傳遞函數的系統稱為最小相位系統。

（2）非最小相位系統：傳遞函數的全部極點均位于s平面的左半部，但有一個或多個零點落在右半s平面上，則這種傳遞函數稱為非最小相位傳遞函數。具有非最小相位傳遞函數的系統稱為非最小相位系統。

（3）開環不穩定系統：傳遞函數有一個或多個極點落在s平面的右半部，則這種傳遞函數稱為開環不穩定傳遞函數。具有開環不穩定傳遞函數的系統稱為開環不穩定系統。

“最小相位”與“非最小相位”的概念來源于網絡理論。它指出：在具有相同幅頻特性的一類系統中，當從0變至時，最小相位系統的相角變化范圍最小，而非最小相位系統的相角變化范圍通常要比前者大，故而得名。

例如，兩個系統的開環傳遞函數分別為

則兩系統的對數幅頻特性和對數相頻特性的表達式分別為圖5-35最小相位系統和非最小相位系統的Bode圖必須指出，非最小相位傳遞函數的定義中，有關極點的條件限制是必須的。若允許極點落在右半s平面，則相角變化范圍可能比之具有相同幅頻特性的最小相位傳遞函數的相角變化還要小。

例如，有三個系統

其頻率特性表達式為

則

圖5-36最小相位系統、非最小相位系統和開環不穩定系統Bode圖

對于最小相位系統，一條對數幅頻特性曲線只能有一條對數相頻特性曲線與之對應。因此對于最小相位系統只要繪出對數幅頻特性就夠了。

系統含有延遲環節則屬于非最小相位系統。原因

可見其開環傳遞函數必有位于右半s平面的零點。

例5-5已知某最小相位系統的對數幅頻特性漸近線如圖5-37所示。試寫出該系統的開環傳遞函數。

解

（1）低頻漸近線的斜率為[-20]，根據

故系統有且僅有一個積分環節即

圖5-37例5-5系統的對數幅頻特性（2）因低頻漸近線在處的對數幅值為15dB

（3）在處，對數幅頻特性漸近線的斜率由[-20]變為[-40]，故是慣性環節的交接頻率，

（4）在處，特性曲線的斜率由[-40