學科網（北京）股份有限公司

學科網（北京）股份有限公司

回歸教材重難點07電場及帶電粒子在電場中的運動

高考對這部分內容的考查側重基本概念和基本規(guī)律，側重模型的考查，以選擇題為主。融合點電荷的電場、電場力的性質、電場能的性質等一起考查；考查對稱法、等效法等解題方法的應用。

由于涉及的知識點多且抽象難懂，包含的思想方法多，綜合性強，考查面廣；在復習備考時需注意以下幾點：⑴建構知識體系，透析電場規(guī)律；以電場強度、電勢、電勢能、電勢差、電場力做功等基本概念入手，夯實電場基礎，掌握基本模型；⑵前后聯(lián)系，歸納方法；善于利用類比法把復雜、抽象的電場問題轉化為較為熟悉的力學問題，掌握對稱法、等效法、微元法等解題方法，學會解決靜電場綜合問題；⑶關心科技，善于思考；關注本部分知識在科技、生產、生活實踐中的體現(xiàn)，培養(yǎng)考生的綜合應用能力。

知識點一對庫侖定律的理解和應用

1．對庫侖定律的理解

(1)F＝k

eq\f(q1q2,r2)

，r指兩點電荷間的距離．對可視為點電荷的兩個均勻帶電球，r為兩球心間距．

(2)當兩個電荷間的距離r→0時，電荷不能視為點電荷，它們之間的靜電力不能認為趨于無限大．

2．電荷的分配規(guī)律

(1)兩個帶同種電荷的相同金屬球接觸，則其電荷量平分．

(2)兩個帶異種電荷的相同金屬球接觸，則其電荷量先中和再平分．

知識點二電場線與帶電粒子的運動軌跡分析

1．電荷運動的軌跡與電場線一般不重合．若電荷只受電場力的作用，在以下條件均滿足的情況下兩者重合：

(1)電場線是直線．

(2)電荷由靜止釋放或有初速度，且初速度方向與電場線方向平行．

2．由粒子運動軌跡判斷粒子運動情況：

(1)粒子受力方向指向曲線的內側，且與電場線相切．

(2)由電場線的疏密判斷加速度大小．

(3)由電場力做功的正負判斷粒子動能的變化．

3.求解這類問題的方法：

(1)“運動與力兩線法”——畫出“速度線”(運動軌跡在初始位置的切線)與“力線”(在初始位置電場線的切線方向)，從二者的夾角情況來分析曲線運動的情景．

(2)“三不知時要假設”——電荷的正負、場強的方向(或等勢面電勢的高低)、電荷運動的方向，是題意中相互制約的三個方面．若已知其中的任一個，可順次向下分析判定各待求量；若三個都不知(三不知)，則要用“假設法”分別討論各種情況．

知識點三靜電力作用下的平衡問題

1.解決這類問題與解決力學中的平衡問題的方法步驟相同，只不過是多了靜電力而已．

2.(1)解決靜電力作用下的平衡問題，首先應確定研究對象，如果有幾個物體相互作用時，要依據題意，適當選取“整體法”或“隔離法”．

(2)電荷在勻強電場中所受電場力與位置無關；庫侖力大小隨距離變化而變化．

知識點四電勢高低及電勢能大小的比較

1．比較電勢高低的方法

(1)根據電場線方向：沿電場線方向電勢越來越低．

(2)根據UAB＝φA－φB：若UAB＞0，則φA＞φB，若UAB＜0，則φA＜φB.

(3)根據場源電荷：取無窮遠處電勢為零，則正電荷周圍電勢為正值，負電荷周圍電勢為負值；靠近正電荷處電勢高，靠近負電荷處電勢低．

2．電勢能大小的比較方法

(1)做功判斷法

電場力做正功，電勢能減小；電場力做負功，電勢能增加(與其他力做功無關)．

(2)電荷電勢法

正電荷在電勢高處電勢能大，負電荷在電勢低處電勢能大．

知識點五等勢面與粒子運動軌跡的分析

1．幾種常見的典型電場的等勢面比較

電場

等勢面(實線)圖樣

重要描述

勻強電場

垂直于電場線的一簇平面

點電荷的電場

以點電荷為球心的一簇球面

等量異種點電荷的電場

連線的中垂線上的電勢為零

等量同種正點電荷的電場

連線上，中點電勢最低，而在中垂線上，中點電勢最高

2.帶電粒子在電場中運動軌跡問題的分析方法

(1)從軌跡的彎曲方向判斷受力方向(軌跡向合外力方向彎曲)，從而分析電場方向或電荷的正負；

(2)結合軌跡、速度方向與靜電力的方向，確定靜電力做功的正負，從而確定電勢能、電勢和電勢差的變化等；

(3)根據動能定理或能量守恒定律判斷動能的變化情況．

知識點六公式U＝Ed的拓展應用

1．在勻強電場中U＝Ed，即在沿電場線方向上，U∝d.推論如下：

(1)如圖甲，C點為線段AB的中點，則有φC＝

eq\f(φA＋φB,2)

.

(2)如圖乙，AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD.

2．在非勻強電場中U＝Ed雖不能直接應用，但可以用作定性判斷．

知識點七電場中的功能關系

1．求電場力做功的幾種方法

(1)由公式W＝Flcosα計算，此公式只適用于勻強電場，可變形為W＝Eqlcosα.

(2)由WAB＝qUAB計算，此公式適用于任何電場．

(3)由電勢能的變化計算：WAB＝EpA－EpB.

(4)由動能定理計算：W電場力＋W其他力＝ΔEk.

注意：電荷沿等勢面移動電場力不做功．

2．電場中的功能關系

(1)若只有電場力做功，電勢能與動能之和保持不變．

(2)若只有電場力和重力做功，電勢能、重力勢能、動能之和保持不變．

(3)除重力、彈簧彈力之外，其他各力對物體做的功等于物體機械能的變化．

(4)所有外力對物體所做的功等于物體動能的變化．

3.在解決電場中的能量問題時常用到的基本規(guī)律有動能定理、能量守恒定律和功能關系．

(1)應用動能定理解決問題需研究合外力的功(或總功)．

(2)應用能量守恒定律解決問題需注意電勢能和其他形式能之間的轉化．

(3)應用功能關系解決該類問題需明確電場力做功與電勢能改變之間的對應關系．

(4)有電場力做功的過程機械能不守恒，但機械能與電勢能的總和可以守恒．

知識點八平行板電容器的動態(tài)分析

運用電容的定義式和決定式分析電容器相關量變化的思路

1．確定不變量，分析是電壓不變還是所帶電荷量不變．

(1)保持兩極板與電源相連，則電容器兩極板間電壓不變．

(2)充電后斷開電源，則電容器所帶的電荷量不變．

2．用決定式C＝

eq\f(εrS,4πkd)

分析平行板電容器電容的變化．

3．用定義式C＝

eq\f(Q,U)

分析電容器所帶電荷量或兩極板間電壓的變化．

4．用E＝

eq\f(U,d)

分析電容器兩極板間電場強度的變化．

5.在分析平行板電容器的動態(tài)變化問題時，必須抓住兩個關鍵點：

(1)確定不變量：首先要明確動態(tài)變化過程中的哪些量不變，一般情況下是保持電量不變或板間電壓不變．

(2)恰當選擇公式：要靈活選取電容的兩個公式分析電容的變化，還要應用E＝

eq\f(U,d)

，分析板間電場強度的變化情況．

知識點九帶電粒子在電場中的直線運動

1．運動類型

(1)帶電粒子在勻強電場中做勻變速直線運動．

(2)帶電粒子在不同的勻強電場或交變電場中做勻加速、勻減速的往返運動．

2．分析思路

(1)根據帶電粒子受到的電場力，用牛頓第二定律求出加速度，結合運動學公式確定帶電粒子的運動情況．

(2)根據電場力對帶電粒子所做的功等于帶電粒子動能的變化求解．此方法既適用于勻強電場，也適用于非勻強電場．

(3)對帶電粒子的往返運動，可采取分段處理．

知識點十帶電粒子在電場中的偏轉

1．基本規(guī)律

設粒子帶電荷量為q，質量為m，兩平行金屬板間的電壓為U，板長為l，板間距離為d(忽略重力影響)，則有

(1)加速度：a＝

eq\f(F,m)

＝

eq\f(qE,m)

＝

eq\f(qU,md)

.

(2)在電場中的運動時間：t＝

eq\f(l,v0)

.

(3)位移

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(vxt＝v0t＝l,\f(1,2)at2＝y(tǒng)))

，

y＝

eq\f(1,2)

at2＝

eq\f(qUl2,2mv\o\al(2,0)d)

.

(4)速度

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(vx＝v0,vy＝at))

，vy＝

eq\f(qUt,md)

，

v＝

eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))

，tanθ＝

eq\f(vy,vx)

＝

eq\f(qUl,mv\o\al(2,0)d)

.

2．兩個結論

(1)不同的帶電粒子從靜止開始經過同一電場加速后再從同一偏轉電場射出時的偏轉角度總是相同的．

證明：由qU0＝

eq\f(1,2)

mv

eq\o\al(2,0)

及tanθ＝

eq\f(qUl,mdv\o\al(2,0))

得tanθ＝

eq\f(Ul,2U0d)

.

(2)粒子經電場偏轉后，合速度的反向延長線與初速度延長線的交點O為粒子水平位移的中點，即O到電場邊緣的距離為

eq\f(l,2)

.

3．帶電粒子在勻強電場中偏轉的功能關系：當討論帶電粒子的末速度v時也可以從能量的角度進行求解：qUy＝

eq\f(1,2)

mv2－

eq\f(1,2)

mv

eq\o\al(2,0)

，其中Uy＝

eq\f(U,d)

y，指初、末位置間的電勢差．

知識點十一E－x和φ－x圖象的處理方法

1．E－x圖象

(1)反映了電場強度隨位移變化的規(guī)律．

(2)E＞0表示場強沿x軸正方向；E＜0表示場強沿x軸負方向．

(3)圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據電場方向判定．

2．φ－x圖象

(1)描述了電勢隨位移變化的規(guī)律．

(2)根據電勢的高低可以判斷電場強度的方向是沿x軸正方向還是負方向．

(3)斜率的大小表示場強的大小，斜率為零處場強為零．

知識點十二對稱思想、等效思想在電場問題中的應用

一、割補法求解電場強度

由于帶電體不規(guī)則，直接求解產生的電場強度較困難，若采取割或補的方法，使之具有某種對稱性，從而使問題得到簡化．

二、等效法求解電場中的圓周運動

1.帶電粒子在勻強電場和重力場組成的復合場中做圓周運動的問題是一類重要而典型的題型．對于這類問題，若采用常規(guī)方法求解，過程復雜，運算量大．若采用“等效法”求解，則過程往往比較簡捷．

2.等效法求解電場中圓周運動問題的解題思路：

(1)求出重力與電場力的合力F合，將這個合力視為一個“等效重力”．

(2)將a＝

eq\f(F合,m)

視為“等效重力加速度”．

(3)將物體在重力場中做圓周運動的規(guī)律遷移到等效重力場中分析求解．

1．（2021·浙江卷）如圖所示，在火箭發(fā)射塔周圍有鋼鐵制成的四座高塔，高塔的功能最有可能的是（）

A．探測發(fā)射臺周圍風力的大小 B．發(fā)射與航天器聯(lián)系的電磁波

C．預防雷電擊中待發(fā)射的火箭 D．測量火箭發(fā)射過程的速度和加速度

【答案】C

【解析】

在火箭發(fā)射塔周圍有鋼鐵制成的四座高塔，因鐵制的高塔有避雷作用，其功能是預防雷電擊中發(fā)射的火箭。

故選C。

2．（2021·浙江卷）某書中有如圖所示的圖，用來表示橫截面是“<”形導體右側的電場線和等勢面，其中a、b是同一條實線上的兩點，c是另一條實線上的一點，d是導體尖角右側表面附近的一點。下列說法正確的是（）

A．實線表示電場線

B．離d點最近的導體表面電荷密度最大

C．“<”形導體右側表面附近電場強度方向均相同

D．電荷從a點到c點再到b點電場力做功一定為零

【答案】D

【解析】

A．處于靜電平衡的導體，是個等勢體，則整個導體為等勢體，由于電場線方向總是與等勢面垂直，所以實線不是電場線，是等勢面，則A錯誤；

B．根據等勢面的疏密表示場強的強弱，則d點的場強較弱，并且電場強度越大的地方電荷密度越大，所以B錯誤；

C．在“<”形導體右側表面上下部分附近電場強度方向不相同，所以C錯誤；

D．由于a、b在同一等勢面上，則電荷從a點到c點再到b點電場力做功一定為零，所以D正確；

故選D。

3．（2021·全國卷）如圖（a），在一塊很大的接地金屬平板的上方固定一負電荷。由于靜電感應，在金屬平板上表面產生感應電荷，金屬板上方電場的等勢面如圖（b）中虛線所示，相鄰等勢面間的電勢差都相等。若將一正試探電荷先后放于M和N處，該試探電荷受到的電場力大小分別為和，相應的電勢能分別為和，則（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由圖中等勢面的疏密程度可知

根據

可知

由題可知圖中電場線是由金屬板指向負電荷，設將該試探電荷從M點移到N點，可知電場力做正功，電勢能減小，即

故選A。

4．（2021·廣東卷）圖是某種靜電推進裝置的原理圖，發(fā)射極與吸極接在高壓電源兩端，兩極間產生強電場，虛線為等勢面，在強電場作用下，一帶電液滴從發(fā)射極加速飛向吸極，a、b是其路徑上的兩點，不計液滴重力，下列說法正確的是（）

A．a點的電勢比b點的低

B．a點的電場強度比b點的小

C．液滴在a點的加速度比在b點的小

D．液滴在a點的電勢能比在b點的大

【答案】D

【解析】

A．高壓電源左為正極，則所加強電場的場強向右，而沿著電場線電勢逐漸降低，可知

故A錯誤；

B．等差等勢線的疏密反映場強的大小，由圖可知a處的等勢線較密，則

故B錯誤；

C．液滴的重力不計，根據牛頓第二定律可知，液滴的加速度為

因，可得

故C錯誤；

D．液滴在電場力作用下向右加速，則電場力做正功，動能增大，電勢能減少，即

故D正確；

故選D。

5．（2021·浙江卷）如圖所示是某一帶電導體周圍的電場線與等勢面，A、C是同一等勢面上的兩點，B是另一等勢面上的一點。下列說法正確的是（）

A．導體內部的場強左端大于右端 B．A、C兩點的電勢均低于B點的電勢

C．B點的電場強度大于A點的電場強度 D．正電荷從A點沿虛線移到B點的過程中電場力做正功，電勢能減小

【答案】D

【解析】

A．帶電導體處于靜電平衡狀態(tài)，導體內部的場強處處為0，導體表面為等勢面，整個導體為一個等勢體，A錯誤；

B．沿電場線方向電勢降低，所以A、C兩點的電勢大于B點的電勢，B錯誤；

C．電場線的疏密程度表示電場強度的弱強，所以B點的電場強度小于A點的電場強度，C錯誤；

D．根據可知，正電荷從高電勢A點沿虛線移動到低電勢B點，電勢能減小，電場力做正功，D正確。

故選D。

6．（2021·湖南卷·多選）如圖，圓心為的圓處于勻強電場中，電場方向與圓平面平行，和為該圓直徑。將電荷量為的粒子從點移動到點，電場力做功為；若將該粒子從點移動到點，電場力做功為。下列說法正確的是（）

A．該勻強電場的場強方向與平行

B．將該粒子從點移動到點，電場力做功為

C．點電勢低于點電勢

D．若只受電場力，從點射入圓形電場區(qū)域的所有帶電粒子都做曲線運動

【答案】AB

【解析】

A．由于該電場為勻強電場，可采用矢量分解的的思路，沿cd方向建立x軸，垂直與cd方向建立y軸如下圖所示

在x方向有

W=Exq2R

在y方向有

2W=EyqR+ExqR

經過計算有

Ex=，Ey=，E=，tanθ=

由于電場方向與水平方向成60°，則電場與ab平行，且沿a指向b，A正確；

B．該粒從d點運動到b點，電場力做的功為

W′=Eq=0.5W

B正確；

C．沿電場線方向電勢逐漸降低，則a點的電勢高于c點的電勢，C錯誤；

D．若粒子的初速度方向與ab平行則粒子做勻變速直線運動，D錯誤。

故選AB。

7．（2021·全國卷·多選）某電場的等勢面如圖所示，圖中a、b、c、d、e為電場中的5個點，則（）

A．一正電荷從b點運動到e點，電場力做正功

B．一電子從a點運動到d點，電場力做功為4eV

C．b點電場強度垂直于該點所在等勢面，方向向右

D．a、b、c、d四個點中，b點的電場強度大小最大

【答案】BD

【解析】

A．由圖象可知

φb=φe

則正電荷從b點運動到e點，電場力不做功，A錯誤；

B．由圖象可知

φa=3V，φd=7V

根據電場力做功與電勢能的變化關系有

Wad=Epa-Epd=(φa-φd)(-e)=4eV

B正確；

C．沿電場線方向電勢逐漸降低，則b點處的場強方向向左，C錯誤；

D．由于電場線與等勢面處處垂直，則可畫出電場線分布如下圖所示

由上圖可看出，b點電場線最密集，則b點處的場強最大，D正確。

故選BD。

8．（2021·河北卷·多選）如圖，四個電荷量均為的點電荷分別放置于菱形的四個頂點，其坐標分別為、、和，其中x軸上的兩個點電荷位置固定，y軸上的兩個點電荷可沿y軸對稱移動（），下列說法正確的是（）

A．除無窮遠處之外，菱形外部電場強度處處不為零

B．當取某值時，可使得菱形內部只存在兩個電場強度為零的點

C．當時，將一帶負電的試探電荷由點移至點，靜電力做正功

D．當時，將一帶負電的試探電荷放置在點處，其所受到的靜電力方向與x軸正方向成傾斜向上

【答案】ACD

【解析】

A．根據場強疊加原理可知，除無窮遠處之外，菱形外部電場強度處處不為零，選項A正確；

B．因為在x軸上的兩個點電荷在O點的合場強為零，在y軸上的兩電荷，無論y0取什么值，因為關于原點對稱，則在O點的合場強也為零，在橫軸和縱軸上除原點外，出現(xiàn)合場強為零的點，根據對稱性可知，一定是成對出現(xiàn)的，關于原點對稱，所以算上原點，合場強為零的點是奇數(shù)個，不會是2個，選項B錯誤；

C．由幾何關系可知，坐標為（4l，5l）的A點在第一象限內所在的虛像的垂直平分線的上方；坐標為（0，-3l）的B點在第三象限內所在的虛像的垂直平分線的上方，且到達虛線的距離相等，由電勢疊加可知，B點的電勢高于A點，則帶負電的試探電荷在A點的電勢能較大，從A點到B點電勢能減小，可知電場力做正功，選項C正確；

D．若y0=4l，則四個點構成正方形，由對稱可知在點（l，l）處的場強一定沿著過該點與原點連線的方向上；在y軸正向和x正向上的點電荷在（l，l）處的合場強

在y軸負向和x負向上的點電荷在（l，l）處的合場強

可知（l，l）點的場強沿著MN方向且與x軸從成45°角的方向向下，將一帶負電的試探電荷放置在點處，其所受到的靜電力方向與x軸正方向成傾斜向上，選項D正確。

故選ACD。

9．（2021·北京東城區(qū)高三一模）如圖所示的電場中，實線表示電場線，虛線表示等差等勢面，A、B、C為電場中的三個點。下列正確的（）

A．A點電勢比B點高

B．A點場強比B點小

C．負電荷在A點的電勢能比在B點的電勢能大

D．B點和C點間的電勢差是C點和A點間電勢差的2倍

【答案】C

【解析】A．因為沿電場線方向電勢逐漸降低，由圖式可知，電勢從B點到A點逐漸降低，所以A點電勢比B點低，故A錯誤；B．因為電場線越緊密的地方電場強度越大，由于A點電場線比B點緊密，所以A點場強比B點大，故B錯誤；C．由圖示可知，負電荷在B點的運動到A點的過程中，電場力做負功，電勢能增加，所以負電荷在A點的電勢能比在B點的電勢能大，故C正確；D．因為虛線表示等差等勢面，所以B點和C點間的電勢差和C點和A點間電勢差相等，故D錯誤。故選C。

10．（2021·廣東深圳市高三一模）由已知現(xiàn)象，經過邏輯推理和數(shù)學工具驗證，再進行合理延伸，是研究物理問題的一種科學思維方法。下列選項中屬于這種方法的是（）

A．牛頓的人造衛(wèi)星發(fā)射設想

B．測靜電力常量

C．探究二力合成的規(guī)律

D．研究影響向心力大小的因素

【答案】A

【解析】A．牛頓的人造衛(wèi)星發(fā)射設想屬于經過邏輯推理和數(shù)學工具驗證，再進行合理延伸，A正確；B．庫倫通過庫侖扭秤實驗得出了庫侖定律，此實驗應用了放大方法，但是由于當時電量的單位（庫侖）并沒有得到定義，他并沒有能夠測出靜電力常量的數(shù)值。靜電力常量的數(shù)值是在電量的單位得到定義之后，后人通過庫侖定律計算得出的，B錯誤；C．探究二力合成的規(guī)律利用等效替代的方法，C錯誤；D．研究影響向心力大小的因素使用控制變量法，D錯誤。故選A。

11．（2021·山東高三模擬）如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的B'、D兩點分別放置兩個電荷量均為Q的正、負點電荷，關于兩點電荷形成的電場，下列說法正確的是（）

A．A、A'兩點的電場強度相同

B．A、C'兩點的電場強度相同

C．同一負電荷在A、B兩點具有相同的電勢能

D．將正電荷由B點移到C'點，克服電場力做功，電勢能增加

【答案】B

【解析】A．A、A'兩點位于B'D同側，它們所在的兩條電場線兩端交匯，由幾何關系可知A、A'兩點電場強度方向不同，故A選項錯誤；B．等量異種電荷的電場線分布如圖

C'兩點關于對稱，因此可知電場強度大小相等，方向相同，B選項正確；C．平面的電勢為零，A點電勢為零，B點電勢大于零，因此同一負電荷在A、B兩點具有不相同的電勢能，故C選項錯誤；D．B點電勢大于零，由可知將正電荷由B點移到C'點，電勢能降低，故D選項錯誤。故選B。

12．（2021·浙江高三模擬）一種電場的某條電場線與軸重合，其場強大小與坐標的關系如圖所示，下列說法正確的是（）

A．此電場是勻強電場

B．由圖像可以直接看出場強大小隨均勻減小

C．圖像的斜率表示電場的電勢

D．與之間的電勢差等于陰影部分的面積

【答案】D

【解析】AB．由題圖可以看出關系圖像是正比例函數(shù)圖像，場強隨均勻增大，此電場并非勻強電場，AB錯誤；C．雖然是勻強電場的表達式，但可推導非勻強電場的、、之間的關系，圖線與軸所圍成的面積表示電勢差，圖像的斜率不能表示電場的電勢，C錯誤；D．梯形的面積表示與之間的電勢差，由幾何關系有，，則梯形的面積等于梯形的面積，即陰影部分的面積，所以與之間的電勢差等于陰影部分的面積，D正確。

故選D。

13．（2021·福建福州市高三二模·多選）空間中存在一靜電場，一電子從處以一定的初速度沿軸方向射出，僅在電場力作用下在x軸上做直線運動，其電勢