2022年湖南省衡陽市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

A.

B.

C.

D.

2.

A.1B.0C.-1D.-2

3.力偶對剛體產生哪種運動效應()。

A.既能使剛體轉動，又能使剛體移動B.與力產生的運動效應有時候相同，有時不同C.只能使剛體轉動D.只能使剛體移動

4.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

5.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

6.

7.

8.

9.

10.若，則下列命題中正確的有()。A.

B.

C.

D.

11.設f(x)在點x0處連續，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

12.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.橢球面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面

13.設函數f(x)=2lnx+ex,則f'(2)等于

A.eB.1C.1+e2

D.ln2

14.f(x)在[a，b]上可導是f(x)在[a，b]上可積的()。

A.充要條件B.充分條件C.必要條件D.無關條件15.設函數y=ex-2,則dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

16.

17.A.A.2B.1/2C.-2D.-1/2

18.

19.設f(x)，g(x)在[a，b]上連續，則()。

A.若,則在[a，b]上f(x)=0

B.若，則在[a，b]上f(x)=g(x)

C.若a<c<d<b，則

D.若f(x)≤g(z)，則

20.極限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.26.設sinx為f(x)的原函數，則f(x)=________。

27.曲線y=x3-3x+2的拐點是__________。

28.過M0(1，－1，2)且垂直于平面2x-y＋3z-1＝0的直線方程為．29.30.

31.冪級數的收斂半徑為______．

32.

33.設當x≠0時，在點x=0處連續，當x≠0時，F(x)=-f(x)，則F(0)=______．34.過原點（0，0，0）且垂直于向量（1，1，1）的平面方程為________。

35.

36.

37.設y=ex/x，則dy=________。38.設y=sin2x，則dy=______．39.

40.

三、計算題(20題)41.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．42.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．43.證明：44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

47.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

48.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．49.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

50.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．51.

52.

53.

54.55.求微分方程的通解．56.57.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．58.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

59.

60.

四、解答題(10題)61.

62.設F(x)為f(x)的一個原函數，且f(x)=xlnx，求F(x)．63.64.65.66.67.

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.設f(x)的一個原函數是lnz，求∫f(x)f(x)dx。

六、解答題(0題)72.將f(x)=sin3x展開為x的冪級數，并指出其收斂區間。

參考答案

1.D本題考查的知識點為導數運算．

因此選D．

2.A

本題考查的知識點為導數公式．

可知應選A．

3.A

4.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

5.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

6.A

7.D解析：

8.A

9.B

10.B本題考查的知識點為級數收斂性的定義。

11.C本題考查的知識點有兩個：連續性與極限的關系；連續性與可導的關系．

連續性的定義包含三個要素：若f(x)在點x0處連續，則

(1)f(x)在點x0處必定有定義；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所給命題C正確，A，B不正確．

注意連續性與可導的關系：可導必定連續；連續不一定可導，可知命題D不正確．故知，應選C．

本題常見的錯誤是選D．這是由于考生沒有正確理解可導與連續的關系．

若f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處必定連續．

但是其逆命題不成立．

12.C本題考查的知識點為二次曲面的方程。

將x2+y2-z=0與二次曲面標準方程對照，可知其為旋轉拋面，故應選C。

13.C本題考查了函數在一點的導數的知識點.

因f(x)=2lnx+ex,于是f'(x)=2/x+ex,故f'(2)=1+e2.

14.B∵可導一定連續，連續一定可積；反之不一定。∴可導是可積的充分條件

15.B

16.C解析：

17.B

18.A

19.D由定積分性質：若f(x)≤g(x)，則

20.C本題考查的知識點為重要極限公式．

由于，可知應選C．

21.55解析：

22.

23.2

24.25.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

26.本題考查的知識點為原函數的概念。

由于sinx為f(x)的原函數，因此f(x)=(sinx)=cosx。

27.(02)28.

本題考查的知識點為直線方程的求解．

由于所求直線與平面垂直，因此直線的方向向量s可取為已知平面的法向量n＝(2，－1，3)．

由直線的點向式方程可知所求直線方程為

29.本題考查的知識點為定積分的基本公式。30.由可變上限積分求導公式可知

31.

；

32.233.1本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由連續性的定義可知，若F(x)在點x=0連續，則必有，由題設可知

34.x+y+z=0

35.2/3

36.4x3y

37.38.2cos2xdx這類問題通常有兩種解法．

解法1利用公式dy=y'dx，先求y'，由于y'=cos2x·(2x)'2cos2x，

因此dy=2cos2xdx．

解法2利用微分運算公式

dy=d(sin2x)=cos2x·d(2x)=2cos2xdx．

39.

40.(e-1)241.由二重積分物理意義知

42.

43.

44.

45.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

46.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

47.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

48.

列表：

說明

49.

50.

51.

則

52.

53.

54.

55.

56.57.函數的定義域為

注意

58.由等價無窮小量的定義可知

59.

60.由一階線性微分方程通解公式有

61.62.由題設可得知本題考查的知識點為兩個：原函數的概念和分部積分法．

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69