Chapter15有限元方法在流體力學中的應用ApplicationsofFEMinFluidMechanics(FundamentalsoffiniteelementanalysisbyDavidV.Hutton)1引言不可壓縮流體(incompressibleflow):密度不變可壓縮流體(compressibleflow)Newton’slawofviscosityμ為絕對粘度(absoluteviscosity).是流體的基本材料參數,與其抗剪應力性能直接相關。如果流體的粘度很小，則可忽略其剪應力，理想化為無粘性流體。2不可壓縮流體的控制方程質量守恒連續性方程u,v,w,是速度在x,y,z方向的分量質量守恒要求一個體積里面的質量變化率等于該體積的質量凈流入速度。體積dV里的總質量為ρdV,注意到dV為常數,所以有：從x,y,z三個方向流入質量造成的控制體積中的質量變化率分別表示為：所以質量的變化率為：注意到dV=dxdydz,于是得到連續性方程為：對于穩態的不可壓縮流體(steadyflowofanincompressiblefluid),密度與時間和空間坐標無關，于是有旋流和無旋流(RotationalandIrrotationalFlow)把流體流動分為：有旋流動(rotational)

---平動和轉動混合無旋流動(irrotational)---僅有平動。流體微元體積沒有純轉動。如果下列三式不能同時滿足，則為有旋流動:我們目前僅考慮無旋流動。二維流的流函數(steamfunction)對于2D,穩態,不可壓縮,無旋流動連續性方程為無旋條件退化為如果引入

ψ(x,y)(流函數)，則連續性條件自動滿足:無旋條件變為(Laplace’sequation)流函數的物理意義流線(streamlines):x-y平面內的曲線，其上的流函數為常數。流線上的任一點的切向量可以表示為

nt

=dxi+dyj，該點處的流體速度為V

=ui+vj.則

V×nt=(?vdx+udy)k=0因為：兩個非零向量的叉積為零意味著這兩個向量平行，所以：在流線上任一點，流體速度正切于流線。有限元列式具有M個節點的有限單元內的流函數可以表示為:利用Galerkin方法,單元的殘差方程為：or應用Green-Gauss定理，上式變為其中

S

為單元邊界(nx

,ny

)為邊界單位外法線向量。代入流函數表達式，有：寫為矩陣形式二維流動的流速勢函數(VelocityPotentialFunction)假定存在流速勢函數φ(x,y)使得則無旋條件能自動滿足:連續性條件變為:(again,weobtainLaplace’sequation)在流速勢函數為常數的曲線上，有所以可見，速度向量垂直于流速勢為常數的曲線。于是，流線和流速勢等值線形成了正交網格，稱為流網(flownet).有限元列式與流函數的情形類似：單元剛度陣與流函數法的相同，但是節點力完全不同。不可壓縮粘性流假定:可以看作二維問題不涉及熱3.密度和粘度為常數4.穩態(不隨時間變化)表示動量守恒的Navier-Stokes方程為:u,v=x,y方向速度分量

ρ=密度p=壓力

μ=絕對粘度FBx

,FBy

=x,

y方向單位體積的體力斯托克斯流(StokesFlow)Stokesflow(orcreepingflow)：流體流動的速度很小，慣性項比粘性項小很多，可以忽略。高粘度流體，如融化的高分子材料。動量方程變為上式和連續性方程一起構成了三個未知數u(x,y),v(x,y),andp(x,y)的三個方