第10章圖像變換22人類視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有非常方便分析的一面。例如，空間位置上的變化不改變信號的頻域特性。問題的提出3圖像變換(一)原則上，所有圖像處理都是圖像的變換。狹義上講，圖像變換特指數字圖像經過某種數學工具的處理，把原先二維空間域的數據，變換到另外一個“變換域”形式描述的過程。如：傅立葉變換將時域或空域信號變換成頻域的能量分布描述。通常“另外一個變換域”更集中地代表了圖像中的有效信息，或者是更便于達到某種處理目的。44圖像變換的前提條件:首先，提出的變換必須是有好處的，換句話說，可以解決時域中難以解決的問題。其次，變換必須是可逆的，可以通過逆變換還原回原時域中。常用的圖像變換包括：頻域變換（傅立葉變換，離散余弦變換）；圖像的時頻域變換（小波變換）；以及其他各種正交變換等。圖像變換(二)5本章內容簡介圖像的頻域變換—傅立葉變換傅立葉變換的應用離散余弦變換（DCT）小波變換小波變換在圖像處理中的應用6610.1圖像的頻域變換—傅立葉變換與前述各種圖象處理不同，傅立葉變換可以將時域信號變換到頻域中進行處理，因此傅立葉變換在信號處理中有著特殊重要的地位。傅立葉（Fourier）變換以圖象中灰度的變化頻率為處理對象，是一種重要的圖象處理技術；實際計算中是采用數值計算的方法計算傅立葉變換的，稱為離散傅立葉變換（DFT）。具體算法則使用快速傅立葉變換（FFT）算法。除以上FT以外，圖象處理中還可使用沃爾什（Walsh）變換WT、余弦變換、小波變換等數學方法。7DFT的原理對于一個N點有限長序列x(n)，其DFT變換可表示為：其中：k=0，1，…，N－1；78DFT的運算量假如x(n)為N項的復數序列，由DFT變換，任一X(m)的計算都需要N次復數乘法和N-1次復數加法一次復數乘法等于四次實數乘法和兩次實數加法,一次復數加法等于兩次實數加法。即使把一次復數乘法和一次復數加法定義成一次“運算”（四次實數乘法和四次實數加法），那么求出N項復數序列的X(k)，即N點DFT變換大約就需要N^2次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N^2=1048576次運算。因此，在N較大時，計算量不可想象。89如何減小DFT的計算量分解N為較小值：把序列分解為幾個較短的序列，分別計算其DFT值，可使乘法次數大大減少；利用旋轉因子的周期性、對稱性進行合并、歸類處理，以減少DFT的運算次數。周期性：對稱性：歐拉公式：910FFT利用上述對稱性和周期性，可以簡化DFT的運算。可以把較多點的DFT分解為多個較少點的DFT運算。由于DFT的運算量與點數成正比，減少DFT的點數就能減少DFT的總運算量。不斷地繼續分解得到的DFT，可以加快DFT的運算過程，這種DFT的快速計算方法，我們稱為FFT。1011基2FFT算法FFT算法基本上分為兩大類：時域抽取法FFT(簡稱DIT-FFT)和頻域抽取法FFT(簡稱DIF―FFT)。時域抽取法FFT的算法思想：將序列x(n)按n為奇、偶數分為x1(n)、x2(n)兩組序列；用2個N/2點DFT來完成一個N點DFT的計算。設序列x(n)的長度為N，且滿足：N=2M，M為自然數。(1)按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2點的子序列1112基2FFT算法(二)(2)用N/2點X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N點DFTX(k)12偶數奇數注意：這里的k的取值范圍為0，1，…，N-113基2FFT算法(三)(3)由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期，且,X(k)又可表示為:對上式的運算用下圖所示的流圖符號來表示這樣將N點DFT分解為兩個N/2點的DFT圖：蝶形運算符號完成一個蝶形運算需要一次復數乘和兩次復數加法運算，經過一次分解后，共需要復數乘和復數加的次數為2(N/2)2+N/2和2(N/2)214N=8時域抽取基2FFT算法信號流圖1515二維離散傅立葉變換

——正變換設圖像大小為M*N，原圖為f(x,y)，其頻譜為F(u,v)，則：二維傅立葉變換可以轉化為兩次一維傅立葉變換。1616二維離散傅立葉變換

——反變換注：逆變換的系數不為1。1717二維離散傅立葉變換

——作用1）可以得出信號在各個頻率點上的強度。2）可以將卷積運算化為乘積運算。1818二維傅立葉變換的應用

——用于計算卷積從前面各章中學習的圖像處理算法中知道，如果抽象來看，其實都可以認為是圖像信息經過了濾波器的濾波（如：平滑濾波、銳化濾波等）。如果濾波器的結構比較復雜時，直接進行時域中的卷積運算是不可思議的。傅立葉變換可以把卷積運算轉換為點乘運算，由此簡化運算，提高計算速度。二維傅立葉變換的應用

——用于計算卷積19202010.2傅立葉變換的應用前面已經提到了傅立葉變換有兩個好處，即：可以獲得信號的頻域特性；可以將卷積運算轉換為乘積運算。因此二維傅立葉變換的應用也是根據這兩個特點來進行的。212110.2.1圖像傅立葉變換后的頻率分布頻域上的高頻信息對應著空域上變化比較劇烈的區域，而低頻信號對應著空域上變化比較緩慢的區域。實際上變化比較劇烈的信號主要集中在不同景物的邊界上，而大部分信息主要集中在邊界內部的非邊界景物信息之中。這樣，圖像的傅立葉變換的幅頻特性在其幅頻圖的四個角上比較亮，而在中心部分比較暗。為了方便觀察，通常是將幅頻圖進行四個對角子塊的置換，這樣，低頻部分集中在圖像的中心部分，便于觀察。2222圖像傅立葉變換后的頻率分布綜上所述，就可以用“低頻部分反映圖像的概貌，高頻部分反映圖像細節”來總結頻域上的信息強度與空域上的像素特性之間的關系。根據這一對應關系，可以獲得利用傅立葉變換后的幅頻特性進行圖像的濾波處理。232310.2.2圖像的高通濾波圖像的頻域變換有一個非常突出的優點，就是可以將信號的信息強度進行重新分配。因為景物的細節部分集中在高頻區段。因此，可以通過圖像高通濾波將圖像中景物的細節信息（邊界信息）提取出來。圖像的高通濾波，可以通過特定的濾波器(如Butterworth高通濾波器)來實現，也可以簡單地將頻譜圖中的低頻分量強制為0。經這樣處理后的頻譜再進行傅立葉逆變換，就可以得到圖像高頻部分。242410.2.3圖像的低通濾波圖像經傅立葉變換之后，將景物的概貌部分集中在低頻區段。故可通過圖像低通濾波將其中景物的概貌信息提取出來。具體實現時，與高通濾波類似，可以借助特定的濾波器，也可以將頻譜圖中的高頻強制為0，就相當于一個低通濾波器作用在圖像上。經這樣處理后的頻譜再進行傅立葉逆變換，就可以得到圖像概貌部分。252510.2.4傅立葉變換在圖像壓縮中的應用圖像信息在空域中是依據景物的拓撲結構分布的。因其信息強度的不集中，故不易壓縮。如果對圖像進行傅立葉變換，則圖像信息在頻域中大多集中在低頻部分。充分利用這一特點，則可進行數據壓縮。人在觀察圖像時，圖像的概貌可以達到理解圖像內容的目的。因此，在不苛求圖像的再現質量的場合下，可以通過只對圖像傅立葉變換后頻譜的低頻部分進行編碼的方法，達到減少圖像數據量的目的。262610.3離散余弦變換（DCT）傅立葉變換的一個最大的問題是：它的參數都是復數，在數據的描述上相當于實數的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達到相同功能但數據量又不大的變換。在此期望下，產生了DCT變換。2727離散余弦變換（DCT）正變換：逆變換：其中：2828離散余弦變換（DCT）

——應用余弦變換實際上是利用了傅立葉變換的實數部分構成的變換。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國際壓縮標準的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。即高頻部分壓縮多一些，低頻部分壓縮少一些。2910.4小波變換傅立葉變換可以使信號分析在頻域上進行。但傅立葉變換有一個嚴重的不足，即做變換時丟掉了時間信息，無法根據傅立葉變換的結果判斷一個特定的信號是在什么時候發生的。傅立葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域里的定位是完全準確的（即頻域分辨率最高），而在時域無任何定位性（或無分辨能力）。30小波變換對于平穩隨機信號，傅立葉變換的這一缺點也許不是很重要。然而實際中大多數信號均含有大量的非穩態成分，例如突變、偏移、趨勢、事件的起始與終止等情況，而這些情況往往是相當重要的，反映了信號的重要特征。如：音樂信號、語音信號、探地信號等，它們的頻域特性都隨時間而變化。對這一類時變信號進行分析，通常需要提取某一時間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對應的時間信息。因此，需要尋求一種具有一定的時間和頻率分辨率的基函數來分析時變信號。小波的特性小波（Wavelet），即小區域的波，是一種特殊的長度有限，平均值為0的波形。它有兩個特點：一是“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集；二是正負交替的“波動性”，也即直流分量為零。可以用小波和傅立葉分析用的正弦波做個比較，如3232傅立葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制，從負無窮到正無窮，但小波傾向于不規則與不對稱。傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號分解成一系列小波函數的疊加，而這些小波函數都是由一個母小波函數經過平移與尺度伸縮得來的。用不規則的小波函數來逼近尖銳變化的信號顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號局部的特性用小波函數來逼近顯然要比光滑的正弦函數要好。傅立葉變換與小波變換小波的多尺度分解小波多分辨圖像分解，就是利用由一個小波函數經過平移和伸縮生成的一系列小波基函數對圖像進行變換，并將圖像分解為一組具有不同空間分辨率、不同頻率特性和方向特性的圖像近似分量的過程。這些近似分量也被稱作小波子帶。經過一級小波分解后可以生成由4個原圖像1/4大小的系數數組構成系數矩陣。這里，LL代表圖像的低頻分量，可看作原圖的縮略圖。HL體現了圖像的垂直邊緣特征；LH代表了圖像的水平邊緣特征；HH表示圖像對角線方向的細節信息。343410.5小波變換在圖像處理中的應用10.5.1小波變換在圖像壓縮中的應用我們從傅立葉變換得到啟示，就是圖像的數據信息大多集中在低頻部分，而高頻部分的信息很弱，對人眼視覺的影響也小。一幅圖像經過小波變換之后，概貌信息大多集中在低頻部分，而其余部分只有很弱的表示細節的信息。為此，如果只保留占總數據量1/4的低頻部分，對其余三個部分的系數不存儲或傳輸，在解壓時，這三個子塊的系數以0來替代，則可得到較好的效果。可以看到省略了部分細節信息之后，畫面的效果與原圖相比，差別不是非常大。3510.5.2小波變換在邊界檢測中的應用經過小波變換之后，圖像中的景物邊界這類細節信息存在于三個非低頻子塊中。為了方便后面的敘述，在這里將對圖像進行行低通、列低通濾波后得到的LL子塊定義為低頻子塊；將行低通、列高通LH濾波后得到的子塊定義為次低頻子塊；將行高通、列低通的HL子塊定義為次高頻子塊；將行高通、列高通的HH子塊定義為高頻子塊。對原圖進行小波變換后，對次高頻、次低頻兩個子塊進行二值化處理之后所得到的邊界檢測結果。3610.5.3小波變換在圖像增強中的應用小波變換用于圖像增強的原理是，對原圖像進行小波變換，得到的小波變換系數矩陣分別表示的是不同的頻率特性。為此，一個簡單的圖像增強方法是，對低頻、次低頻、次高頻、高頻四個子塊以不同的增強系數進行處理，再進行小波逆變換之后，就可以達到圖像增強的目的。例如，對低頻子塊以大于1的增強系數相乘，則可以提高圖像的總體亮度；對其他三個子塊進行增強，則可以增強圖像的細節信息，由此可獲得清晰化圖像的效果。3710.5.4小波變換在圖像去噪中的應用利用小波變換去除噪聲的原理是：噪聲大多屬于高頻信息，因此，當進行小波變換之后，噪聲信息大多集中在次低頻、次高頻、以及高頻子塊中。經過小波變換之后，將高頻子塊置為0，對次低頻和次高頻子塊進行一定的抑制，則可以達到一定的噪聲去除效果0。為了使噪聲去除的效果更好，可以對不同尺度小波變換下的次低頻、次高頻、高頻子塊進行抑制，保留低頻子塊的信息不改變，便可以對圖像噪