常系數機動目錄上頁下頁返回結束第五節線性微分方程

第七章一、二階常系數齊次線性微分方程二、二階常系數線性非齊次微分方程三、歐拉方程

一、二階常系數齊次線性微分方程和它的導數只差常數因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機動目錄上頁下頁返回結束2.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束3.當時,

特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束小結:特征方程:實根特征根通解以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結束若特征方程含k

重復根若特征方程含k

重實根r,則其通解中必含對應項則其通解中必含對應項特征方程:推廣:機動目錄上頁下頁返回結束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結束例5.解:特征方程:即其根為方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束例6.解:

特征方程:特征根為則方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束內容小結特征根:(1)當時,通解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常系數線性齊次方程求通解.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習

求方程的通解.答案:通解為通解為通解為第九節目錄上頁下頁返回結束備用題為特解的4階常系數線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為機動目錄上頁下頁返回結束二、二階常系數線性非齊次微分方程根據解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數.①—待定系數法機動目錄上頁下頁返回結束（一）為實數,設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數多項式機動目錄上頁下頁返回結束(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為小結對方程①,此結論可推廣到高階常系數線性微分方程.即即當是特征方程的k重根時,可設特解機動目錄上頁下頁返回結束例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數,得于是所求特解為機動目錄上頁下頁返回結束例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數,得因此特解為代入方程得所求通解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機動目錄上頁下頁返回結束于是所求解為解得機動目錄上頁下頁返回結束對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結束（二）例4.

的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數,得于是求得一個特解機動目錄上頁下頁返回結束例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數,得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為機動目錄上頁下頁返回結束例6.解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為設下列高階常系數線性非齊次方程的特解形式:機動目錄上頁下頁返回結束內容小結為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為3.上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習時可設特解為時可設特解為提示:1.

(填空)

設機動目錄上頁下頁返回結束2.

求微分方程的通解(其中為實數).解:

特征方程特征根:對應齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結束3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數得故原方程為對應齊次方程通解:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束三、歐拉方程常系數線性微分方程歐拉方程的算子解法:

則計算繁!機動目錄上頁下頁返回結束則由上述計算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉化為常系數線性方程:機動目錄上頁下頁返回結束例1.解:則原方程化為亦即其根則①對應的齊次方程的通解為特征方程①機動目錄上頁下頁返回結束①的通解為換回原變量,得原方程通解為設特解:代入①確定系數,得機動目錄上頁下頁返回結束例2.解:

將方程化為(歐拉方程)

則方程化為即②特征根:設特解:代入②解得A=1,所求通解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.解:

由題設得定解