第四章頻域圖像增強24.1背景法國數學家JeanBaptisteJosephFourier在1807年和1822年提出傅立葉變換60年代出現快速傅立葉變換傅立葉變換域也稱為頻域34.2傅立葉變換

傅立葉積分調諧信號： 其中j2=-1傅立葉積分： 其中t代表時間，f代表頻率4傅立葉變換的定義(一維)f(x)為連續可積函數，其傅立葉變換定義為：其反變換為：F(u)=R(u)+jI(u)幅度譜：相位譜：能量譜（譜密度）5變換分析的直觀說明把一個信號的波形分解為許多不同頻率正弦波之和。6一維傅立葉變換舉例方波信號：經過傅立葉變換后：7一維離散傅立葉變換(DFT)一維離散傅立葉變換公式為：逆變換為：8二維傅立葉變換二維傅立葉變換由一維傅立葉變換推廣而來：逆變換：幅度譜：相位譜：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)9二維傅立葉變換舉例對于二維方波信號傅立葉變換為：幅度：10二維離散傅立葉變換對于二維傅立葉變換，其離散形式為：逆變換為：幅譜(頻譜)、相譜：111213二維離散傅立葉變換的性質1.線性性質：2.比例性質：3.可分離性：14154.空間位移：5.頻率位移：圖像中心化：當u0=v0=N/2時，166.周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7.共軛對稱性：8.旋轉不變性：9.平均值：如果f(x,y)為實數說明圖像的譜是對稱的1710.卷積定理：f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)11.相關定理：互相關：f(x,y)Og(x,y)<=>F*(u,v)G

(u,v)f*(x,y)g

(x,y)<=>F(u,v)OG(u,v)自相關：f(x,y)Of(x,y)<=>|F(u,v)|2

|f(x,y)|2<=>F(u,v)OF(u,v)2012.帕塞瓦定理（能量定理）：若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，則有：信號在空域的總能量等于其頻域的總能量。21頻率位移性質當圖像在頻率域移動時需要用到頻率位移性質：圖像中心化把圖像進行傅立葉變換后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上22周期性和共軛對稱性周期性不難證明。共軛對稱性：f*(x,y)的傅立葉變換：23周期性和共軛對稱性的應用1.圖形的頻譜分析和顯示2.圖像中心化242526平均值平均值定義：由傅立葉變換定義：因此，f(x,y)的平均值與傅立葉變換系數的關系為：27卷積卷積積分：如果函數y(t)滿足下列關系式則稱函數y(t)為函數x(t)

和h(t)

的卷積卷積積分的圖解表示：x(t)th(t)t1/211128卷積積分的圖解表示（續）：位移h(t1-)11x()x()h(-)1/2-1折迭h(t-)1/2t11*相乘2y(t)1t1t積分29卷積積分的步驟：1折迭：把h()相對縱軸作出其鏡像2位移：把h(-)移動一個t

值3相乘：將位移后的函數h(t-)乘以

x()4積分：h(t-)和

x()乘積曲線下的面積即為

t時刻的卷積值30

包含脈沖函數的卷積：即x(t)或h(t)中有一個為脈沖函數，則它們的卷積是一種最簡單的卷積-T0T0h(t)*x(t)tax(t)tA-T0T0h(t)tA31卷積定理：如果x(t)

和h(t)

的富里葉變換分別為X(f)

和H(f),則x(t)*h(t)的富里葉變換為X(f)H(f)。即卷積定理的簡單推導：====令=t-323538頻域濾波在傅立葉變換域，變換系數反映了圖像的某些特征。頻譜的低頻分量對應于圖像的平滑區域，而外界疊加噪聲、邊緣對應于頻譜中頻率較高的部分等。39基本步驟圖像乘以計算圖像乘以濾波器函數計算的反變換得到實數部分將結果乘以濾波后圖像4041基本濾波器及其性質構造一個低通濾波器，使低頻分量順利通過而有效地阻止高頻分量，即可濾除頻域中高頻部分的噪聲，再經逆變換就可以得到平滑圖像。高通濾波與低通濾波的作用相反，它使高頻分量順利通過，而使低頻分量受到削弱。陷波濾波器：使圖像的均值為0。4344454.3頻域平滑濾波器頻域基本的濾波模型為H(u,v):AFiltertransferfunction.F(u,v):FouriertransformoftheimageG(u,v):Objectiveimage464.3.1理想低通濾波器

D(u,v)isthedistancefrompoint(u,v)totheoriginofthefrequencyrectangle.ImagesizeisM*N.

二維理想低通濾波器的傳遞函數4748在每個點(u,v)處的能量4951ILPF的模糊和振鈴現象可以用卷積定理來解釋。

inspatialdomaininfrequencydomain52534.3.2Butterworth低通濾波器階數為n、截止頻率為D0

的Butterworth低通濾波器(BLPF)被定義為5455574.3.3Gaussian低通濾波器二維高斯低通濾波器(GLPFs)的傳遞函數為

令,則586061624.3.4低通濾波器的附加例子64高分辨率輻射計圖像654.4頻域銳化濾波器圖像的銳化可以通過高通濾波過程實現，減弱傅立葉變換的低頻成份，而不改變高頻信息。是低通濾波的相反過程。684.4.1理想高通濾波器2-Didealhighpassfilter(IHPF)isdefinedas694.4.2Butterworth高通濾波器704.4.3Gaussian高通濾波器714.4.4頻域的Laplacian變換734.4.4TheLaplacianintheFrequencyDomainWeformanenhancedimageg(x,y)bysubtract