第4章連續時間傅立葉變換

TheContinuoustimeFourierTransform重點：1、掌握傅立葉變換定義及其基本性質；2、牢記常用典型信號的傅立葉變換；3、掌握運用傅立葉變換分析LTI系統的方法難點：運用傅立葉變換及相關性質分析LTI系統4.0引言傅立葉在把傅立葉級數推廣到傅立葉積分的研究中基于如下的方法：把非周期函數看作一個周期函數在周期趨于無窮大時的極限。本章的地位：形成連續時間信號與系統頻域法的基礎。從非周期函數x(t)構造出一個周期函數，使得該周期函數在一個周期內就等于x(t)，隨著這個周期趨于無窮大，就會在一個愈來愈大的區間上等于x(t)，這樣，的傅立葉級數表示也就趨于x(t)的傅立葉積分表示。T4.1非周期信號的表示——連續時間傅立葉變換(CFT)RepresentationofAperiodicsignals:TheContinuoustimeFourierTransform一、非周期信號傅立葉變換表示的導出對下面的連續時間周期方波：其傅立葉級數是T=4T1T=8T1T=16T1用周期延拓的方法構造出一個周期函數，即：周期函數的傅立葉級數表示：假設一個具有有限持續期的非周期函數x(t):周期T的選擇：T大于x(t)的非零區間由于所以即是原函數x(t)的頻譜密度函數，簡稱頻譜函數。即由于ω0

=2π/T,則：傅立葉變換（CFT）Fouriertransform傅立葉正變換：傅立葉反變換：

x(t)和X(jω)分別為非周期函數的時域和頻域表示，兩者構成一個傅立葉變換對。

X(jω)告訴我們將x(t)表示為不同頻率正弦信號的線性組合所需要的信息。X(jω)的物理含義是：

X(jω)反映了信號x(t)的頻譜隨頻率而變化的分布特性，是頻率ω的連續函數。一般而言，X(jω)是一個復函數，通常將它表示為|X(jω)|

：描述了x(t)的幅頻特性，稱之為x(t)的幅度譜,它代表信號中各頻率分量的相對大小：描述了x(t)的相頻特性，稱之為x(t)的相位譜，它代表信號中各頻率分量的相位關系。三、傅立葉變換的收斂

ConvergenceofFouriertransform

x(t)的傅立葉變換是否存在的條件應該和傅立葉級數是否收斂所要求的那一組條件一樣。掌握一些典型信號的傅立葉變換，對于我們求一些其它信號的傅立葉變換，將會帶來很多方便。（1）單邊指數信號：四、連續時間傅立葉變換舉例ExamplesofContinuoustimeFourierTransform（2）雙邊指數信號：（3）矩形脈沖時域實偶，頻域實偶??(4)含有奇異函數的傅立葉變換(一)單位沖激函數和常數1（二）符號函數sgn(t)（三）單位階躍信號u(t)（四）指數信號4.2周期信號的傅立葉變換

TheFourierTransformforPeriodicSignal將周期信號轉換為傅里葉級數故：一個傅立葉級數系數為{ak}的周期信號的傅立葉變換，是出現在成諧波關系的頻率kω0

上的一串沖激函數，沖激函數的面積是對應傅立葉系數的2π倍。example：周期為T的周期性脈沖串：-T1T0……該信號的傅立葉級數是周期脈沖串的傅立葉變換0……4.3連續時間傅立葉變換性質

PropertiesoftheContinuoustimeFourierTransformx(t)和X(jω)這對傅立葉變換對用下列符號表示：注：當t=0時對當ω=0時一、線性(Linearity)若二、時移性質(TimeShifting)若則即：信號在時間上移位，并不改變它的傅立葉變換的模，只是引入相移。例x(t)12341.51x1(t)-0.50.51-1.51.51x2(t)而利用線性和時移性質三、共軛及共軛對稱性

ConjugationandConjugateSymmetry若則若x(t)為實函數而：若x(t)為實偶函數，那么X(jω)也是實偶函數。若x(t)為實奇函數，那么X(jω)是虛奇函數。例1：信號x(t)如圖所示，求解：由于x(t)是實信號，則：例2：因果實信號x(t)的傅立葉變換的實部求x(t)解：由于x(t)是實信號，則：而：則：又因為：且：故：四、微分與積分

DifferentiationandIntegration若則討論利用傅立葉變換來分析由微分方程描述的LTI系統時，特別有用！積分關系若則例：已知求：解：x(t)的導數為g(t)頻域微積分：例：已知求：解：則：故：五、時間與頻率的尺度變換

TimeandFrequencyScaling若則當a=-1,信號在時域中壓縮（a>1）等效于在頻域中擴展；反之，信號在時域中擴展（a<1）則等效于在頻域中壓縮。信號在時域中沿縱軸翻褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸翻褶。補充：例：已知求：x(t)與X(jω)所覆蓋的面積分別等于X(jω)與x(t)在零點的數值X(0)或x(0).等效帶寬信號的等效脈沖寬度與占有的等效帶寬成反比，若要壓縮信號的持續時間，則不得不以展寬頻帶作為代價。所以在無線電通信中，通信速度和占有頻帶寬度是一對矛盾。tx(t)x(0)ωX(ω)X(0)例：4.24(作業題）六、對偶性(Duality)若則例：求：解：因為故：例：即：頻移性質基于頻移性質的頻譜搬移技術在通信和信號處理中得到了廣泛的應用，例如，載波幅度調制、同步解調、變頻和混頻等技術！因為導出七、帕斯瓦爾定理

Parseval’sRelation(Energytheorem)信號的總能量既可以按每單位時間內的能量在整個時間內積分出來，也可以按每單位頻率內的能量在整個頻率范圍內積分出來。為信號的能譜密度。例：已知x(t)的傅立葉變換如圖所示，（1）求x(t)；（2）求的傅立葉變換Y(jω)（寫出表達式，并畫出波形）；（3）求的值。解：（1）（2）根據頻移特性：則：（3）根據帕斯瓦爾關系式：4.4、卷積性質

TheConvolutionProperty在信號與系統的理論和方法中，最重要的變換性質就是卷積性質。卷積性質將兩個信號的卷積映射為它們傅立葉變換的乘積。其中為頻率響應，它控制著每一頻率ω上輸入傅立葉變換復振幅的變化。用頻率響應來描述系統的級聯性質：例：已知下列關系：（1）y(t)=x(t)*h(t)（2）g(t)=x(3t)*h(3t)（3）x(t)的傅立葉變換是X（jω）,h(t)的傅立葉變換是H（jω）；求：利用傅立葉變換性質證明g(t)為：g(t)=Ay(Bt)求出A和B的值。解：而：則：故：則：A=1/3,B=3例：考慮一信號，其傅立葉變換為X(jω），假設給出以下條件：1.x(t)是實的且是非負的；A與t無關。求x(t)的閉合表達式。2、解：由（2）,等式兩邊同時進行傅立葉變換，則：則（3）根據帕斯瓦爾關系式：帶入x(t)的表達式，得|A|2=12由于x(t)是非負的實信號，故：例：已知一連續時間LTI系統，其單位沖激響應為求：（1）畫出的波形；（3）求系統的響應y(t)。當輸入信號為：(2)寫出x(t)的傅立葉級數表示式：1、解：2、3、根據特征函數特征值的概念，而：例：研究如下所示的互聯系統：已知：（2）當輸入信號x(t)為如下圖所示周期方波信號時，求系統的輸出y(t)。（1）試求該互聯系統的頻率相應H(jω)；解：而：故：（2)輸入信號是周期信號，則先將其轉換為傅立葉級數的形式，然后根據特征函數特征值的概念進行求解：周期T=1，則基波頻率為而：故：而：由于x(t)為實偶，故ak也為實偶：故：4.5相乘的性質（頻域卷積性質）

TheMultiplicationProperty(Modulation)在時域中，一個信號和另一個信號相乘，可理解為用一個信號去調制另一個信號的幅度，叫做幅度調制。頻域卷積性質在信號與系統的理論和方法以及在通信和信號處理中，有很多十分重要的應用。例：求的傅立葉變換解：令4.5.1可變中心頻率的頻率選擇型濾波器利用幅度調制實現帶通濾波器帶通濾波器頻譜右移ωc通過帶寬為ω0的低通濾波器頻譜左移ωc4.6傅立葉變換性質和基本傅立葉變換對列表

TablesofFourierPropertiesandofBasicFourierTransformPairs掌握表4.1和表4.2。4.7由線性常系數微分方程表征的系統

SystemCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferentialEquation連續時間LTI系統的線性常微分方程描述：利用傅立葉變換的微分性質。例：(1)求系統的單位沖激響應h(t)。(2)若系統的輸入信號是e-3tu(t)，求響應y(t)解：對微分方程兩邊同時進行傅立葉變換：則：(2)若系統的輸入信號是e-3tu(t)，則：補充：定義：稱為希爾伯特變換（1）求該系統的傅立葉變換（2）當輸入信號為cos3t時，輸出信號為多少？解：則：由于：根據對偶法則：故：（2）當輸入信號為cos3t時，例：設求證：解：代入：例：設輸入信號求沖激響應分別為以下系統時，分別求系統的輸出解：輸入信號是周期信號，將其表示為傅立葉級數形式：則根據特征函數特征值的概念，輸出y(t)為：則：故：令：則：而：則：則：故：令：則：章末小結1、定義：2、常用信號的傅立葉變換3、周期信號的傅立葉變換周期信號需先轉換為傅立葉級數的形式，然后進行傅立葉變換牢記單位沖激串的傅立葉變換：4、傅立葉變換的性質：（1）線性（